2022-2023學(xué)年湖南省張家界市市永定區(qū)南莊坪學(xué)校高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年湖南省張家界市市永定區(qū)南莊坪學(xué)校高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.天氣預(yù)報(bào)說(shuō)，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為40%．現(xiàn)采用隨機(jī)模擬試驗(yàn)的方法估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率：先利用計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組，代表這三天的下雨情況．經(jīng)隨機(jī)模擬試驗(yàn)產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：907

966

191

925

271

932

812

458

569

683431

257

393

027

556

488

730

113

537

989據(jù)此估計(jì)，這三天中恰有兩天下雨的概率近似為（

）（A）0.35

（B）0.25

（C）0.20

（D）0.15參考答案：B2.已知R為實(shí)數(shù)集，集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，則?RA=（）A．（﹣1，3） B．[﹣1，3] C．（﹣3，1） D．[﹣3，1]參考答案：A【分析】先求出集合A，再由補(bǔ)集定義能求出?RA．【解答】解：∵R為實(shí)數(shù)集，集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≥3或x≤﹣1}，∴?RA={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查補(bǔ)集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意補(bǔ)集定義的合理運(yùn)用．設(shè)函數(shù)3.若，則

.參考答案：4.集合M={x|x=sinθ，θ∈R}，N={x|≤2x≤8}，則M∩N=(

) A． B．[﹣1，3] C． D．參考答案：D考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算．專題：集合．分析：利用正弦函數(shù)的值域求出x的范圍確定出M，求出N中不等式的解集確定出N，找出兩集合的交集即可．解答： 解：由M中x=sinθ，θ∈R，得到﹣1≤x≤1，即M=[﹣1，1]，由N中不等式變形得：=≤2x≤8=23，即≤x≤3，∴N=[，3]，則M∩N=[，1]，故選：D．點(diǎn)評(píng)：此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．5.若是偶函數(shù)，其定義域?yàn)椋以谏鲜菧p函數(shù)，則的大小關(guān)系是（

）A．>

B．<

C．

D．參考答案：B6.設(shè)

則的值為（

）A.10

B.11

C.12

D.13參考答案：B7.甲、乙、丙三人參加某公司的面試，最終只有一人能夠被該公司錄用，得到面試結(jié)果以后，甲說(shuō)：“丙被錄用了”；乙說(shuō)：“甲被錄用了”；丙說(shuō)：“我沒(méi)被錄用”．若這三人中僅有一人說(shuō)法錯(cuò)誤，則下列結(jié)論正確的是 A．甲被錄用了 B．乙被錄用了

C．丙被錄用了 D．無(wú)法確定誰(shuí)被錄用了參考答案：A8.已知某幾何體的側(cè)視圖與其正視圖相同，相關(guān)的尺寸如下圖所示，則這個(gè)幾何體的體積是（

） A. B.

C. `D.參考答案：D由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)半徑分別為2和的同心圓柱，大圓柱內(nèi)挖掉了小圓柱。兩個(gè)圓柱的高均為1.所以幾何體的體積為，選D.9.命題“”的逆否命題是（

）A.

B.若，則C.若或，則

D.若或，則參考答案：D由逆否命題的變換可知，命題“若，則”的逆否命題是“若或，則”，故選D.10.已知集合，集合，則(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.平面直角坐標(biāo)系中，已知、，為原點(diǎn)，等腰底邊與軸垂直，，過(guò)點(diǎn)的直線與圍成的區(qū)域有公共點(diǎn)，則直線與的交點(diǎn)保持在該區(qū)域內(nèi)部的概率為：

▲

。參考答案：12.已知的展開(kāi)式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為－,其中i=－1，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是

；參考答案：

4513.坐標(biāo)系與參數(shù)方程.已知曲線的極坐標(biāo)方程是,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程是(為參數(shù)).(Ⅰ)求曲線的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)設(shè)直線l與曲線交于、兩點(diǎn),點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,1),若,求直線l的普通方程.參考答案：.解:(Ⅰ)由,得,,曲線的直角坐標(biāo)方程是,即.

