2023-2024學(xué)年青海省西寧市城西區(qū)海湖中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年青海省西寧市城西區(qū)海湖中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.如果向量a=(1,2)，A.(9,8) B.(?72.已知復(fù)數(shù)z滿足z(1+2i)A.?2 B.5 C.?2i3.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，△ABC的面積為23，A.22 B.23 C.4.疫情期間，為了宣傳防護(hù)工作，某宣傳小組從A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)社區(qū)中隨機(jī)選出兩個(gè)進(jìn)行宣傳，則該小組到E社區(qū)宣傳的概率為(

)A.310 B.25 C.155.高二(1)班7人宿舍中每個(gè)同學(xué)的身高分別為170，168，172，172，175，176，180，求這7人的第60百分位數(shù)為(

)A.168 B.175 C.172 D.1766.已知向量a=(x?1,2)，A.2 B.2 C.227.我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了著名的祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”.意思是如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．現(xiàn)有同高的圓錐和棱錐滿足祖咂原理的條件，若棱錐的體積為3π，圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，則圓錐的母線長為(

)A.33 B.1 C.38.為了解甲、乙兩個(gè)班級(jí)學(xué)生的物理學(xué)習(xí)情況，從兩個(gè)班學(xué)生的物理成績(均為整數(shù))中各隨機(jī)抽查20個(gè)，得到如圖所示的數(shù)據(jù)圖(用頻率分布直方圖估計(jì)總體平均數(shù)時(shí)，每個(gè)區(qū)間的值均取該區(qū)間的中點(diǎn)值)，關(guān)于甲、乙兩個(gè)班級(jí)的物理成績，下列結(jié)論正確的是(

)

A.甲班眾數(shù)小于乙班眾數(shù) B.乙班成績的75百分位數(shù)為79

C.甲班的中位數(shù)為74 D.甲班平均數(shù)大于乙班平均數(shù)估計(jì)值二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.已知z是復(fù)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則下列說法正確的是(

)A.若zi=1+2i，則|z|=5

B.若z=12+310.一個(gè)口袋中有除顏色外完全相同的2個(gè)紅球和3個(gè)白球，從中取出2個(gè)球，則(

)A.若不放回地抽取，則“取出2個(gè)紅球”和“取出2個(gè)白球”是對(duì)立事件

B.若不放回地抽取，則第2次取到紅球的概率與第1次取到紅球的概率相等

C.若有放回地抽取，則取出1個(gè)紅球和1個(gè)白球的概率是625

D.若有放回地抽取，則至少取出一個(gè)紅球的概率是11.設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn)，a、b表示兩條直線，α、β表示兩個(gè)平面，下列說法正確的是(

)A.若P∈a，P∈α，則a?α

B.若a∩b=P，b?β，則a?β

C.若a//b，12.如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別為AD，AA.三棱錐C?EFG的體積與G點(diǎn)位置無關(guān)

B.若G為A1C1中點(diǎn)，則過點(diǎn)E，F(xiàn)，G作正方體的截面，所得截面的面積是92

C.若G與C1重合，則過點(diǎn)E，F(xiàn)，G作正方體的截面，截面為三角形

D.三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知向量a=(1,3)，b=(14.已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…xn的方差為4，則數(shù)據(jù)2x1+3，15.設(shè)A，B，C為三個(gè)隨機(jī)事件，若A與B互斥，B與C對(duì)立，且P(A)=14，P(C16.廣場(chǎng)上的玩具石凳是由正方體截去八個(gè)一樣大的四面體得到的(如圖).如果被截正方體的棱長為22，那么玩具石凳的表面積為______．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

已知平面向量a，b滿足|a|=1，|3a?2b|=13，且a，b的夾角為60°．18.(本小題12.0分)

甲、乙二人獨(dú)立破譯同一密碼，甲破譯密碼的概率為0.7，乙破譯密碼的概率為0.6.記事件A：甲破譯密碼，事件B：乙破譯密碼．

(Ⅰ)求甲、乙二人都破譯密碼的概率；

(Ⅱ)求恰有一人破譯密碼的概率．19.(本小題12.0分)

為了解學(xué)生對(duì)黨的“二十大”精神的學(xué)習(xí)情況，學(xué)校開展了“二十大”相關(guān)知識(shí)的競(jìng)賽活動(dòng)，全校共有1000名學(xué)生參加，其中男生550名，采用分層抽樣的方法抽取100人，將他們的比賽成績(成績都在[50,100]內(nèi))分為[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[9020.(本小題12.0分)

為普及消防安全知識(shí)，某學(xué)校組織相關(guān)知識(shí)競(jìng)賽.比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為45，35；在第二輪比賽中，甲、乙勝出的概率分別為23，34，甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響．

(1)從甲、乙兩人中選121.(本小題12.0分)

如圖為一個(gè)組合體，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC//PD，且PD=AD22.(本小題12.0分)

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且滿足bcosA+3bsinA?答案和解析1.【答案】B

【解析】解：向量a=(1,?2)，b=(4,?32.【答案】A

【解析】解：z(1+2i)=5，

則z=51+2i=3.【答案】D

【解析】解：因?yàn)椤鰽BC的面積為23，C=60°，

所以S△ABC=12absi4.【答案】D

【解析】解：從A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)社區(qū)中隨機(jī)選出兩個(gè)的結(jié)果有{A,B}，{A,C}，{A,D}，{A,E}，{A,F}，{B,C}，{B,D}，{B,E}，{B,F}，{C,D}，{C5.【答案】B

