等差數(shù)列前n項和公式課件高二上學期數(shù)學人教A版選擇性必修第二冊

等差數(shù)列前n項和

第2課時第四章等差數(shù)列的前n項和公式學習目標1.會求等差數(shù)列前n項和的最值.2.理解并應(yīng)用等差數(shù)列前n項和的性質(zhì).1.等差數(shù)列的前n項和公式求和公式Sn＝___________Sn＝_______________復(fù)習回顧2.數(shù)學思想：

化歸思想、函數(shù)與方程思想3.求和方法：倒序相加法

等差數(shù)列的前n項和公式

有什么樣的函數(shù)特點？注意：公差的符號決定了該二次函數(shù)的開口方向.新課探究一＝An2＋Bn(A，B∈R).當d≠0時，Sn是常數(shù)項為0的二次函數(shù).

在等差數(shù)列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n項和Sn的最大值.例1例題講解方法一

因為S8＝S18，a1＝25，解得d＝－2.＝－(n－13)2＋169.所以當n＝13時，Sn有最大值為169.借助二次函數(shù)圖像方法二

同方法一，求出公差d＝－2.所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.因為a1＝25>0，又因為n∈N*，所以當n＝13時，Sn有最大值為169.想一想，還有其他方法嗎借助通項何時變號方法三

因為S8＝S18，所以a9＋a10＋…＋a18＝0.由等差數(shù)列的性質(zhì)得a13＋a14＝0.因為a1>0，所以d<0.所以a13>0，a14<0.所以當n＝13時，Sn有最大值.由a13＋a14＝0，得a1＋12d＋a1＋13d＝0，解得d＝－2，所以Sn的最大值為169.方法四

設(shè)Sn＝An2＋Bn.因為S8＝S18，a1＝25，所以當n＝13時，Sn取得最大值.所以Sn＝－n2＋26n，所以S13＝169，即Sn的最大值為169.根據(jù)結(jié)構(gòu)設(shè)前n項和新知探究二你知道等差數(shù)列前n項和何時有最值嗎？(1)在等差數(shù)列{an}中，當a1>0，d<0時，Sn有最___值，使Sn取得最值的n可由不等式組________確定；當a1<0，d>0時，Sn有最___值，使Sn取得最值的n可由不等式組________確定.(2)若d≠0，則從二次函數(shù)的角度看：當d>0時，Sn有最____值；當d<0時，Sn有最____值.當n取最接近對稱軸的正整數(shù)時，Sn取到最值.大小小大已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2＝4，S5＝30，若Sn≥8n＋λ對任意的正整數(shù)n成立，求實數(shù)λ的取值范圍.試一試解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

由已知a2＝a1＋d＝4，由題意Sn＝n2＋n≥8n＋λ，即λ≤n2－7n.令f(n)＝n2－7n，其圖象為開口向上的拋物線，因為n∈N*，所以當n＝3或4時，f(n)取得最小值－12，所以實數(shù)λ的取值范圍是(－∞，－12].例2.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S4＝－16，S6＝－12.①求{an}的通項公式an；②求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn.例題講解解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項和公差分別為a1和d，∴an＝－7＋(n－1)×2＝2n－9，n∈N*.當an≥0時?2n－9≥0?n≥5；當an<0時?2n－9<0?n≤4，當0<n≤4，n∈N*時，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)＝8n－n2，當n≥5時，Tn＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋…＋an)＝Sn－2S4＝n2－8n－2×(－16)＝n2－8n＋32.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公差為d，你能發(fā)現(xiàn)Sn與S2n的關(guān)系嗎？S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，S3n＝3Sn＋3n2d，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，是一個公差為n2d的等差數(shù)列.知識梳理1.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，Sn為其前n項和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為m2d.3.在等差數(shù)列中，若Sn＝m，Sm＝n，則Sm＋n＝－(m＋n).例3.已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，且S10＝100，S100＝10，求S110.例3方法一設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，∵S10＝100，S100＝10，方法二

∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，∴該數(shù)列的前10項和為10×100＋

＝S100＝10，解得d＝－22，所以S110＝－110.方法四直接利用性質(zhì)Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)，可知S110＝－110.1.等差數(shù)列{an}中，S3＝3，S6＝9，則S12等于A.12

B.18

C.24

D.30根據(jù)題意，得在等差數(shù)列{an}中，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，…也成等差數(shù)列，又由S3＝3，S6＝9，得S6－S3＝6，則S9－S6＝9，S12－S9＝12，則S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝3＋6＋9＋12＝30.√試一試2.等差數(shù)列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，求數(shù)列{an}的前3m項的和S3m.試一試方法一