九年級數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題動態(tài)幾何問題

中考數(shù)學(xué)專題動態(tài)幾何問題第一部分真題精講【例1】如圖，在梯形ABCD中，AD〃BC,AD=3,DC=5,BC=10,梯形的高為4.動點M從B點出發(fā)沿線段BC以每秒2個單位長度的速度向終點C運(yùn)動；動點N同時從C點出發(fā)沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動的時間為t(秒).(1)當(dāng)MN//AB時，求t的值；(2)試探究：t為何值時，△MNC為等腰三角形.【思路分析1】本題作為密云卷壓軸題,自然有一定難度,題目中出現(xiàn)了兩個動點,很多同學(xué)看到可能就會無從下手.但是解決動點問題,首先就是要找誰在動,誰沒在動,通過分析動態(tài)條件和靜態(tài)條件之間的關(guān)系求解。對于大多數(shù)題目來說,都有一個由動轉(zhuǎn)靜的瞬間,就本題而言”不是在動，意味著BM,MC以及DN,NC都是變化的。但是我們發(fā)現(xiàn)，和這些動態(tài)的條件密切相關(guān)的條件DC,BC長度都是給定的，而且動態(tài)條件之間也是有關(guān)系的.所以當(dāng)題中設(shè)定MN//AB時，就變成了一個靜止問題。由此，從這些條件出發(fā)，列出方程，自然得出結(jié)果?！窘馕觥拷猓?1)由題意知，當(dāng)M、N運(yùn)動到t秒時，如圖①，過D作DE/AB交BC于E點，則四邊形ABED是平行四邊形.丁AB/DE,AB/MN.???DE/MN. (根據(jù)第一講我們說梯形內(nèi)輔助線的常用做法，成功將MN放在三角形內(nèi),將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化成平行時候的靜態(tài)問題)MCNC，? 二 ECCD(這個比例關(guān)系就是將靜態(tài)與動態(tài)聯(lián)系起來的關(guān)鍵)10—2t10—32.解得t=50175.【思路分析2】第二問失分也是最嚴(yán)重的，很多同學(xué)看到等腰三角形，理所當(dāng)然以為是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN這兩種情況。在中考中如果在動態(tài)問題當(dāng)中碰見等腰三角形,一定不要忘記分類討論的思想,兩腰一底一個都不能少.具體分類以后,就成為了較為簡單的解三角形問題,于是可以輕松求解【解析】(2)分三種情況討論:①當(dāng)MN=NC時，如圖②作NF1BC交BC于F,則有MC=2FC即.(利用等腰三角形底邊高也是底邊中線的性質(zhì))SinNC=DFCD45,3???CoSNC=5,3t.?.10-21=2XM,25

解得t=25.8②當(dāng)MN=MC時，貝IJCN=2CH,3?t=2（10-21）x3.5如圖③，過M作MH1CD于H.60??t= 17.③當(dāng)MC=CN時,貝IJ10—21=t.10

