模擬退火算法和遺傳算法

10.1模擬退火算法

模擬退火算法（SimulatedAnnealingAlgorithm，簡(jiǎn)記為SAA）是受金屬熱加工技術(shù)的啟迪而發(fā)展起來的一種隨機(jī)搜索算法。模擬退火算法及模型

算法的提出

模擬退火算法最早的思想由Metropolis等（1953）提出，1983年Kirkpatrick等將其應(yīng)用于組合優(yōu)化。算法的目的解決NP復(fù)雜性問題；克服優(yōu)化過程陷入局部極?。豢朔踔狄蕾囆浴?/p>

物理退火過程模擬退火算法及模型

物理退火過程

什么是退火：退火是指將固體加熱到足夠高的溫度，使分子呈隨機(jī)排列狀態(tài)，然后逐步降溫使之冷卻，最后分子以低能狀態(tài)排列，達(dá)到某種穩(wěn)定狀態(tài)。

物理退火過程模擬退火算法及模型

物理退火過程

加溫過程——增強(qiáng)粒子的熱運(yùn)動(dòng)，消除系統(tǒng)原先可能存在的非均勻態(tài)；等溫過程——對(duì)于與環(huán)境換熱而溫度不變的封閉系統(tǒng)，系統(tǒng)狀態(tài)的自發(fā)變化總是朝自由能減少的方向進(jìn)行，當(dāng)自由能達(dá)到最小時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到平衡態(tài)；冷卻過程——使粒子熱運(yùn)動(dòng)減弱并漸趨有序，系統(tǒng)能量逐漸下降，從而得到低能的晶體結(jié)構(gòu)。物理退火過程10.1.1模擬退火算法的基本原理

數(shù)學(xué)表述

在溫度T，分子停留在狀態(tài)r滿足Boltzmann概率分布物理退火過程10.1.1模擬退火算法的基本原理

數(shù)學(xué)表述在同一個(gè)溫度T，選定兩個(gè)能量E1<E2，有

在同一個(gè)溫度，分子停留在能量小的狀態(tài)的概率比停留在能量大的狀態(tài)的概率要大。10.1.1模擬退火算法的基本原理

數(shù)學(xué)表述

若|D|為狀態(tài)空間D中狀態(tài)的個(gè)數(shù)，D0是具有最低能量的狀態(tài)集合：當(dāng)溫度很高時(shí)，每個(gè)狀態(tài)概率基本相同，接近平均值1/|D|；狀態(tài)空間存在超過兩個(gè)不同能量時(shí)，具有最低能量狀態(tài)的概率超出平均值1/|D|；當(dāng)溫度趨于0時(shí)，分子停留在最低能量狀態(tài)的概率趨于1。10.1.1模擬退火算法的基本原理

Metropolis準(zhǔn)則（1953）——以概率接受新狀態(tài)若在溫度T，當(dāng)前狀態(tài)i→新狀態(tài)j

若Ej<Ei，則接受j為當(dāng)前狀態(tài)；否則，若概率p=exp[-(Ej-Ei)/kBT]

大于[0,1)區(qū)間的隨機(jī)數(shù)，則仍接受狀態(tài)j

為當(dāng)前狀態(tài)；若不成立則保留狀態(tài)i

為當(dāng)前狀態(tài)。10.1.1模擬退火算法的基本原理

模擬退火算法的基本思想

將一個(gè)優(yōu)化問題比擬成一個(gè)金屬物體，將優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)比擬成物體的能量，問題的解比擬成物體的狀態(tài)，問題的最優(yōu)解比擬成能量最低的狀態(tài)，然后模擬金屬物體的退火過程，從一個(gè)足夠高的溫度開始，逐漸降低溫度，使物體分子從高能量狀態(tài)緩慢的過渡到低能量狀態(tài)，直至獲得能量最小的理想狀態(tài)為止，從而得到優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解。

