高中數(shù)學一學案：2.1.2　函數(shù)的表示方法

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2．1。2函數(shù)的表示方法學習目標1.理解函數(shù)的三種表示方法.2.能根據(jù)需要選擇恰當?shù)暮瘮?shù)表示方法.3。了解分段函數(shù)，并能進行簡單應用．知識點一解析法思考一次函數(shù)如何表示？梳理用等式來表示兩個變量之間函數(shù)關系的方法稱為解析法．這個等式通常叫做函數(shù)的解析表達式，簡稱解析式．知識點二圖象法思考要知道林黛玉長什么樣，你覺得一個字的描述和一張二寸照片哪個更直觀？梳理用圖象表示兩個變量之間函數(shù)關系的方法稱為圖象法．知識點三列表法思考在街頭隨機找100人，請他們依次隨意地寫一個數(shù)字．設找的人序號為x，x＝1，2，3,…，100。第x個人寫下的數(shù)字為y，則x與y之間是不是函數(shù)關系？能否用解析式表示？怎樣表示這種對應關系？梳理用列表來表示兩個變量之間函數(shù)關系的方法稱為列表法．三種表示法的優(yōu)缺點：知識點四分段函數(shù)思考某市規(guī)定出租車收費標準:起步價（不超過2km)為5元．超過2km時，前2km依然按5元收費，超過2km部分，每千米收1.5元．按此規(guī)定乘坐出租車行駛?cè)我庖欢温烦?，是否都有一個唯一的收費額與之對應?收費額y元是行駛里程xkm的函數(shù)嗎？當x∈［0，2］時的計費方法與x∈(2，＋∞）時計費方法一樣嗎?梳理在定義域內(nèi)不同部分上，有不同的解析表達式．像這樣的函數(shù)，通常叫做分段函數(shù)．類型一解析式的求法例1根據(jù)下列條件，求f（x）的解析式．(1）f(f（x))＝2x－1,其中f(x)為一次函數(shù);（2)f(x＋eq\f（1,x）)＝x2＋eq\f（1,x2)；（3）f（x)＋2f（－x)＝x2＋2x。反思與感悟(1)如果已知函數(shù)類型，可以用待定系數(shù)法．(2）如果已知f（g（x）)的表達式,想求f(x)的解析式，可以設t＝g（x)，然后把f(g（x))中每一個x都換成t的表達式．（3）如果條件是一個關于f(x）、f(－x）的方程,我們可以用x的任意性進行賦值．如把每一個x換成－x，其目的是再得到一個關于f（x)、f(－x)的方程，然后消元消去f(－x)．跟蹤訓練1根據(jù)下列條件，求f（x）的解析式．(1)f（x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1）－f(x)＝2x＋9；（2)f(x＋1）＝x2＋4x＋1；(3）2f(eq\f(1，x)）＋f(x）＝x(x≠0）．類型二列表法及函數(shù)表示法的選擇例2下表是某校高一（1)班三名同學在高一學年度六次數(shù)學測試的成績及班級平均分表．測試序號成績姓名第1次第2次第3次第4次第5次第6次王偉988791928895張城907688758680趙磊686573727582班級平均分88。278.385。480。375。782。6（1)選擇合適的方法表示測試序號與成績的關系;（2)根據(jù)表示出來的函數(shù)關系對這三位同學的學習情況進行分析．反思與感悟函數(shù)的三種表示方法都有各自的優(yōu)點，有些函數(shù)能用三種方法表示，有些只能用其中的一種來表示．跟蹤訓練2若函數(shù)f(x）如下表所示：x0123f（x)3210則f（f(1))＝________.類型三分段函數(shù)命題角度1建立分段函數(shù)模型例3如圖所示，已知底角為45°的等腰梯形ABCD，底邊BC長為7cm，腰長為2eq\r(2)cm，當垂直于底邊BC(垂足為F）的直線l從左至右移動（與梯形ABCD有公共點)時，直線l把梯形分成兩部分，令BF＝x，試寫出左邊部分的面積y關于x的函數(shù)解析式，并畫出大致圖象．反思與感悟當目標在不同區(qū)間有不同的解析表達方式時，往往需要用分段函數(shù)模型來表示兩變量間的對應關系，而分段函數(shù)圖象也需要分段畫．跟蹤訓練3某市“招手即?！惫财嚨钠眱r按下列規(guī)則制定:(1)5公里以內(nèi)(含5公里），票價2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票價增加1元(不足5公里按照5公里計算）．如果某條線路的總里程為20公里，請根據(jù)題意，寫出票價與里程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖象．