t= .3綜上所述，當(dāng)t=25、60或—時，△MNC為等腰三角形.8 17 3【例2】在AABC中，∠ACB=45.點D（與點B、C不重合）為射線BC上一動點，連接4口，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.（1）如果48二人色如圖①,且點D在線段BC上運(yùn)動.試判斷線段CF與BD之間的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.出如果48不人心如圖②,且點D在線段BC上運(yùn)動.（1）中結(jié)論是否成立，為什么？（3）若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點P,設(shè)AC=4√2,BC=3,CD=X，求線段CP的長.（用含X的式子表示）A A圖⑴圖⑵【思路分析1】本題和上題有所不同,上一題會給出一個條件使得動點靜止,而本題并未給出那個“靜止點”，所以需要我們?nèi)シ治鲇蒁運(yùn)動產(chǎn)生的變化圖形當(dāng)中，什么條件是不動的。由題我們發(fā)現(xiàn),正方形中四條邊的垂直關(guān)系是不動的,于是利用角度的互余關(guān)系進(jìn)行傳遞,就可以得解?！窘馕觥浚?1)結(jié)論：CF與BD位置關(guān)系是垂直;證明如下：?.?AB=AC,∠ACB=45,Λ∠ABC=45.由正方形ADEF得AD=AF,V∠DAF=∠BAC=90,Λ∠DAB=∠FAC,Λ^DAB^^FAC,Λ∠ACF=∠ABD..?.∠BCF=∠ACB+∠ACF=90.即CF⊥BD.【思路分析2】這一問是典型的從特殊到一般的問法,那么思路很簡單,就是從一般中構(gòu)筑一個特殊的條件就行，于是我們和上題一樣找AC的垂線，就可以變成第一問的條件，然后一樣求解。(2)CF⊥BD.(1)中結(jié)論成立.理由是：過點A作AG⊥AC交BC于點G,.?AC=AG可證：AGAD@ACAF Λ∠ACF=∠AGD=45∠BCF=∠ACB+∠ACF=90.即CF⊥BD【思路分析3］這一問有點棘手，D在BC之間運(yùn)動和它在BC延長線上運(yùn)動時的位置是不一樣的，所以已給的線段長度就需要分情況去考慮到底是4+X還是4-X。分類討論之后利用相似三角形的比例關(guān)系即可求出CP.(3)過點人作人@，8?交CB的延長線于點Q,①點D在線段BC上運(yùn)動時，,.?ZBCA=45,可求出AQ二CQ二4..,.DQ=4-x, /"K易證4AQDs^DCP,??.絲=絲,：.C~=x, && \DQAQ 4-X4 ■??.CP=-x2+X. 14②點D在線段BC延長線上運(yùn)動時，?.?∠BCA=45,可求出AQ=CQ=4,.?.DQ=4+x.過A作AG?AC交CB延長線于點G,則AAGD=AACF.「.CF⊥BD,???△AQDSAdcp,.?.CP=CD,

DQAQCPx4+X—4，??.CP=X2 +X.4［例3］已知如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,AD=2,BC=4,點

M是AD的中點，△MBC是等邊三角形.(1)求證：梯形ABCD是等腰梯形；(2)動點P、Q分別在線段BC和MC上運(yùn)動，且∠MPQ=60°保持不變.設(shè)PC=X，mq=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)在(2)中，當(dāng)y取最小值時，判斷△PQC的形狀，并說明理由. M【思路分析1］本題有一點綜合題的意味，但是對二次函數(shù)要求不算太高，重點還是在考察幾何方面。第一問純靜態(tài)問題，自不必說，只要證兩邊的三角形全等就可以了。第二問和例1一樣是雙動點問題，所以就需要研究在P,Q運(yùn)動過程中什么東西是不變的、題目給定∠MPQ=60°,這個度數(shù)的意義在哪里？其實就是將靜態(tài)的那個等邊三角形與動態(tài)條件聯(lián)系了起來。因為最終求兩條線段的關(guān)系，所以我們很自然想到要通過相似三■角形找比例淳系怎么證相似三角形呢？當(dāng)然是利用角度咯。于是就有了思路. P【解析］(1)證明：:△MBC是等邊三角形?.MB=MC,∠MBC=NMCB=60o??M是AD中點.?.AM=MD：AD〃BC.?.NAMB=NMBC=60。，NDMC=NMCB=60。?.△AMB^ΔDMC?.AB=DC?.梯形ABCD是等腰梯形.(2)解：在等邊△MBC中，MB=MC=BC=4,NMBC=NMCB=60。，NMPQ=60。.?.NBMP+NBPM=NBPM+NQPC=120。「士人名后任由北沖擊曲上*@上cW(這個角度傳遞非常重要，大家要仔細(xì)揣摩)??.NBMP=NQPC??.△BMPs△CQPPC_CQBM~1P?.?PC=x,MQ=y??.BP=4—x,QC=4—yX=4-y

