2023年全國高三數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023年全國高三數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題一、填空題（本大題共8小題，共56.0分）1.用12種不同的動物圖案制作成一些動物卡片，使得每張卡片上都有其中的4種不同的動物圖案，且制作過程中要求任取的兩張卡片有且僅有一種動物是相同的，則最多能制作的卡片數(shù)量為

．2.已知點(diǎn)A(1,3)，B(5,4)，C(3,7)，D(7,1)，E(10,2)3.函數(shù)f(x)=(4.已知關(guān)于x的方程|(x?1)(x5.邊長為1的正六面體被一個平面所截的最大截面面積為

．6.若銳角A，B，C滿足sin2A+sin2B+7.設(shè)A，B為雙曲線W:x2a2?y2b2=1與實軸的交點(diǎn)，P(0,1)為雙曲線外一點(diǎn)，PA，PB分別交雙曲線于另一點(diǎn)C8.有8塊不同的積木，每塊積木的形狀為方形或者圓形，顏色為紅色或者黃色，印有城市名為南昌或者北京，從8塊不同的積木中按順序任取n塊積木(2≤n≤8)，Dn表示后一次與前一次取出的積木在形狀，顏色，城市名三個方面恰好有兩個相同的所有不同取法總數(shù)，則二、解答題（本大題共4小題，共64.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）9.(本小題14.0分)

設(shè)a≥c，b≥c，c>10.(本小題15.0分)設(shè)正數(shù)列a，滿足an(an?a(2)證明：對任意互不相同的正整數(shù)b1，b2，?，b11.(本小題15.0分)

過平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)作一圓交直線AC于E點(diǎn)，證明：12.(本小題20.0分)如果直角三角形的三邊是兩兩互素的正整數(shù)，則稱這種直角三角形為本原直角三角形．(1)求本原直角三角形中面積恰好等于周長n(2)求max(1≤n答案和解析1.【答案】9

【解析】解：將12種不同的動物圖案編號為1，2，?，12，如果考慮相同的一種動物是1號，最多有3種，如(1,2,3,4)，(1,5,6,7)，(1,8,9,10);相同的一種動物為22.【答案】y=【解析】解：4ABC內(nèi)(包括邊界)的點(diǎn)與ADEF內(nèi)(包括邊界)點(diǎn)的最短距離為B到DF的中點(diǎn)H(152,723.【答案】(1【解析】解：f′(x)=14.【答案】0<【解析】解：由y=mx與y=?(x?1)(x5.【答案】3【解析】解：由邊長為1正六面體被一個平面所截的面積最大的平面是邊長為22的正六邊形，故最大面積為6.【答案】812【解析】解：由1==1當(dāng)sin2A=1s7.【答案】27x【解析】解：設(shè)A(?a,0)，B從而PB的直線方程為y=?1ax+1，于是有btanα=得Q點(diǎn)坐標(biāo)為Q(0,?btanα).又由對稱性及4聯(lián)立(1)可得secα=3a代入asecα=433所以雙曲線W的方程是27x8.【答案】240

【解析】解：計數(shù)方法等價于六面體A1A2A3A4A5A6A7A8中作取一點(diǎn)沿邊走n(2故D2=8?(D5D6D7=8D8即D2=24，D3=48，D4=96所以maxD9.【答案】證明：c(a?【解析】略10.【答案】解：(1)由a2(a2?1)=代入歸納假設(shè)anam解得an(2)由(≤(由正整數(shù)b1，b2，?，bn所以a

【解析】略11.【答案】證明：由∠EDB=∠CA所以有DBAc=DEA再由托勒密定理有A將(1)代入(2)得

【解析】略12.【答案】解：(1)設(shè)本原直角三角形三邊長為x，y，z，則x，y一奇一偶，不妨設(shè)由引理：不定方程x2+y2=z2滿足(x,z)=1，x>0，y>0，z>0，2|y的全部整數(shù)解(x,y,z)可表示為x=a2?b2當(dāng)n=1時，有b=2，a?b=1當(dāng)n=2時，有b=4，a?b=1設(shè)n的標(biāo)準(zhǔn)分解式為n=2rp1r1p2r2由于a，b一奇一偶，所以a?b為奇數(shù)，從而b為偶數(shù)，另外故(a?b,b設(shè)b=2r+1A，a?b=B，則piri|A，pir所以an=