命題角度2研究分段函數(shù)的性質(zhì)例4已知函數(shù)f（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≤2，，x2＋2,x>2。))(1)求f(f(eq\f（3，2）））；(2)若f（x0）＝8，求x0的值；(3）解不等式f(x)〉8。反思與感悟已知函數(shù)值求變量x取值的步驟(1）先對x的取值范圍分類討論．(2）然后代入到不同的解析式中．（3）通過解方程求出x的解．(4)檢驗所求的值是否在所討論的區(qū)間內(nèi)．（5)若解不等式，應把所求x的范圍與所討論區(qū)間求交集,再把各區(qū)間內(nèi)的符合要求的x的值并起來．跟蹤訓練4已知f(x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x2，－1≤x≤1，，1，x〉1或x<－1。))（1)畫出f(x)的圖象；（2)若f（x)≥eq\f(1,4），求x的取值范圍；(3)求f(x）的值域．1．已知函數(shù)f(x）由下表給出，則f（f(3)）＝________.x1234f(x)32412。如果二次函數(shù)的圖象開口向上頂點坐標為（1,－1)，且過點（0,0)，則此二次函數(shù)的解析式為______________．3．已知正方形的邊長為x,它的外接圓的半徑為y，則y關于x的解析式為________．4．如圖所示，函數(shù)圖象是由兩條射線及拋物線的一部分組成，則函數(shù)的解析式為________．5．已知函數(shù)f(x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋4，x≤0,,x2－2x,0〈x≤4,，－x＋2，x>4。））（1)求f（f(f（5）))的值；（2）畫出函數(shù)f(x）的圖象．1．如何求函數(shù)的解析式求函數(shù)的解析式的關鍵是理解對應法則f的本質(zhì)與特點(對應法則就是對自變量進行對應處理的操作方法,與用什么字母表示無關）,應用適當?shù)姆椒?，注意有的函?shù)要注明定義域．主要方法有：待定系數(shù)法、換元法、解方程組法(消元法)．2．如何用函數(shù)圖象常借助函數(shù)圖象研究定義域、值域、函數(shù)變化趨勢及兩個函數(shù)圖象交點問題．3．對分段函數(shù)的理解(1）分段函數(shù)是一個函數(shù)而非幾個函數(shù)．分段函數(shù)的定義域是各段上“定義域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．(2)分段函數(shù)的圖象應分段來作，特別注意各段的自變量取值區(qū)間端點處函數(shù)的取值情況,以決定這些點的虛實情況．

答案精析問題導學知識點一思考y＝kx＋b(k≠0)．知識點二思考一圖勝千言．知識點三思考對于任一個x的值，都有一個他寫的數(shù)字與之對應，故x，y之間是函數(shù)關系，但因為人是隨機找的，數(shù)字是隨意寫的，故難以用解析式表示．這時可以制作一個表格來表示x的值與y的值之間的對應關系．知識點四思考因為任一行駛里程x都對應唯一的收費額y，故y是x的函數(shù);但由于起步價的規(guī)定，x∈［0，2]時,y＝5，x∈(2，＋∞）時，y＝5＋（x－2）×1。5。計費方法不一樣．題型探究例1解(1)由題意,設f(x）＝ax＋b(a≠0)，∵f(f(x)）＝af(x）＋b＝a（ax＋b）＋b＝a2x＋ab＋b＝2x－1，由恒等式性質(zhì)，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a2＝2，，ab＋b＝－1，））∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝\r（2),,b＝1－\r（2)）)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\r（2)，，b＝1＋\r（2).))∴所求函數(shù)解析式為f（x)＝eq\r(2）x＋1－eq\r（2）或f（x)＝－eq\r（2）x＋1＋eq\r（2)。(2）∵f（x＋eq\f(1，x)）＝x2＋eq\f(1，x2)＝（x＋eq\f(1,x）)2－2，∴f（x）＝x2－2。又x≠0，∴x＋eq\f(1,x）≥2或x＋eq\f(1，x)≤－2，∴f（x)中的x與f（x＋eq\f(1，x））中的x＋eq\f（1,x)取值范圍相同,∴f(x）＝x2－2，x∈（－∞，－2］∪[2,＋∞）．(3）∵f(x)＋2f（－x）＝x2＋2x，將x換成－x，得f(－x）＋2f(x)＝x2－2x，∴聯(lián)立以上兩式消去f(－x)，得3f(x）＝x2－6x,∴f（x）＝eq\f(1,3）x2－2x。