4~4^X.?.y=1χ2-χ+44 (設(shè)元以后得出比例關(guān)系，輕松化成二次函數(shù)的樣子)【思路分析2】第三問的條件又回歸了當(dāng)動點靜止時的問題。由第二問所得的二次函數(shù),很輕易就可以求出當(dāng)X取對稱軸的值時Y有最小值。接下來就變成了“給定PC=2,求APQC形狀”的問題了。由已知的吃=4,自然看出P是中點，于是問題輕松求解。(3)解：△PQC為直角三角形1?.?y=(x-2)+34.?.當(dāng)y取最小值時，x=PC=2：.P是BC的中點，MP±BC,而NMPQ=60。，.?.NCPQ=30o,??.NPQC=90o以上三類題目都是動點問題，這一類問題的關(guān)鍵就在于當(dāng)動點移動中出現(xiàn)特殊條件，例如某邊相等，某角固定時，將動態(tài)問題化為靜態(tài)問題去求解。如果沒有特殊條件,那么就需要研究在動點移動中哪些條件是保持不變的。當(dāng)動的不是點，而是一些具體的圖形時，思路是不是一樣呢？接下來我們看另外兩道題.【例4】已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF±BD交BC于F,連接DF,G為DF中點，連接EG,CG.(1)直接寫出線段EG與CG的數(shù)量關(guān)系；(2)將圖1中ABEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45。，如圖2所示，取DF中點G，連接EG,CG,.你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明.(3)將圖1中ABEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度,如圖3所示，再連接相應(yīng)的線段，問(1)中的結(jié)論是否仍然成立？(不要求證明)【思路分析1】這一題是一道典型的從特殊到一般的圖形旋轉(zhuǎn)題。從旋轉(zhuǎn)45°到旋轉(zhuǎn)任意角度,要求考生討論其中的不動關(guān)系。第一問自不必說,兩個共斜邊的直角三角形的斜邊中線自然相等。第二問將ABEF旋轉(zhuǎn)45°之后，很多考生就想不到思路了.事實上，本題的核心條件就是G是中點，中點往往意味著一大票的全等關(guān)系，如何構(gòu)建一對我們想要的全等三角形就成為了分析的關(guān)鍵所在。連接AG之后，拋開其他條件，單看G點所在的四邊形ADFE,我們會發(fā)現(xiàn)這是一個梯形，于是根據(jù)我們在第一講專題中所討論的方法，自然想到過6點做AD,EF的垂線。于是兩個全等的三角形出現(xiàn)了.CG=EG(1)中結(jié)論沒有發(fā)生變化，即CG=EG.證明：連接AG,過G點作MN1AD于M，與EF的延長線交于N點.在ADAG與ADCG中，;AD=CD,NADG=NCDG,DG=DG,.?.ADAG2ADCG..?.AG=CG.在ADMG與AFNG中,丁NDGM=NFGN,FG=DG,NMDG=NNFG,.?.ADMG2AFNG..?.MG=NG在矩形AENM中，AM=EN在RtAAMG與RtAENG中，;AM=EN,MG=NG,.?.AAMG2AENG..?.AG=EG..?.EG=CG【思路分析2】第三問純粹送分,不要求證明的話幾乎所有人都會答出仍然成立.但是我們不應(yīng)該止步于此。將這道題放在動態(tài)問題專題中也是出于此原因，如果△BEF任意旋轉(zhuǎn)，哪些量在變化，哪些量不變呢？如果題目要求證明，應(yīng)該如何思考。建議有余力的同學(xué)自己研究一下，筆者在這里提供一個思路供參考：在ABEF的旋轉(zhuǎn)過程中，始終不變的依然是G點是FD的中點。可以延長一倍EG到H,從而構(gòu)造一個和EFG全等的三角形，利用BE=EF這一條件將全等過渡。要想辦法證明三角形ECH是一個等腰直角三角形，就需要證明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度變換關(guān)系就可以得證了.（3）（1）中的結(jié)論仍然成立．BC圖3【例5】已知正方形ABCD的邊長為6cm,點E是射線BC上的一個動點，連接AE交射線DC于點F,將AABE沿直線AE翻折，點B落在點B,處.（1）當(dāng)BE=1時，CF=cm,CE(2)當(dāng)BE=2時，求sin∠DAB'的值;CE（3）當(dāng)BE=X時（點C與點E不重合），請寫出4人8￡翻折后與正方形ABCD公共部CE分的面積y與X的關(guān)系式，（只要寫出結(jié)論，不要解題過程）. AB【思路分析】動態(tài)問題未必只有點的平移，圖形的旋轉(zhuǎn)，翻折（就是軸對稱）也是一大熱點。這一題是朝陽卷的壓軸題,第一問給出比例為1,

