北京市海淀區(qū)中學(xué)國(guó)人民大附屬中學(xué)2024屆九年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

北京市海淀區(qū)中學(xué)國(guó)人民大附屬中學(xué)2024屆九年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．下列實(shí)數(shù)中，有理數(shù)是（）A．﹣2 B． C．﹣1 D．π2．有9名同學(xué)參加歌詠比賽，他們的預(yù)賽成績(jī)各不相同，現(xiàn)取其中前4名參加決賽，小紅同學(xué)在知道自己成績(jī)的情況下，要判斷自己能否進(jìn)入決賽，還需要知道這9名同學(xué)成績(jī)的（）A．平均數(shù) B．方差 C．中位數(shù) D．極差3．是關(guān)于的一元一次方程的解，則（）A． B． C．4 D．4．在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（）A．x＞0 B．x≥﹣4 C．x≥﹣4且x≠0 D．x＞0且x≠﹣15．已知x1，x2是一元二次方程的兩根，則x1＋x2的值是（）A．0 B．2 C．－2 D．46．如圖，在中，，則AC的長(zhǎng)為（）A．5 B．8 C．12 D．137．已知分式的值為0，則的值是（）．A． B． C． D．8．如圖，太陽(yáng)在房子的后方，那么你站在房子的正前方看到的影子為（）A．B．C．D．9．由四個(gè)相同的小正方體搭建了一個(gè)積木，它的三視圖如圖所示，則這個(gè)積木可能是（）A． B． C． D．10．某學(xué)校要種植一塊面積為200m2的長(zhǎng)方形草坪，要求兩邊長(zhǎng)均不小于10m，則草坪的一邊長(zhǎng)y（單位：m）隨另一邊長(zhǎng)x（單位：m）的變化而變化的圖象可能是（）A． B． C． D．11．關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)>-1 B． C． D．a(chǎn)>-1且12．一個(gè)不透明的袋子裝有除顏色外其余均相同的2個(gè)白球和個(gè)黑球．隨機(jī)地從袋中摸出一個(gè)球記錄下顏色，再放回袋中搖勻．大量重復(fù)試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸出白球的頻率穩(wěn)定在1．2附近，則的值為（）A．2 B．4 C．8 D．11二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，半徑為，正方形內(nèi)接于，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，連接，作，垂足為，連接.則長(zhǎng)的最小值為________.14．如圖，菱形ABCD的邊AD與x軸平行，A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1和3，反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，則菱形ABCD的面積是_____；15．已知a、b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的兩根，則a+b＝_____．16．已知拋物線y＝2x2﹣5x+3與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是_____．17．如果二次根式有意義，那么的取值范圍是_________．18．點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞BP），則=________．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，，．借助網(wǎng)格，畫出線段向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后的對(duì)應(yīng)線段，若直線平分四邊形的面積，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)的值．20．（8分）如圖，直線y=kx+b(b>0)與拋物線y=x2相交于點(diǎn)A（x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)，與x軸正半軸相交于點(diǎn)D，于y軸相交于點(diǎn)C，設(shè)?OCD的面積為S，且kS+8=0.（1）求b的值.（2）求證：點(diǎn)（y1,y2)在反比例函數(shù)y=的圖像上.21．（8分）已知拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn).（1）求該拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo).（2）若點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為.①當(dāng)點(diǎn)落在該拋物線上時(shí)，求的值；②當(dāng)點(diǎn)落在第二象限內(nèi)，取得最小值時(shí)，求的值.22．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和．求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；請(qǐng)直接寫出時(shí)，x的取值范圍；過點(diǎn)B作軸，于點(diǎn)D，點(diǎn)C是直線BE上一點(diǎn)，若，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．23．（10分）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AD上，過P作PF⊥AE于F，設(shè)PA＝x．（1）求證：△PFA∽△ABE；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)PA＝x，是否存在實(shí)數(shù)x，使得以點(diǎn)P，F(xiàn)，E為頂點(diǎn)的三角形也與△ABE相似？