數(shù)學分析試題有

（二十一）數(shù)學剖析期終考試題一表達題：（每題5分，共15分）開集和閉集函數(shù)項級數(shù)的逐項求導定理Riemann可積的充分必需條件二計算題：（每題7分，共35分）1、9x31xdx12、求x2(yb)2b2(0ab)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何體的體積3、求冪級數(shù)(11)n2xn的收斂半徑和收斂域n1n4、limx2y2x01x2y21y05、f(x,y,z)xxy2yz20到點（-1，1，2）的方向，l0，l為從點P(2,-1,2)求f(P)三議論與考證題：（每題10分，共30分）、已知f(x,y)(x2y2)sin1y2x2y201x2，考證函數(shù)的偏導數(shù)在原點不連續(xù)，但0x0,y0它在該點可微2、議論級數(shù)lnn21的斂散性。n1n213、議論函數(shù)項級數(shù)(xnxn1)x[1,1]的一致收斂性。n1nn1四證明題：（每題10分，共20分）1若af(x)dx收斂，且f（x）在[a,+∞）上一致連續(xù)函數(shù)，則有l(wèi)imf(x)0x2設(shè)二元函數(shù)f(x,y)在開集DR2內(nèi)關(guān)于變量x是連續(xù)的，關(guān)于變量y知足Lipschitz條件：f(x,y')f(x,y'')Ly'y''此中(x,y'),(x,y'')D,L為常數(shù)證明f(x,y)在D內(nèi)連續(xù)。參照答案一、1、若會合S中的每個點都是它的內(nèi)點，則稱會合S為開集；若會合S中包括了它的全部的聚點，則稱會合S為閉集。2設(shè)函數(shù)項級數(shù)un(x)知足（1）un(x)(n1,2,)在[a，b]連續(xù)可導n1a)un(x)在[a，b]點態(tài)收斂于S(x)n1b)u'nn1

(x)在[a，b]一致收斂于(x)則S(x)=ddun(x)在[a，b]可導，且dxnun(x)n1dxun(x)n113、有界函數(shù)f(x)在[a，b]上可積的充分必需條件是，關(guān)于隨意分法，當max(xi)0時1inDarboux大和與Darboux小和的極限相等xdx3(1t3)t3dt468二、1、令t31x（2分）x31（5分）921072、y1ba2x2,y2ba2x2，（2分）所求的體積為：a(y12y22)dx22a2b（5分）a(11)n11113、解：因為lim[(n)n收斂半徑為分），當x11](4時，n(1)n1(1)n1eeen1n1(11)n2(1)n(1)n10(n)，所以收斂域為(1,1)(3分）neee22(x22)(1221)4、limxylimyxylim(1x2y21)2（7分）x01x2y21x0(1x2y21)(1x2y21)x0y0y0y05、解：設(shè)極坐標方程為fx(2,1,2)2,fy(2,1,2)0.fz(2,1,2)4（4分）fl(2,1,2)613（3分）三、1、解、fx2x(sin1y2x21cos1)x2y20x2y2x2y2x2y2（4分）因為00x21cos1y2當趨于（0，0）無極限。所以不連續(xù)，同理可的fy也不連續(xù)，（2分）y2x2lnn2122、解：limn211（5分）收斂，所以原級數(shù)收斂（5分）2n1n2n1n213、解：部分和xn10,取N1nN時有Sn(x)x（3分），，n1xn117分）Sn(x)xn，所以級數(shù)一致收斂（n1四、證明題（每題10分，共20分）1、證明：用反證法若結(jié)論不建立，則00,X.a,x0X，使得f(x0)0，（3分）又因為在f（x）在[a,∞）上一致連續(xù)函數(shù)，0(0,1),x',x''a，只需x'x''0，有f(x')f(x'')0，（3分）于是2A0a,令XA01，取上述使f(x0)0的點x0X,，不如設(shè)f(x0)0，則對隨意知足xx的x，有f(x)f(x0)000取A和A‘分別等于x000，則0和x002222A'0f(x)dxf(x)dx不收斂，矛盾（4分）0有，由Cauchy收斂定理，aA22、證明：(x0,y0)D，由Lipschitz條件f(x,y)f(x0,y0)f(x,y)f(x,y0)f(x,y0)f(x0,y0)Lyy0f(x,y0)f(x0,y0)（1），（6分）又由二元函數(shù)f(x,y)在開集DR2內(nèi)關(guān)于變量x是連續(xù)的，（1）式的極限為0，f(x,y)在(x0,y0)連續(xù)，所以f(x,y)在D內(nèi)連續(xù)（4分）（二十二）數(shù)學剖析期末考試題一表達題：（每題5分，共15分）1Darboux和無量限失常積分的Cauchy收斂原理Euclid空間二計算題：（每題7分，共35分）nn!1、limn2、求由以下兩條曲線圍成的平面圖形的面積3、In0exxndx(n是非負整數(shù)）4、設(shè)uf(x2y2z2,xyz),f擁有二階連續(xù)偏導數(shù)，求2uzx5、求f(x)ex的冪級數(shù)睜開式三議論與考證題：（每題10分，共20分）1、議論二元函數(shù)連續(xù)、偏可導、可微之間的關(guān)系。對必定的結(jié)論任選一進行證明；對否認的結(jié)論，給出反例2、議論級數(shù)cosnx(0x)的絕對和條件收斂性。n1np四證明題：（每題10分，共30分）x01f（x）在[0，+∞）上連續(xù)且恒有f（x）>0，證明g(x)x