所以也是一道很明顯的從一般到特殊的遞進(jìn)式題目。條件發(fā)生了變化,哪些條件沒有發(fā)生變化。一般說來第二問比例為2,第三問比例任意同學(xué)們需要仔細(xì)把握翻折過程中哪些翻折中，角，邊都是不變的，所以軸,,對稱圖形也意味著大量全等或者相似關(guān)系，所以要利用這些來獲得線段之間的比例關(guān)系。尤其注意的是，本題中給定的比例都是有兩重情況的，E在BC上和E在延長線上都是可能的，所以需要大家分類討論,不要遺漏?！窘馕觥?1)CF=6(2)①如圖1cm;（延長之后一眼看出，EAZY）,當(dāng)點E在BC上時，延長AB,交DC于點M設(shè)MA=MF=k,則MC=k-3,DM=9-k.在Rt△ADM中，由勾股定理得：k2=(9-k)2+62,解得k=MA=-.2???DM=5.（設(shè)元求解是這類題型中比較重要的方2法），，DM5???sin∠DAB'= =—;AM13②如圖2,當(dāng)點E在BC延長線上時，延長AD交B'E于點N,

同①可得NA=NE.設(shè)NA=NE=m,則B'N=12-m.在Rt^AB'N中，由勾股定理，得m2=(12一m)2+62,解得m=AN=15./.B'N=9.2 2BN3/sin∠DAB'=——=-.AN5⑶①當(dāng)點E在BC上時，V=-18x;X+1圖2（所求^AB'E的面積即為AABE的面積，再由相似表示出邊長）②當(dāng)點E在BC延長線上時,v=18X~18.X【總結(jié)】通過以上五道例題,我們研究了動態(tài)幾何問題當(dāng)中點動,線動,乃至整體圖形動這么幾種可能的方式。動態(tài)幾何問題往往作為壓軸題來出,所以難度不言而喻,但是希望考生拿到題以后不要慌張,因為無論是題目以哪種形態(tài)出現(xiàn),始終把握的都是在變化過程中那些不變的量。只要條分縷析,一個個將條件抽出來,將大問題化成若干個小問題去解決,就很輕松了。為更好的幫助考生,筆者總結(jié)這種問題的一般思路如下：第一、仔細(xì)讀題,分析給定條件中那些量是運(yùn)動的,哪些量是不動的。針對運(yùn)動的量,要分析它是如何運(yùn)動的,運(yùn)動過程是否需要分段考慮,分類討論。針對不動的量,要分析它們和動量之間可能有什么關(guān)系,如何建立這種關(guān)系。第二、畫出圖形,進(jìn)行分析,尤其在于找準(zhǔn)運(yùn)動過程中靜止的那一瞬間題目間各個變量的關(guān)系。如果沒有靜止?fàn)顟B(tài),通過比例,相等等關(guān)系建立變量間的函數(shù)關(guān)系來研究。第三、做題過程中時刻注意分類討論,不同的情況下題目是否有不同的表現(xiàn),很多同學(xué)丟分就丟在沒有討論,只是想當(dāng)然看出了題目所給的那一種圖示方式,沒有想到另外的方式,如本講例5當(dāng)中的比例關(guān)系意味著兩種不一樣的狀況,是否能想到就成了關(guān)鍵。第二部分發(fā)散思考【思考1】已知：如圖(1)，射線AM//射線BN,AB是它們的公垂線，點D、C分別在AM、BN上運(yùn)動(點D與點A不重合、點C與點B不重合)，E是AB邊上的動點(點E與A、B不重合)，在運(yùn)動過程中始終保持DE1EC，且AD+DE=AB=a.(1)求證：KADESABEC；(2)如圖(2),當(dāng)點E為AB邊的中點時，求證：AD+BC=CD；(3)設(shè)AE=m，請?zhí)骄浚篈BEC的周長是否與m值有關(guān)？若有關(guān)，請用含有m的代數(shù)式表示ABEC的周長；若無關(guān)，請說明理由.第25題(1) 第25題(2)【思路分析】本題動點較多,并且是以和的形式給出長度。