跟蹤訓練1解(1）由題意，設f(x)＝ax＋b（a≠0）,∵3f(x＋1）－f(x）＝2x＋9，∴3a（x＋1）＋3b－ax－b＝2x＋9，即2ax＋3a＋2b＝2x＋9,由恒等式性質(zhì)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（2a＝2，，3a＋2b＝9，)）∴a＝1，b＝3?！嗨蠛瘮?shù)解析式為f（x)＝x＋3。(2)設x＋1＝t，則x＝t－1,f(t)＝(t－1）2＋4（t－1)＋1，即f（t）＝t2＋2t－2?！嗨蠛瘮?shù)解析式為f（x)＝x2＋2x－2。(3)∵f(x)＋2f(eq\f（1,x））＝x,將原式中的x與eq\f（1，x）互換，得f（eq\f（1,x))＋2f（x）＝eq\f(1,x）.于是得關于f(x）的方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（fx＋2f\f（1,x）＝x，,f\f（1,x)＋2fx＝\f(1，x），）)解得f(x）＝eq\f（2,3x）－eq\f(x,3）(x≠0)．例2解（1）不能用解析法表示，用圖象法表示為宜．在同一個坐標系內(nèi)畫出這四個函數(shù)的圖象如下:(2）王偉同學的數(shù)學成績始終高于班級平均水平，學習情況比較穩(wěn)定而且成績優(yōu)秀．張城同學的數(shù)學成績不穩(wěn)定，總是在班級平均水平上下波動,而且波動幅度較大．趙磊同學的數(shù)學成績低于班級平均水平，但他的成績曲線呈上升趨勢，表明他的數(shù)學成績在穩(wěn)步提高．跟蹤訓練21例3解過點A，D分別作AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分別是G，H.因為四邊形ABCD是等腰梯形,底角為45°，AB＝2eq\r(2）cm,所以BG＝AG＝DH＝HC＝2cm,又BC＝7cm，所以AD＝GH＝3cm。(1）當點F在BG上，即x∈[0,2]時，y＝eq\f（1,2）x2；(2)當點F在GH上,即x∈（2,5］時,y＝eq\f（x＋x－2，2）×2＝2x－2;(3)當點F在HC上，即x∈（5，7]時，y＝S五邊形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝eq\f(1，2）(7＋3)×2－eq\f（1,2)(7－x）2＝－eq\f(1,2)(x－7）2＋10.綜合（1）（2)（3），得函數(shù)的解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(1,2）x2，x∈[0，2］，,2x－2,x∈2，5]，，－\f(1，2)x－72＋10，x∈5，7］.）)

圖象如圖所示：跟蹤訓練3解設票價為y元，里程為x公里，定義域為（0,20]．由題意得函數(shù)的解析式為y＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2，0〈x≤5，，3，5<x≤10，,4，10〈x≤15，，5，15<x≤20。））函數(shù)圖象如圖所示：例4解（1)∵eq\f（3，2）≤2，∴f(eq\f（3，2）)＝2×eq\f(3，2)＝3,∴f（f(eq\f(3，2）))＝f(3）．∵3＞2，∴f(3)＝32＋2＝11,即f（f（eq\f(3,2)））＝11。(2)當x0≤2時，由2x0＝8，得x0＝4，不符合題意；當x0〉2時,由xeq\o\al（2,0）＋2＝8,得x0＝eq\r（6）或x0＝－eq\r(6)(舍去）,故x0＝eq\r(6).（3)f(x)〉8等價于eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤2，,2x〉8，))①或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x〉2，，x2＋2〉8,)）②解①得x∈?，解②得x>eq\r（6）.綜合①②，f(x)〉8的解集為{x｜x>eq\r（6)｝．跟蹤訓練4解（1)利用描點法，作出f（x)的圖象，如圖所示．(2）由于f（±eq\f（1,2）)＝eq\f(1,4），結(jié)合此函數(shù)圖象可知，使f（x）≥eq\f(1，4)的x的取值范圍是(－∞，－eq\f（1,2）］∪[eq\f(1，2），＋∞)．（3)由圖象知，當－1≤x≤1時,f（x）＝x2的值域為[0,1］，當x>1或x<－1時，f（x)＝1.所以f(x）的值域為[0，1］．當堂訓練1．12。f（x)＝（x－1）2－13.y＝eq