【解析】【分析】本題考查百分位數(shù)的求法，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

把這7人的身高從小到大排列，由7×60%=4.2，得到第5【解答】

解：把這7人的身高從小到大排列為：168，170，172，172，175，176，180，

7×60%=4.2，

∴第5個(gè)數(shù)據(jù)為這7人的第60百分位數(shù)，即這7人的第60百分位數(shù)為1756.【答案】D

【解析】解：∵a=(x?1,2)，b=(x,1)，且a//b，

∴x?17.【答案】D

【解析】【分析】本題考查圓錐的母線長的求法、考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

推導(dǎo)出圓錐的體積為3π，設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖這個(gè)半圓的半徑是R，即圓錐的母線長是R，半圓的弧長是πR，圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長，設(shè)圓錐的底面半徑是r，則R=【解答】

解：現(xiàn)有同高的圓錐和棱錐滿足祖暅原理的條件，棱錐的體積為3π，

∴圓錐的體積為3π，

∵圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，

設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖這個(gè)半圓的半徑是R，

即圓錐的母線長是R，半圓的弧長是πR，

圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長，

設(shè)圓錐的底面半徑是r，則得到2πr=πR，∴R=2r，

∴圓錐的高h(yuǎn)=(28.【答案】D

【解析】解：甲班眾數(shù)為79，乙班眾數(shù)為75，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

∵0.020×10+0.025×10+0.030=0.75，

∴乙班成績的75百分位數(shù)為80，

故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

根據(jù)頻數(shù)分布圖知，

甲班學(xué)生的物理成績從小到大排序的第10、11個(gè)數(shù)是79，79，

故甲班的中位數(shù)為79，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

甲班平均數(shù)為120×(57×2+58+599.【答案】AB【解析】解：zi=1+2i，

則z=1+2ii=2?i，

故|z|=22+(?1)2=5，故A正確；

z=12+32i，

則z2=14?34+32i=?12+310.【答案】BD【解析】解：由題知，不放回地抽取2個(gè)球包括2個(gè)都是紅球、2個(gè)都是白球和1個(gè)紅球1個(gè)白球，共3種情況，

所以“取出2個(gè)紅球”和“取出2個(gè)白球”是互斥事件，但不是對(duì)立事件，故A錯(cuò)誤；

記2個(gè)紅球分別為a，b，3個(gè)白球分別為1，2，3，

不放回地從中取2個(gè)球的樣本空間Ω1={ab,a1,a2,a3,ba,b1,b2,b3,1a,1b,12,13,2a,2b,21,23,3a,3b,31,32}共20種，

記事件A為“第1次取到紅球”，事件B為“第2次取到紅球”，

則A={ab,a1,a2,a11.【答案】CD【解析】解：當(dāng)a∩α=P時(shí)，P∈a，P∈α，但a?α，故A錯(cuò)；

當(dāng)a∩β=P時(shí)，B錯(cuò)；

如圖，∵a//b，P∈b，∴P?a，

∴由直線a和點(diǎn)P確定唯一平面α，

又a//b，由a與b確定唯一平面β，但β經(jīng)過直線a和點(diǎn)P，12.【答案】AB【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A：VC?EFG=VG?EFC=13S△EFC?CC1=13×12×2×322×2=1.所以，三樓錐C?EFG的體積與G點(diǎn)位置無關(guān)，從而D錯(cuò)誤，A正確，

對(duì)于選項(xiàng)B：正方體ABCD?A1B1C1D1中，由E，F(xiàn)，G分別為AD，AB，A1C1的中點(diǎn)，則EF//BD，

因?yàn)锽B1//DD1且BB1=DD1，所以，四邊形BB1D1D為平行四邊形，所以，B1D1//BD，

且有EF=12BD=12B1D1=2，

由勾股定理可得D1E=B1F=BB12+BF2=513.【答案】(【解析】解：由題意向量a=(1,3)，b=(0,1)，

則a?b=3,14.【答案】4

【解析】解：設(shè)原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x?，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2x?+3，

則其方差為1n[(x1?x?)2+(x2?x?)2+…+(xn?x?)2]=4，15.【答案】712【解析】【分析】本題考查概率的求法，考查對(duì)立事件概率計(jì)算公式、互斥事件概率加法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式求出P(B)【解答】

解：∵隨機(jī)事件A，B，C中，A與B互斥，B與C對(duì)立，且P(A)=14，P(C)=216.【答案】8【解析】解：根據(jù)題意可知，

玩具石凳的表面由8個(gè)全等的以2為邊長的等邊三角形和以2為邊長的全等的6個(gè)正方形構(gòu)成，

∴玩具石凳的表面積為：8×12×22sin60°+6×217.【答案】解：(1)由已知|3a?2b|2=13，展開得到9a2?12a?b+4b2=13，所以4|b|2?【解析】(1)利用模長平方與向量的平分相等，將已知|3a?2b|=13兩邊平方展開，得到關(guān)于18.【答案】解：(1)事件“甲、乙二人都破譯密碼”可表示為AB，且事件A，B相互獨(dú)立，

由題意可知P(A)=0.7，P(B)=0.6，

所以P(AB)【解析】(1)由題意利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式，求得結(jié)果．

(219.【答案】(1)解：由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得(0.010+0.020+a+0.030+0.005)×10=1，

解得a=0.035，其中女生被抽取的人數(shù)為1000?550【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，列出方程求得a的值，結(jié)合分層抽樣的分法，求得女生被抽取的人數(shù)；

(220.【答案】解：(1)甲贏得比賽的概率為45×23=815，乙贏得比賽的概率為35×34=920，【解析】(1)利用概率的乘法公式計(jì)算出甲贏得比賽概率為25，乙贏得比賽的概率為38；

21.【答案】證明：(1)因?yàn)镋C//PD，PD?平面PDA，EC?平面PDA，

所以EC//平面PD