思考較為不易,但是圖中有多個直角三角形,所以很自然想到利用直角三角形的線段、角關(guān)系去分析.第三問計算周長,要將周長的三條線段分別轉(zhuǎn)化在一類關(guān)系當(dāng)中，看是否為定值，如果是關(guān)于M的函數(shù)，那么就是有關(guān),如果是一個定值,那么就無關(guān),于是就可以得出結(jié)論了.【思考2】AABC是等邊三角形，P為平面內(nèi)的一個動點，BP=BA若?！鉜∠PBCV180°,且∠PBC平分線上的一點D滿足DB=DA(1)當(dāng)BP與BA重合時(如圖1),∠BPD=°；(2)當(dāng)BP在∠ABC的內(nèi)部時(如圖2),求∠BPD的度數(shù)；(3)當(dāng)BP在∠ABC的外部時，請你直接寫出/BPD的度數(shù)，并畫出相應(yīng)的圖形.【思路分動點P相關(guān)以及D點的的量就是且DB=DA析】本題中，和的動量有∠PBC,位置，但是不動BD是平分線并從這幾條出發(fā)，可以利用角度相等來找出相似、全等三角形。事實上，P點的軌跡就是以B為圓心，BA為半徑的一個圓，那D點是什么呢？留給大家思考一下~【思考3】如圖：已知，四邊形ABCD中，AD//BC,口?，82已知AB=5,3BC=6,CosB=5.點。為BC邊上的一個動點，連結(jié)OD,以。為圓心，BO為半徑的。。分別交邊AB于點P,交線段OD于點M,交射線BC于點N,連結(jié)MN.(1)當(dāng)BO=AD時，求BP的長；(2)點O運(yùn)動的過程中，是否存在BP=MN的情況？若存在，請求出當(dāng)BO為多長時BP=MN;若不存在,請說明理由；(3)在點O運(yùn)動的過程中，以點?為圓心，CN為半徑作。工請直接寫出當(dāng)。C存在時，。。與。C的位置關(guān)系，以及相應(yīng)的。C半徑CN的取值范圍。8/13【思路分析】這道題和其他題目不同點在于本題牽扯到了有關(guān)圓的動點問題。在和圓有關(guān)

的問題當(dāng)中，時刻不要忘記的就是圓的半徑始終相等這一個隱藏的靜態(tài)條件。本題第一問

比較簡單，等腰梯形中的計算問題。第二問則需要用設(shè)元的方法表示出MN和BP,從而討論

他們的數(shù)量關(guān)系。第三問的猜想一定要記得分類分情況討論?！舅伎?】在ABCD中，過點。作。￡，?？诮籄D于點E,將線段EC繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90得到線段EF（如圖1） 。（1）在圖1中畫圖探究：口①當(dāng)P為射線CD上任意一點（P1不與C重合）時,連結(jié)EP1繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90得

到線段EC1。判斷直線Fq與直線CD的位置關(guān)系，并加以證明； 。②當(dāng)P2為線段DC的延長線上任意一點時,連結(jié)EP2，將線段EP2繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90

得到線段EC2。判斷直線C1C2與直線CD的位置關(guān)系，畫出圖形并直接寫出你的結(jié)論。。4（2）若AD=6,tanB=z,AE=1，在①的條件下，設(shè)CP=X，SPFC=J，求y與X之間的

3 1 11函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量X的取值范圍.△【思路分析】本題是去年中考原題，雖不是壓軸，但動點動線一起考出來,難倒了不少同學(xué).

