矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用

矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用

矩陣中的特殊位置顯示了矩陣。在這項(xiàng)工作中，詳細(xì)討論了如何確定矩陣是否為正氣矩陣。及正定矩陣的性質(zhì),并給出了應(yīng)用實(shí)例。1評估方法1.1各n階可逆矩陣的1.n階實(shí)對稱矩陣A稱為正定矩陣,如果對于任意的n維實(shí)非零列向量X,都有XTAX>0.正定的實(shí)對稱矩陣A簡稱為正定矩陣,記作:A>0。例1設(shè)A是正定矩陣,P是非奇異實(shí)方陣,則PTAP也是正定矩陣。證明因?yàn)锳是實(shí)對稱陣,故PTAP顯然也是實(shí)對稱陣,又對任何實(shí)的非零列向量X,由于PX≠0(P是非奇陣),故XT(PTAP)X=(PX)TA(PX)>0,即PTAP是正定陣。例2設(shè)A=(aij)和B=(bij)都是n階正定矩陣,試證明:方陣C=(aijbij)也是n階正定矩陣。證明顯然矩陣C是實(shí)對稱矩陣,今任取X=(x1,…,xn)T≠0,則由矩陣A>0,B>0,可知同時(shí)有:現(xiàn)在需要證明由B>0,知存在n階可逆陣Q=(qij),使得B=QTQ(見1.2節(jié)的6),即所以對任何X=(x1,…,xn)T≠0,因?yàn)镼可逆,所以總存在一個(gè);,使得(因?yàn)椴环猎O(shè)x1≠0,則由Q可逆知Q的第一列中總有一個(gè)元素不為0,設(shè)為,于是)又由A>0有:對以上的l成立。所以,即C=(aijbij)>0.注:用定義證明矩陣A正定需證明兩點(diǎn):1)A為實(shí)對稱矩陣。2)對任何的非零實(shí)列向量X,XTAX>0.1.2與第二、關(guān)于a二次型的關(guān)系下面六個(gè)陳述是等價(jià)的1)n階實(shí)對稱矩陣A是正定的;2)正慣性指數(shù)等于n;3)A與n階單位矩陣Fn合同;4)A合同于主對角元大于零的對角矩陣;5)A的特征值全大于零;6)存在可逆矩陣S使A=STS.推論1與正定矩陣合同的實(shí)對稱矩陣也是正定矩陣。推論2與正定二次型等價(jià)的實(shí)二次型也是正定的,從而滿秩的實(shí)線形替換不改變實(shí)二次型的正定性。例3證明:若A是正定矩陣,則A-1也是正定矩陣。證明因?yàn)锳是正定矩陣,所以A是實(shí)對稱矩陣,A可逆,且(A-1)T=(AT)-1=A-1,即A-1也是實(shí)對稱矩陣。下面用四種方法證明A-1正定。方法1因?yàn)锳=ATA-1A.所以A-1與A合同,由推論1知,A-1是正定矩陣。方法2因?yàn)锳合同于En,故存在可逆矩陣S,使得STAS=En,等式兩邊求逆得。(s-1)A-1(s-1)T=En,即。因此A-1是正定矩陣。方法3因?yàn)锳正定,故存在可逆矩陣S,使得A=STS,可是A-1=s-1(s-1)T,因此A-1也正定。方法4設(shè)A的特征值為λ1,λ2,……λn,因?yàn)锳正定,所以λi>0,(i=1,2,……n)。故A-1的特征值-1>0,。因此A-1正定。1.3子式全非負(fù)的正當(dāng)性7)A的所有順序主子式全大于零。8)A的所有主子式全大于零。注:類似的我們可以得到半正定矩陣的7個(gè)等價(jià)命題:a)n階實(shí)對稱矩陣A是半正定的;b)A負(fù)慣性指數(shù)為零;c)A合同于;d)A合同于主對角元非負(fù)的對角矩陣;e)A的特征值全非負(fù);f)存在n階矩陣S使得A=STS;g)A的所有主子式全非負(fù)。例4設(shè)A是n階正定矩陣,B是n階半正定矩陣,求證:|A+B|≥|A|+|B|,當(dāng)且僅當(dāng)B=0或n=1時(shí)等號成立。證明由A>0知,存在n階可逆矩陣P,使得PTAP=En,故有:又因?yàn)镻TBP顯然是半正定的,設(shè)PTBP=C=(cij),則有:其中ci是C的所有i階主子式之和,i=1,2,……n.因?yàn)镃=PTBP≥0,它的主子式都非負(fù),因此:所以:當(dāng)B=0或n=1時(shí)顯然|A+B|≥|A|+|B|成立。當(dāng)B≠0且n>1時(shí):易知PTBP=C≠0n×n,于是至少有一個(gè)cij≠0,此時(shí)C的一階主子式cii,cjj不能都為零,否則,這與C半正定矛盾。于是c1>0,進(jìn)一步有|En+PTBP|>1+cn,從而|A+B|>|A|+|B|成立。例5判斷二次型是否正定。A的任意的k階順序主子式,所以矩陣A為正定矩陣,原二次型為正定二次型。例6t取何值時(shí),二次型是正定二次型。要使二次型f正定,必須A的各階順序主子式全大于零,即滿足:2次型主對角元如果矩陣A是正定矩陣,則必有:i)aii>0.i=1,2,……,n;ⅱ)A的元素的絕對值最大者必是主對角元;ⅲ)|A|≤annAn-1,其中An-1是A的n-1階順序主子式;ⅳ)|A|≤a11a22……ann,當(dāng)且僅當(dāng)A為對角陣時(shí)等號成立。證明由1.3節(jié)的8)可知i)顯然的成立。ⅱ)反證:設(shè)|aij|最大,i≠j,則|aij|2>aiiajj。由1.3節(jié)的8)可知即有:|aij|2<aiiajj,與原假設(shè)的結(jié)果矛盾。故A中的元素絕對值最大者必是主對角元。ⅲ)對A作如下分塊:則有:由于A正定,故An-1也正定,進(jìn)而易知也正定,于是,僅當(dāng)X為零向量,即an1=an2=…ann=0時(shí)等號成立。所以:|A|≤annAn-1,僅當(dāng)an1=an2=…an,n-1=0時(shí)等號成立。iv)反復(fù)利用iii)的結(jié)果有:|A|≤annAn-1≤annan-1,n-1…a11,當(dāng)且僅當(dāng)A為對角陣時(shí)等號成立。我們可以利用上述正定矩陣A的性質(zhì)判定某些實(shí)對稱矩陣不是正定陣。例如,主對角元有非正數(shù)的對稱陣必不是正定陣;只要有一個(gè)非對角元的絕對值不小于主對角元的最大者,則這個(gè)矩陣必不是正定陣;或是若對于n階矩陣A有:|A|>a11…ann,則A必不是正定陣。例7判斷二次