…………3分(Ⅱ)設(shè),,由,得①…4分聯(lián)立直線的參數(shù)方程與曲線的直角坐標(biāo)方程得:,整理得:,,與①聯(lián)立得:,……………8分直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))或(為參數(shù))消去參數(shù)的普通方程為或…………10分略14.關(guān)于x的方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.參考答案：．【分析】由題意可得，函數(shù)y＝x+1的圖象和函數(shù)y的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，對(duì)函數(shù)y的m分類，分別畫(huà)出y的圖象，可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．【詳解】∵關(guān)于x的方程x+1有一個(gè)實(shí)數(shù)解，故直線y＝x+1的圖象和函數(shù)y的圖象有一個(gè)交點(diǎn)．在同一坐標(biāo)系中分別畫(huà)出函數(shù)y＝x+1的圖象和函數(shù)y的圖象．由于函數(shù)y，當(dāng)m=0時(shí)，y和直線y＝x+1的圖象如圖：滿足有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)m>0時(shí)，yy2﹣x2＝m(y>0)此雙曲線y2﹣x2＝m的漸近線方程為y＝±x，其中y=x與直線y＝x+1平行，雙曲線y2﹣x2＝m的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），如圖：只要m>0，均滿足函數(shù)y＝x+1的圖象和函數(shù)y的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)m<0時(shí)，yx2﹣y2＝﹣m(y>0)，此雙曲線x2﹣y2＝﹣m的漸近線方程為y＝±x，其中y=x與直線y＝x+1平行，而雙曲線x2﹣y2＝﹣m的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），如圖：

當(dāng)時(shí)，滿足函數(shù)y＝x+1的圖象和函數(shù)y的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)符合題意；綜上：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)直線和雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線y＝x+1的圖象和函數(shù)y的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，是解答本題的關(guān)鍵，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．15.已知“不定方程的正整數(shù)解的組數(shù)（其中m，n，則的正整數(shù)解的組數(shù)為 。（用具體數(shù)字作答）參考答案：71516.已知橢圓與雙曲線具有相同的焦點(diǎn)，，且在第一象限交于點(diǎn)，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，，若，則的最小值為

．參考答案：17.已知，且復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則a=

.參考答案：－2

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E為棱AD的中點(diǎn)，異面直線PA與CD所成的角為90°．（Ⅰ）在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM∥平面PBE，并說(shuō)明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小為45°，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定．【分析】（I）延長(zhǎng)AB交直線CD于點(diǎn)M，由點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，可得AE=ED=AD，由BC=CD=AD，可得ED=BC，已知ED∥BC．可得四邊形BCDE為平行四邊形，即EB∥CD．利用線面平行的判定定理證明得直線CM∥平面PBE即可．（II）如圖所示，由∠ADC=∠PAB=90°，異面直線PA與CD所成的角為90°AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD．由CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小為45°．PA=AD．不妨設(shè)AD=2，則BC=CD=AD=1．可得P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），利用法向量的性質(zhì)、向量夾角公式、線面角計(jì)算公式即可得出．【解答】解：（I）延長(zhǎng)AB交直線CD于點(diǎn)M，∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，∴AE=ED=AD，∵BC=CD=AD，∴ED=BC，∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四邊形BCDE為平行四邊形，即EB∥CD．∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，∵BE?平面PBE，∴CM∥平面PBE，∵M(jìn)∈AB，AB?平面PAB，∴M∈平面PAB，故在平面PAB內(nèi)可以找到一點(diǎn)M（M=AB∩CD），使得直線CM∥平面PBE．（II）如圖所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，異面直線PA與CD所成的角為90°，AB∩CD=M，∴AP⊥平面ABCD．∴CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小為45°．∴PA=AD．不妨設(shè)AD=2，則BC=CD=AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，0，2），設(shè)平面PCE的法向量為=（x，y，z），則，可得：．令y=2，則x=2，z=1，∴=（2，2，1）．設(shè)直線PA與平面PCE所成角為θ，則sinθ====．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間位置關(guān)系、空間角計(jì)算公式、法向量的性質(zhì)，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19.已知函數(shù)的定義域?yàn)榧?，關(guān)于的不等式的解集為，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：.解：要使有意義，則，解得，即由，解得，即∴解得故實(shí)數(shù)的取值范圍是20.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，為極點(diǎn)，點(diǎn)（2，），（）．(1)求經(jīng)過(guò)，，的圓的極坐標(biāo)方程；(2)以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，圓的參數(shù)方程為是參數(shù)，為半徑），若圓與圓相切，求半徑的值．參考答案：（I）

………5分（II）或．

………10分21.

底面是正方形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，E是CC1的中點(diǎn)，O是AC、BD的交點(diǎn)。（1）

求證：AC1∥平面BDE；（