事實上就在于如何把握這個旋轉(zhuǎn)90°的條件。旋轉(zhuǎn)90°自然就是垂直關(guān)系，于是又出現(xiàn)了

一堆直角三角形，于是證角，證線就手到擒來了。第二問一樣是利用平行關(guān)系建立函數(shù)式，

但是實際過程中很多同學(xué)依然忘記分類討論的思想，漏掉了很多種情況，失分非?？上?。建

議大家仔細(xì)研究這道中考原題，按照上面總結(jié)的一般思路去拆分條件，步步為營的去解答。

第三部分思考題解析【思考1解析】（1）證明：YDE1EC，.?./DEC=90o,Λ/AED+ZBEC=900.又?.?/A=ZB=90o，.?./AED+ZEDA=900..?.ZBEC=ZEDA.???AADESABEC.（2）證明：如圖，過點E作EF//BC,交CD于點FYE是AB的中點，容易證明EF=?（AD+BC）.在RtADEC中，YDF=CF,?EF=-CD.2.??-（AD+BC）=-CD.

2 2?AD+BC=CD.（3）解：AAED的周長=AE+AD+DE=a+m，BE=a—m.ADMB C第25題設(shè)AD-X,則DE=a-X.,.?ZA=90o,.*.DE2=AE2+AD2,即42—2ax+χ2=巾2+χ2.“2-m2X= Ia由(1)知AADESNBEC,。2-m2.AAQE1的周長_AD_―2a—_a+m?，ABEC的周長~~BE~a-m~2a,2a：.ABEC的周長= ?AADE的周長=2α.a+m：.的周長與相值無關(guān).【思考2答案】解：(1)ZBPD=30°；(2)如圖8,連結(jié)CD.解一：丁點D在NPBC的平分線上，.*.Z1=Z2.???AABC是等邊三角形，.*.BA=BC=AQZACB=60o. A???BP=BA, A.P;蠹 A??.ΔPBD^ΔCBD. 3Xc.,.ZBPD=Z3. 3分圖8?.?DB=DA,BC=AC,CD=CD,ΔBCD^ΔACD./3=/4」/AC^=30。?2.?.ZBPD=30°.解二：:4ABC是等邊三角形，??.BA=BC=AQ?；DB=DA,.?.CD垂直平分AB.?*?∕3=∕4=l∕AC5=30°?2,/BP=BA,.?.BP=BC.Y點D在NPBC的平分線上，.?.APBD與ACBD關(guān)于BD所在直線對稱..?.NBPD=N3.??.NBPD=30°(3)NBPD=30°或150°圖形見圖9、圖10...【思考3解析】A解：(1)過點ADAE⊥BC,?Rt?AB⊥BC,AD〃B BC=6,ΛAD=EC=BC-BE=3.ABC當(dāng)B0=AD=3時， 在。O中圖過點0作0H⊥AB，則BH=HPA=5,CosB=5得BE=3.BH 39=cosB,.BH=3×-=-BO 55..?.BP=l58.(2)不存在BP=MN的情況-假設(shè)BP=MN成立，TBP和MN為。0的弦，貝IJ必有NBOP=NDOC.過P作PQ⊥BC，過點O作OH⊥AB,TCD⊥BC，貝IJ有4PQ0s4D0C-BH設(shè)B0=x,則P0=x,由 =cosB=X335,得BH=5χ,.?.BP=2BH=6X.1824.?.BQ=BP×cosB=25X,PQ=25X.18