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）探究：當(dāng)以D為圓心，DP為半徑的⊙D與線段AE只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出x滿足的條件：．24．（10分）如圖，CD是一高為4米的平臺(tái)，AB是與CD底部相平的一棵樹，在平臺(tái)頂C點(diǎn)測(cè)得樹頂A點(diǎn)的仰角，從平臺(tái)底部向樹的方向水平前進(jìn)3米到達(dá)點(diǎn)E，在點(diǎn)E處測(cè)得樹頂A點(diǎn)的仰角，求樹高AB(結(jié)果保留根號(hào)).25．（12分）如圖，在平行四邊形中，為邊上一點(diǎn)，平分，連接，已知，.求的長(zhǎng)；求平行四邊形的面積；求.26．如圖，拋物線過點(diǎn)和，點(diǎn)為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)與點(diǎn)不重合)，過點(diǎn)作垂直于軸的直線與直線和拋物線分別交于點(diǎn)．（1）求此拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，則求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、A【分析】根據(jù)有理數(shù)的定義判斷即可．【題目詳解】A、﹣2是有理數(shù)，故本選項(xiàng)正確；B、是無理數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、﹣1是無理數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、π是無理數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查有理數(shù)和無理數(shù)的定義,關(guān)鍵在于牢記定義．2、C【解題分析】9人成績(jī)的中位數(shù)是第5名的成績(jī)．參賽選手要想知道自己是否能進(jìn)入前4名，只需要了解自己的成績(jī)以及全部成績(jī)的中位數(shù)，比較即可．【題目詳解】由于總共有9個(gè)人，且他們的分?jǐn)?shù)互不相同，第5的成績(jī)是中位數(shù)，要判斷是否進(jìn)入前5名，故應(yīng)知道中位數(shù)的多少．故選：C．【題目點(diǎn)撥】此題主要考查統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識(shí)，主要包括平均數(shù)、中位數(shù)、極差、方差的意義，掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵．3、A【分析】先把x=1代入方程得a+2b=-1，然后利用整體代入的方法計(jì)算2a+4b的值【題目詳解】將x＝1代入方程x2+ax+2b＝0，得a+2b＝－1，2a+4b＝2（a+2b）＝2×（－1）＝－2.故選A.【題目點(diǎn)撥】此題考查一元二次方程的解，整式運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵4、C【解題分析】試題分析：由題意，得x+4≥0且x≠0，解得x≥﹣4且x≠0，故選C．考點(diǎn)：函數(shù)自變量的取值范圍．5、B【解題分析】∵x1，x1是一元二次方程的兩根，∴x1+x1=1．故選B．6、A【分析】利用余弦的定義可知，代入數(shù)據(jù)即可求出AC.【題目詳解】∵∴故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)余弦值求線段長(zhǎng)度，熟練掌握余弦的定義是解題的關(guān)鍵.7、D【分析】分析已知和所求，根據(jù)分式值為0的條件為：分子為0而分母不為0，不難得到=0且≠0；根據(jù)ab=0，a=0或b=0，即可解出x的值，再根據(jù)≠0，即可得到x的取值范圍，由此即得答案.【題目詳解】∵的值為0∴=0且≠0.解得：x=3.故選:D.【題目點(diǎn)撥】考核知識(shí)點(diǎn)：分式值為0.理解分式值為0的條件是關(guān)鍵.8、C【解題分析】根據(jù)平行投影的性質(zhì)可知煙囪的影子應(yīng)該在右下方，房子左邊對(duì)應(yīng)的突起應(yīng)該在影子的左邊．9、A【解題分析】分析：從主視圖上可以看出上下層數(shù)，從俯視圖上可以看出底層有多少小正方體，從左視圖上可以看出前后層數(shù)，綜合三視圖可得到答案．解答：解：從主視圖上可以看出左面有兩層，右面有一層；從左視圖上看分前后兩層，后面一層上下兩層，前面只有一層，從俯視圖上看，底面有3個(gè)小正方體，因此共有4個(gè)小正方體組成，故選A．10、C【解題分析】易知y是x的反比例函數(shù)，再根據(jù)邊長(zhǎng)的取值范圍即可解題．【題目詳解】∵草坪面積為200m2，∴x、y存在關(guān)系y＝200x∵兩邊長(zhǎng)均不小于10m，∴x≥10、y≥10，則x≤20，故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)反比例函數(shù)解析式確定y的取值范圍，即可求得x的取值范圍，熟練掌握實(shí)際問題的反比例函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵．11、D【解題分析】利用一元二次方程的定義及根的判別式列不等式a≠1且△=22﹣4a×（﹣1）＞1，從而求解.【題目詳解】解：根據(jù)題意得：a≠1且△=22﹣4a×（﹣1）＞1，解得：a＞﹣1且a≠1．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=1（a≠1）的根與△=b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞1時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=1時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜1時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．12、C【分析】根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目，二者的比值就是其發(fā)生的概率．【題目詳解】解：依題意有：=1.2，

