第二章 2.2.2　直線的兩點式方程

7第二章2.2直線的方程2.2.2直線的兩點式方程【素養(yǎng)導引】1.理解直線的兩點式方程,會求直線的兩點式方程.(數(shù)學抽象、數(shù)學運算)2.理解直線的截距式方程,會求直線的截距式方程.(數(shù)學抽象、數(shù)學運算)3.能用直線的兩點式、截距式方程及中點坐標公式解決有關(guān)問題.(邏輯推理)一、直線的兩點式和截距式方程名稱兩點式方程截距式方程已知條件經(jīng)過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)其中x1≠x2,y1≠y2在x軸,y軸上的截距分別為a,b,且a≠0,b≠0圖示方程形式y(tǒng)?y1

xa+yb適用范圍斜率存在且不為零斜率存在且不為零,不過原點【批注】1.直線的兩點式方程通過交叉相乘可以轉(zhuǎn)化為整式形式(y-y1)(x2-x1)=(y2-y1)(x-x1),此方程中,包含了x1=x2或y1=y2的情況,不是一個等價的轉(zhuǎn)化過程,不能忽略由x1,x2和y1,y2是否相等引起的討論.2.直線的截距式方程是直線的兩點式方程的特殊情況,由此方程可以直接知道直線在x軸和y軸上的截距,在解決直線與坐標軸圍成的三角形的面積和周長問題時,使用截距式非常方便.[診斷]1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”).(1)過點P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中x1≠x2,y1≠y2的直線方程可以寫為y?y2y1?y(2)截距相等的直線都可以用方程xa+ya=1表示. ((3)能用兩點式方程表示的直線也可用點斜式方程表示. ()提示:(1)√.(2)×.若a=0,不能用xa+ya=1(3)√.能用兩點式方程表示說明直線一定有斜率,所以可用點斜式方程表示.2.(教材改編題)在x軸和y軸上的截距分別為-2,3的直線方程是 ()A.x3+y?2=1 B.x2C.x?2+y3=1 D.x?3【解析】選C.由直線的截距式方程可得x?2+y33.(教材改編題)已知點A(1,2),B(-1,-2),則直線AB的方程是__________.

【解析】將點A(1,2),B(-1,-2)代入直線的兩點式方程,得x?1?1?1=y?2?2?2,整理得直線AB的方程是2x答案:2x-y=0二、線段的中點坐標公式若點P1,P2的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),設(shè)P(x,y)是線段P1P2的中點,則x學習任務(wù)一直線的兩點式方程(數(shù)學運算)【典例1】(1)已知△ABC的三個頂點A(3,2),B(-1,4),C(2,5),則邊AB上的中線所在的直線方程為 ()A.x-2y+1=0 B.2x-y+1=0C.2x+y+1=0 D.2x-y-1=0【解析】選B.AB的中點坐標為(1,3),由直線的兩點式方程可得y?35?3=x?12?1,即2x(2)已知直線l的兩點式方程為y?0?3?0=x?(?5)3?(?5),則l的斜率為A.-38 B.38 C.-32 【解析】選A.由兩點式方程y?0?3?0=x?(?5)3?(?5),知直線l過點(-5,0),(3,-3),所以l的斜率為由兩點式求直線方程的步驟(1)根據(jù)題中的條件,找到或解出兩個不同點的坐標.(2)由直線的兩點式方程寫出直線的方程.提醒:要注意判斷兩點是否滿足兩點式方程的適用條件,即兩點的連線不垂直于坐標軸.1.若直線l經(jīng)過點A(2,5),B(2,7),則直線l的方程為__________.

【解析】因為兩點的橫坐標相等,都是2,所以直線方程是x=2.答案:x=22.若點P(3,m)在過點A(2,-1),B(-3,4)的直線上,則m=__________.

【解析】由直線方程的兩點式方程得y?(?1)4?(?1)=x?2?3?2,即所以直線AB的方程為y+1=-x+2,因為點P(3,m)在直線AB上,則m+1=-3+2,得m=-2.答案:-2學習任務(wù)二直線的截距式方程(數(shù)學運算)【典例2】已知直線l過點(1,2),且在y軸上的截距為在x軸上的截距的兩倍,則直線l的方程是 ()A.2x-y=0B.2x+y-4=0C.2x-y=0或2x+y-4=0D.2x-y=0或x+2y-2=0【解析】選C.設(shè)直線l在x軸上的截距為a,則直線l在y軸上的截距為2a.當a=0時,直線l經(jīng)過原點,其方程為y=2x,即2x-y=0;當a≠0時,設(shè)直線l的方程為xa+y因為直線l過點(1,2),所以代入(1,2)得1a+22a=1,所以直線l的方程為x2+y4=1,即2x+y所以l的方程為2x-y=0或2x+y-4=0.若將本例條件變?yōu)椤霸趦勺鴺溯S上的截距相等”,其他條件不變,如何求解?【解析】當直線l在兩坐標軸上的截距都為0時,設(shè)直線l的方程為y=kx,代入(1,2)得k=2,此時直線l的方程為y=2x;當直線l在兩坐標軸上的截距不為0時,設(shè)直線l的方程為xa+ya=1,把(1,2)代入得a=3,即x+y故所求直線的方程為y=2x或x+y-3=0.用截距式方程時需要關(guān)注的問題(1)若問題中涉及直線與坐標軸相交,則可考慮選用截距式方程,用待定系數(shù)法確定其系數(shù)即可;(2)選用截距式方程時,必須首先考慮直線是否過原點以及是否與兩坐標軸垂直;(3)要注意截距式方程的逆向應(yīng)用.1.直線x3-y4=1在兩坐標軸上的截距之和為 (A.1 B.-1 C.7 D.-7【解析】選B.直線在x軸上的截距為3,在y軸上的截距為-4,因此截距之和為-1.2.過點A(0,1),B(2,0)的直線的截距式方程為__________.

【解析】由截距式方程,得x2+y=1答案:x2+y學習任務(wù)三直線方程的應(yīng)用(邏輯推理)【典例3】如圖,已知直線l過點P(2,1),且與x軸,y軸的正半軸分別交于A,B兩點,O為坐標原點,則三角形OAB面積的最小值為__________.

【解析】設(shè)直線l為xa+yb=1(a>0,因為直線l過點P(2,1),則有2a+1三角形OAB的面積S=12對2a+1b=1,利用均值不等式得1=2a22a·1b=22ab,即ab≥8.于是,三角形OAB的面積S=12ab≥4.答案:4計算最值問題的方法對于三角形、四邊形等圖形的面積,獲得對應(yīng)的表達式后,可以結(jié)合式子特征,應(yīng)用基本不等式、二次函數(shù)等方法,求得最大(或最小)值,需注意變量的限制條件.1.已知A(3,0),B(0,4),直線AB上一動點P(x,y),則xy的最大值是__________.

【解析】直線AB的方程為x3+y4=1,代入P(x,y),得x=3-34y,所以xy=3y-34y2=34(-y2+4y)=34[-(y-2)2+4]≤3.即當P點坐標為32,2時答案:32.已知直線l過點M(2,1),且與x軸,y軸的正方向分別交于A,B兩點,當△AOB的面積最小時,求直線l的方程.【解析】根據(jù)題意,設(shè)直線l的方程為xa+y由題意,知a>2,b>1,因為l過點M