10.1.2組合優(yōu)化

10.1.2組合優(yōu)化

10.1.2組合優(yōu)化

組合優(yōu)化問題金屬物體解粒子狀態(tài)最優(yōu)解能量最低的狀態(tài)設(shè)定初溫熔解過程Metropolis抽樣過程等溫過程控制參數(shù)的下降冷卻目標(biāo)函數(shù)能量相似性比較

10.1.3模擬退火算法的計(jì)算步驟及收斂性

基本步驟給定初溫t=t0，隨機(jī)產(chǎn)生初始狀態(tài)s=s0，令k=0；

RepeatRepeat

產(chǎn)生新狀態(tài)sj=Genete(s)；

ifmin{1,exp[-(C(sj)-C(s))/tk]}>=randrom[0,1]s=sj;Until抽樣穩(wěn)定準(zhǔn)則滿足；退溫tk+1=update(tk)并令k=k+1；

Until算法終止準(zhǔn)則滿足；輸出算法搜索結(jié)果。10.1.3模擬退火算法的計(jì)算步驟及收斂性

定義

10.1.3模擬退火算法的計(jì)算步驟及收斂性

定義

一步轉(zhuǎn)移概率：

n步轉(zhuǎn)移概率：若解空間有限，稱馬爾可夫鏈為有限狀態(tài)；若，稱馬爾可夫鏈為時(shí)齊的。

馬爾科夫鏈10.1.3模擬退火算法的計(jì)算步驟及收斂性

模擬退火算法對(duì)應(yīng)了一個(gè)馬爾可夫鏈

模擬退火算法：新狀態(tài)接受概率僅依賴于新狀態(tài)和當(dāng)前狀態(tài)，并由溫度加以控制。若固定每一溫度，算法均計(jì)算馬氏鏈的變化直至平穩(wěn)分布，然后下降溫度，則稱為時(shí)齊算法；若無需各溫度下算法均達(dá)到平穩(wěn)分布，但溫度需按一定速率下降，則稱為非時(shí)齊算法。分析收斂性10.1.3模擬退火算法的計(jì)算步驟及收斂性

模擬退火過程是從一個(gè)狀態(tài)（解）到另一個(gè)狀態(tài)（解）不斷地隨機(jī)游動(dòng)，我們稱這種游動(dòng)為變換。

從鄰域Si中選出某個(gè)解j的方法稱為解的產(chǎn)生機(jī)制.

從當(dāng)前解變換到下一個(gè)解的過程稱為轉(zhuǎn)移，它由產(chǎn)生機(jī)制的應(yīng)用和接受準(zhǔn)則的應(yīng)用兩部分組成。

10.1.3模擬退火算法的計(jì)算步驟及收斂性

10.1.3模擬退火算法的計(jì)算步驟及收斂性

10.1.4模擬退火算法實(shí)現(xiàn)的技術(shù)問題冷卻進(jìn)度表控制參數(shù)值Tf的選取馬爾科夫鏈長(zhǎng)度Lk的選取控制參數(shù)衰減函數(shù)的選取10.1.4模擬退火算法實(shí)現(xiàn)的技術(shù)問題原則

(1)在固定溫度下，接受使目標(biāo)函數(shù)下降的候選解的概率要大于使目標(biāo)函數(shù)上升的候選解概率；

(2)隨溫度的下降，接受使目標(biāo)函數(shù)上升的解的概率要逐漸減小；

(3)當(dāng)溫度趨于零時(shí)，只能接受目標(biāo)函數(shù)下降的解。方法

具體形式對(duì)算法影響不大一般采用min[1,exp(-?C/t)]10.1.4模擬退火算法實(shí)現(xiàn)的技術(shù)問題方法

（1）均勻抽樣一組狀態(tài)，以各狀態(tài)目標(biāo)值得方差為初溫；（2）隨機(jī)產(chǎn)生一組狀態(tài)，確定兩兩狀態(tài)間的最大目標(biāo)值差，根據(jù)差值，利用一定的函數(shù)確定初溫；（3）利用經(jīng)驗(yàn)公式。初溫10.1.4模擬退火算法實(shí)現(xiàn)的技術(shù)問題時(shí)齊算法的溫度下降函數(shù)