解得：n=2．

故選：C．【題目點(diǎn)撥】此題考查了利用概率的求法估計(jì)總體個(gè)數(shù)，利用如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=是解題關(guān)鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】先求得正方形的邊長(zhǎng)，取AB的中點(diǎn)G，連接GF，CG，當(dāng)點(diǎn)C、F、G在同一直線上時(shí)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，則CF有最小值，此時(shí)即可求得這個(gè)值.【題目詳解】如圖，連接OA、OD，取AB的中點(diǎn)G，連接GF，CG，∵ABCD是圓內(nèi)接正方形，，∴，∴，∵AF⊥BE，∴，∴，，當(dāng)點(diǎn)C、F、G在同一直線上時(shí)，CF有最小值，如下圖：最小值是：，故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短確定CF的最小值是解決本題的關(guān)鍵．14、【分析】作AH⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)反比例函數(shù)解析式求出A的坐標(biāo)、點(diǎn)B的坐標(biāo)，求出AH、BH，根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算即可．【題目詳解】作AH⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于H，∵反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1和3，∴A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為3和1，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1），∴AH＝3﹣1＝2，BH＝3﹣1＝2，由勾股定理得，AB＝＝2，∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝AB＝2，∴菱形ABCD的面積＝BC×AH＝4，故答案為4．【題目點(diǎn)撥】本題考查的是反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義、菱形的性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)解析式求出A的坐標(biāo)、點(diǎn)B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．15、-1【分析】直接根據(jù)兩根之和的公式可得答案．【題目詳解】∵a、b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的兩根，∴a+b＝﹣1，故答案為：﹣1．【題目點(diǎn)撥】此題考查一元二次方程根與系數(shù)的公式，熟記公式并熟練解題是關(guān)鍵.16、（0,3）【分析】要求拋物線與y軸的交點(diǎn)，即令x=0，解方程即可．【題目詳解】解：令x=0，則y=3，即拋物線y=2x2-5x+3與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，3）．故答案為（0，3）．【題目點(diǎn)撥】本題考查了拋物線與y軸的交點(diǎn)．求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令x=0，即可求得交點(diǎn)縱坐標(biāo)．17、x≤1【分析】直接利用二次根式有意義的條件分析得出答案．【題目詳解】解：二次根式有意義，則1-x≥0，