tf(t)dt在[0，+∞）上單一增添f(t)dt02設(shè)正項級數(shù)xn收斂，xn單一減少，證明limnxn0n1n3f(x,y)y2，證明：limf(x,y)不存在xyx0y0參照答案Px0x1xn一、1、有界函數(shù)f(x)定義在[a,b]上，給一種分法，ab和記nnMisupf(x),[xi1,xi],miinff(x),[xi1,xi]，則S(P)Mixi,S(P)mixi分別i1i1P大和和Darboux小和。稱為相應(yīng)于分法的Darboux0.Na使得mnN，建立n2、f(x)dxm3、Rn向量空間上定義內(nèi)積運算x,yx1y1xnyn組成Euclid空間二、1、因為limlnnn!lim1((nlni)nlnn)limnnnnni1ni12、解：兩曲線的交點為（2，2），（0，0），（2分）

lni11lnxdx1（7分）nn022(2xx)dx4所求的面積為：（5分）0233、解：In0exxndx=xnex|0+nexxn1dx=nIn11exxndx+exxndx（6分）001Inn!(1分）4、：u=2f1xyzf2（3分）2u2x(2zf11xyf12)yf2yz(2zf21xyf22)（4分）xzxexn1)，（3分）所以exx2xn因為余項rn(x)0(n1x5、解：x（4(n1)!2!n!分）三、1、解、可微必可偏導和連續(xù)，證明可看課本133頁（4分），可偏導不必定連續(xù)和可微例子可看課本135頁（6分）2、解：當p1時，級數(shù)絕對收斂，（4分）當0p1，由Dirichlet定理知級數(shù)收斂，但cosnxcos2nx1cos2nx|cosnx|分），當p0時，級，所以發(fā)散，即級數(shù)條件收斂（4npnp2np2npn1np數(shù)的一般項不趨于0，所以級數(shù)不收斂（2分）四、證明題（每題10分，共30分）xf(t)dtxxtf(t))dt'xf(x)f(x)tf(t)dtf(x)(xf(t)(x)0000（81證明：g(x(x分）f(t)dt)2f(t)dt)200所以函數(shù)單一增添（2分）2證明：m,nm，有(nm)xm1xnxm由此得nxnnxm，（4分）由級數(shù)收斂，故nm0可取定m0使得xm0，又limn1，故n0使得nn0時，有n2，（4分）于是nm0nmn當nn0時，有0nxn2，得證（2分）3、證明：limf(x,y)limx1limf(x,y)limx221，所以limf(x,y)不存在x0x0x2xx0x0x2x2x0yxyx2y0（10分）（二十三）數(shù)學剖析期末考試題一表達題：(每題5分，共15分）微積分基本公式無量項失常積分緊幾合二計算題：(每題7分，共35分）dx2dt2dx]1、[1t41x4dx012、求由以下兩條曲線圍成的平面圖形的面積3、求n(n2)xn的收斂半徑和收斂域n14、設(shè)uxeyzezy，求偏導數(shù)和全微分1xy15、limx0xy0議論與考證題：(每題10分，共30分）1議論f(x,y)x2y2的二重極限和二次極限x2y2(xy)21dx2議論e的斂散性0xplnx3、議論函數(shù)項fn()xnxn1(0x1)的一致收斂性。x四證明題：(每題10分，共20分）設(shè)f（x）連續(xù)，證明xxu1f(u)(xu)duf(x)dxdu0002證明uy(x2y2)知足yuxuxuxyy參照答案一、1、設(shè)f(x)在[a,b]連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)在[a,b]上的一個原函數(shù)，則建立bf(x)dxF(b)F(a)。af(x)在[a,)有定義，且在隨意有限區(qū)間[a,A]上可積。若極限limA2、設(shè)函數(shù)f(x)dx存Aa在，則稱失常積分收斂，不然稱失常積散發(fā)散3、假如S的隨意一個開覆蓋U中總存在一個有限子覆蓋，，即存在kkUUS，則稱S為緊集，知足iii1i1

中的有限個開集二、1、dx2dt2dx]=d[dx01t411x4dx

x2dt2x分）（701t41x82、解：兩曲線的交點為（-2，4），（1，1），（2分）1xx2)dx9所求的面積為：(2（5分）223：limnn(n2)1，收斂半徑為1（4分），因為x1時，級數(shù)不收斂，所以級數(shù)的收斂n域為（-1，1）（3分）4：u=eyzu=xzeyz1u=xyeyzez（4分）xyzdueyzdx(xzeyz1)dy(xyeyzez)dz（3分）5、解：lim1xy1lim(1xy1)(1xy1)1（7分）x0xyx0xy(1xy1)2y0y0三、1、解、因為沿ykx趨于（0，0）時，limx2y20k1x2y2(xy)21k，所以重極限不存在(x,kx)(0,0)1（5分）limlimx2y20,limlimx2y20，（5分）(xy)2(xy)2x0y0x2y2y0x0x2y21p11dx2：0p1，因為x20(x0)故e收斂（4分）；p1，因為xplnxxplnx01p11dx1dxx2(x)（4分）故e收斂，p1，e，發(fā)散（2分）。xplnx0xplnx0xlnx3、limfn(x)0f(x