（1），α越接近1溫度下降越慢，且其大小可以不斷變化；（2），其中t0為起始溫度，K為算法溫度下降的總次數(shù)。

溫度更新函數(shù)10.1.4模擬退火算法實(shí)現(xiàn)的技術(shù)問題非時(shí)齊模擬退火算法

每個(gè)溫度下只產(chǎn)生一個(gè)或少量候選解時(shí)齊算法——常用的Metropolis抽樣穩(wěn)定準(zhǔn)則

（1）檢驗(yàn)?zāi)繕?biāo)函數(shù)的均值是否穩(wěn)定；（2）連續(xù)若干步的目標(biāo)值變化較??；（3）按一定的步數(shù)抽樣。

內(nèi)循環(huán)終止準(zhǔn)則10.1.4模擬退火算法實(shí)現(xiàn)的技術(shù)問題模擬退火算法的優(yōu)點(diǎn)

質(zhì)量高；初值魯棒性強(qiáng)；簡(jiǎn)單、通用、易實(shí)現(xiàn)。模擬退火算法的缺點(diǎn)

由于要求較高的初始溫度、較慢的降溫速率、較低的終止溫度，以及各溫度下足夠多次的抽樣，因此優(yōu)化過程較長(zhǎng)。

模擬退火算法的優(yōu)缺點(diǎn)

模擬退火算法的實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用算法流程

30城市TSP問題

模擬退火算法的實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用運(yùn)行過程

30城市TSP問題

模擬退火算法的實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用運(yùn)行過程

30城市TSP問題

模擬退火算法的實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用運(yùn)行過程

30城市TSP問題10.2遺傳算法

遺傳算法（GeneticAlgorithm，簡(jiǎn)稱GA）是一種以自然選擇和遺傳理論為基礎(chǔ)，將生物進(jìn)化過程中適者生存規(guī)則與種群內(nèi)部染色體的隨機(jī)交換機(jī)制相結(jié)合的隨機(jī)化搜索算法。10.2遺傳算法

達(dá)爾文的自然選擇說遺傳（heredity）：子代和父代具有相同或相似的性狀，保證物種的穩(wěn)定性；變異（variation）：子代與父代，子代不同個(gè)體之間總有差異，是生命多樣性的根源；生存斗爭(zhēng)和適者生存：具有適應(yīng)性變異的個(gè)體被保留，不具適應(yīng)性變異的個(gè)體被淘汰。自然選擇過程是長(zhǎng)期的、緩慢的、連續(xù)的過程。

生物進(jìn)化理論和遺傳學(xué)的基本知識(shí)

10.2遺傳算法

遺傳學(xué)基本概念與術(shù)語(yǔ)基因座（locus）：遺傳基因在染色體中所占據(jù)的位置，同一基因座可能有的全部基因稱為等位基因（allele）；個(gè)體（individual）：指染色體帶有特征的實(shí)體；種群（population）：個(gè)體的集合，該集合內(nèi)個(gè)體數(shù)稱為種群的大??；

遺傳算法的基本原理和特點(diǎn)

10.2遺傳算法

遺傳學(xué)基本概念與術(shù)語(yǔ)進(jìn)化（evolution）：生物在其延續(xù)生存的過程中，逐漸適應(yīng)其生存環(huán)境，使得其品質(zhì)不斷得到改良，這種生命現(xiàn)象稱為進(jìn)化；適應(yīng)度（fitness）：度量某個(gè)物種對(duì)于生存環(huán)境的適應(yīng)程度。對(duì)生存環(huán)境適應(yīng)程度較高的物種將獲得更多的繁殖機(jī)會(huì)，而對(duì)生存環(huán)境適應(yīng)程度較低的物種，其繁殖機(jī)會(huì)就會(huì)相對(duì)較少，甚至逐漸滅絕;遺傳算法的基本原理和特點(diǎn)10.2遺傳算法