解得：x≤1．

故答案為：x≤1．【題目點(diǎn)撥】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握定義是解題關(guān)鍵．18、．【解題分析】解：∵點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞BP），∴=．故答案為．點(diǎn)睛：本題考查了黃金分割的定義，牢記黃金分割比是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共78分）19、【分析】根據(jù)平移變換即可作出對(duì)應(yīng)線段，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，平分平行四邊形面積的直線經(jīng)過平行四邊形的中心，然后求出AC的中點(diǎn)，代入直線計(jì)算即可求出k值．【題目詳解】畫圖如圖所示：點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又直線平分平行四邊形的面積，則過點(diǎn)，，．【題目點(diǎn)撥】本題考查的是作圖-平移變換，平行四邊形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，要注意平分平行四邊形面積的直線經(jīng)過平行四邊形的中心的應(yīng)用．20、（1）b=4(b>0)；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)直線解析式求OC和OD長(zhǎng)，依據(jù)面積公式代入即可得；（2）聯(lián)立方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可證明.【題目詳解】（1）∵D(0,b),C(-,0)∴由題意得OD=b,OC=-∴S=∴k?()+8=0∴b=4(b>0)（2）∵∴∴∴∴點(diǎn)（y1,y2)在反比例函數(shù)y=的圖像上.【題目點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及圖象與直線的關(guān)系，聯(lián)立方程組并求解是解答兩圖象交點(diǎn)問題的重要途徑，理解圖象與方程的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.21、（1），頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-4);（2）①，;②.【分析】（1）把坐標(biāo)代入求出解析式，再化為頂點(diǎn)式即可求解；（2）①由對(duì)稱性可表示出P’的坐標(biāo)，再由P和P’都在拋物線上，可得到m的方程，即可求出m的值；②由點(diǎn)P’在第二象限，可求出t的取值，利用兩點(diǎn)間的距離公式可用t表示，再由帶你P’在拋物線上，可消去m，整理得到關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最小值時(shí)t的值，則可求出m的值.【題目詳解】（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線的解析式為.∵，∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）①由點(diǎn)在拋物線上，有.∵關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，有.∴，即，∴，解得，.②由題意知在第二象限，∴，，即，.則在第四象限.∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴.過點(diǎn)作軸，為垂足，則.∵，，∴，.當(dāng)點(diǎn)和不重合時(shí)，在中，.當(dāng)點(diǎn)和重合時(shí)，，，符合上式.∴，即.記，則，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值.把代入，得，解得，，由，可知不符合題意，∴.【題目點(diǎn)撥】此題主要考查二次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的性質(zhì).22、反比例函數(shù)的解析式為，一次函數(shù)解析式為：；當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為或時(shí)，．【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出k，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；(2)利用數(shù)形結(jié)合思想，觀察直線在雙曲線上方的情況即可進(jìn)行解答；(3)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠DAC=30°，根據(jù)正切的定義求出CD，分點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)、點(diǎn)C在點(diǎn)D的右側(cè)兩種情況解答．【題目詳解】點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，反比例函數(shù)的解析式為，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為，由題意得，，解得，，則一次函數(shù)解析式為：；由函數(shù)圖象可知，當(dāng)或時(shí)，；，，，由題意得，，在中，，即，解得，，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D的右側(cè)時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為或時(shí)，．【題目點(diǎn)撥】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的一般步驟、靈活運(yùn)用分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．23、（1）證明見解析；（2）3或．（3）或0＜【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合已知條件可以證明兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，從而證明三角形相似；

（2）由于對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定，所以應(yīng)針對(duì)不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系分情況考慮：當(dāng)時(shí)，則得到四邊形為矩形，從而求得的值；當(dāng)時(shí)，再結(jié)合（1）中的結(jié)論，得到等腰．再根據(jù)等腰三角形的三線合一得到是的中點(diǎn)，運(yùn)用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解．

（3）此題首先應(yīng)針對(duì)點(diǎn)的位置分為兩種大情況：①與AE相切，②與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)，不一定必須相切，只要保證和線段只有一個(gè)公共點(diǎn)即可．故求得相切時(shí)的情況和相交，但其中一個(gè)交點(diǎn)在線段外的情況即是的取值范圍．【題目詳解】(1)證明：∵矩形ABCD，∴AD∥BC.∴∠PAF=∠AEB.又∵PF⊥AE，∴△PFA∽△ABE.(2)情況1,當(dāng)△EFP∽△ABE，且∠PEF=∠EAB時(shí)，則有PE∥AB∴四邊形ABEP為矩形，∴PA=EB=3，即x=3.情況2,當(dāng)△PFE∽△ABE，且∠PEF=∠AEB時(shí)，∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF.∴PE=PA.∵PF⊥AE，∴點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)，即∴滿足條件的x的值為3或(3)或【題目點(diǎn)撥】?jī)山M角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似.24、6+【分析】如下圖，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，設(shè)AB長(zhǎng)為x，則易得AF=x-4，在Rt△ACF中利用∠的正切函數(shù)可由AF把CF表達(dá)出來，在Rt△ABE中，利用∠的正切函數(shù)可由AB把BE表達(dá)出來，這樣結(jié)合BD=CF，DE=BD-BE即可列出關(guān)于x的方程，解方程求得x的值即可得到AB的長(zhǎng).【題目詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F，設(shè)AB=x，則AF=x-4，∵在Rt△ACF中，tan∠=，∴CF==BD，同理，Rt△ABE中，BE=，∵BD-BE=DE，∴-=3，解得x=6+.答：樹高AB為（6+）米.【題目點(diǎn)撥】作出如圖所示的輔助線，利用三角函數(shù)把CF和BE分別用含x的式子表達(dá)出來是解答本題的關(guān)鍵.25、(1)10;(2)128;(3)【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)求得，然后根據(jù)等角對(duì)等邊即可解答；（2）先求出CD=10，再根據(jù)勾股定理逆定理可得，即可說明CE是平行四邊形的高，最后求面積即可；（3）先求