遺傳學(xué)基本概念與術(shù)語(yǔ)選擇（selection）：指決定以一定的概率從種群中選擇若干個(gè)體的操作；復(fù)制（reproduction）：細(xì)胞在分裂時(shí)，遺傳物質(zhì)DNA通過復(fù)制而轉(zhuǎn)移到新產(chǎn)生的細(xì)胞中，新的細(xì)胞就繼承了舊細(xì)胞的基因;交叉（crossover）：在兩個(gè)染色體的某一相同位置處DNA被切斷，其前后兩串分別交叉組合形成兩個(gè)新的染色體。又稱基因重組，俗稱“雜交”;

遺傳算法的基本原理和特點(diǎn)10.2遺傳算法

遺傳學(xué)基本概念與術(shù)語(yǔ)變異（mutation）：在細(xì)胞進(jìn)行復(fù)制時(shí)可能以很小的概率產(chǎn)生某些復(fù)制差錯(cuò)，從而使DNA發(fā)生某種變異，產(chǎn)生出新的染色體，這些新的染色體表現(xiàn)出新的性狀;編碼（coding）：表現(xiàn)型到基因型的映射；解碼（decoding）：從基因型到表現(xiàn)型的映射。

遺傳算法的基本原理和特點(diǎn)10.2遺傳算法

遺傳算法的基本思路

遺傳算法實(shí)現(xiàn)的技術(shù)問題10.2遺傳算法

遺傳算法實(shí)現(xiàn)的技術(shù)問題遺傳算法的工作步驟10.2遺傳算法

遺傳算法實(shí)現(xiàn)的技術(shù)問題10.2遺傳算法

問題的提出一元函數(shù)求最大值：

簡(jiǎn)單函數(shù)優(yōu)化的實(shí)例

10.2遺傳算法

編碼表現(xiàn)型：x

基因型：二進(jìn)制編碼（串長(zhǎng)取決于求解精度）

串長(zhǎng)與精度之間的關(guān)系：若要求求解精度到6位小數(shù)，區(qū)間長(zhǎng)度為2-(-1)＝3，即需將區(qū)間分為3/0.000001=3×106等份。所以編碼的二進(jìn)制串長(zhǎng)應(yīng)為22位。

簡(jiǎn)單函數(shù)優(yōu)化的實(shí)例

10.2遺傳算法

產(chǎn)生初始種群產(chǎn)生的方式：隨機(jī)產(chǎn)生的結(jié)果：長(zhǎng)度為22的二進(jìn)制串產(chǎn)生的數(shù)量：種群的大?。ㄒ?guī)模），如30，50，…111101001110000101100011001100111010101011101010100011110010000100101111001001110011100100011001010011000000110000011010010000000000……

簡(jiǎn)單函數(shù)優(yōu)化的實(shí)例

10.2遺傳算法

計(jì)算適應(yīng)度不同的問題有不同的適應(yīng)度計(jì)算方法本例：直接用目標(biāo)函數(shù)作為適應(yīng)度函數(shù)①將某個(gè)體轉(zhuǎn)化為[-1,2]區(qū)間的實(shí)數(shù)：

s=<1000101110110101000111>→x=0.637197②計(jì)算x的函數(shù)值（適應(yīng)度）：

f(x)=xsin(10πx)+2.0=2.586345

簡(jiǎn)單函數(shù)優(yōu)化的實(shí)例

10.2遺傳算法

計(jì)算適應(yīng)度

二進(jìn)制與十進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換：第一步，將一個(gè)二進(jìn)制串（b21b20…b0）轉(zhuǎn)化為10進(jìn)制數(shù)：第二步，x’對(duì)應(yīng)的區(qū)間[-1,2]內(nèi)的實(shí)數(shù)：

簡(jiǎn)單函數(shù)優(yōu)化的實(shí)例

(0000000000000000000000)→-1(1111111111111111111111)→210.2遺傳算法

遺傳操作選擇：輪盤賭選擇法；交叉：?jiǎn)吸c(diǎn)交叉；變異：小概率變異

簡(jiǎn)單函數(shù)優(yōu)化的實(shí)例

10.2遺傳算法

模擬結(jié)果

設(shè)置的參數(shù)：種群大小50；交叉概率0.75；變異概率0.05；最大代數(shù)200。

得到的最佳個(gè)體：

smax=<1111001100111011111100>;xmax=1.8506;f(xmax)=3.8503;

簡(jiǎn)單函數(shù)優(yōu)化的實(shí)例

10.2遺傳算法

世代數(shù)自變量適應(yīng)度11.44953.449491.83953.7412171.85123.8499301.85053.8503501.85063.8503801.85063.85031201.85063.85032001.85063.8503模擬結(jié)果

進(jìn)化的過程：

簡(jiǎn)單函數(shù)優(yōu)化的實(shí)例

10.2遺傳算法

編碼原則完備性（completeness）：?jiǎn)栴}空間的所有解都能表示為所設(shè)計(jì)的基因型；健全性（soundness）：任何一個(gè)基因型都對(duì)應(yīng)于一個(gè)可能解；非冗余性（non-redundancy）：?jiǎn)栴}空間和表達(dá)空間一一對(duì)應(yīng)。

10.2遺傳算法

適應(yīng)度函數(shù)的重要性適應(yīng)度函數(shù)的選取直接影響遺傳算法的收斂速度以及能否找到最優(yōu)解。一般而言，適應(yīng)度函數(shù)是由目標(biāo)函數(shù)變換而成的，對(duì)目標(biāo)函數(shù)值域的某種映射變換稱為適應(yīng)度的尺度變換（fitnessscaling）。

適應(yīng)度函數(shù)及其尺度變換

10.2遺傳算法

幾種常見的適應(yīng)度函數(shù)若目標(biāo)函數(shù)為最大化問題：若目標(biāo)函數(shù)為最小化問題：

適應(yīng)度函數(shù)及其尺度變換

10.2遺傳算法

適應(yīng)度函數(shù)的線性變換法

f’=α*f+β

系數(shù)的確定滿足以下條件：①縮放前后的平均適應(yīng)度相等.

f’avg=favg②縮放后的最大適應(yīng)度要等于原平均適應(yīng)度

的指定倍數(shù)

f’max=cmultf’avg

cmult=1.0~2.0

適應(yīng)度函數(shù)及其尺度變換

10.2遺傳算法

適應(yīng)度函數(shù)的作用適應(yīng)度函數(shù)設(shè)計(jì)不當(dāng)有可能出現(xiàn)欺騙問題：（1）進(jìn)化初期，個(gè)別超常個(gè)體控制選擇過程；（2）進(jìn)化末期，個(gè)體差異太小導(dǎo)致陷入局部極值。

適應(yīng)度函數(shù)及其尺度變換

10.2遺傳算法

適應(yīng)度函數(shù)的設(shè)計(jì)單值、連續(xù)、非負(fù)、最大化合理、一致性計(jì)算量小通用性強(qiáng)

適應(yīng)度函數(shù)及其尺度變換

10.2遺傳算法

個(gè)體選擇概率的常用分配方法按比例的適應(yīng)度分配（proportionalfitnessassignment）某個(gè)體i，其適應(yīng)度為fi，則其被選取的概率Pi為：

遺傳操作——選擇

個(gè)體ff2P12.56.250.1821.01.000.0333.09.000.2641.21.440.0452.14.410.1360.80.640.0272.56.250.1881.31.690.0590.90.810.02101.83.240.0910.2遺傳算法

個(gè)體1234567891011適應(yīng)度2.01.81.61.41.21.00.80.60.40.20.1選擇概率0.180.160.150.130.110.090.070.060.030.020.0累計(jì)概率0.180.340.490.620.730.820.890.950.981.001.00常用選擇方法輪盤賭選擇法（roulettewheelselection）

遺傳操作——選擇

10.2遺傳算法

實(shí)值重組離散重組子個(gè)體的每個(gè)變量可以按等概率隨機(jī)地挑選父?jìng)€(gè)體。

遺傳操作——交叉/基因重組

父?jìng)€(gè)體112