柯西不等式的證明

柯西不等式的證明

1柯西ca3定理假設(shè)a1、a2、b1、b2、bn是任意的常數(shù)，則。成立.當(dāng)且僅當(dāng)ai=kbi(i=1,2,…,n)取等號(hào),這就是著名的柯西(Cauchy)不等式.有關(guān)柯西不等式的證明,多見(jiàn)于文獻(xiàn)中定理12.1.1及推論12.1.1的證明方法.筆者在教學(xué)過(guò)程中,發(fā)現(xiàn)了該不等式的另外一些證法,寫出以供同行參考.1.1柯西等效證明定理1設(shè)-其中.則|C|等于A中所有的s階子式與B中對(duì)應(yīng)的s子式的乘積之和.即(當(dāng)m>n時(shí)規(guī)定右邊為零).定理1的證明可參看文獻(xiàn)的定理4.8.2.下面利用定理1給出柯西不等式的行列式證明方法:證明:令矩陣但由定理1知:而ai及bi為實(shí)數(shù),故|c|≥0.當(dāng)且僅當(dāng)a1,a2,…,an與b1,b2,…,bn成比例時(shí)等于零.即柯西不等式得證.1.2實(shí)內(nèi)積性質(zhì)的證明命題設(shè)α1,α2,…,αm是n維歐氏空間V的一組向量,而證明:當(dāng)且僅當(dāng)|△|≠0時(shí),α1,α2,…,αm線性無(wú)關(guān).該命題的證明可參考文獻(xiàn)的1014題.下面首先利用歐氏空間中內(nèi)積性質(zhì)證明柯西一布涅柯夫斯基不等式.定理2在實(shí)內(nèi)積空間中,對(duì)任意的向量α,β有等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)α,β線性相關(guān).證明:在平面幾何中,當(dāng)α,β線性無(wú)關(guān)時(shí),在一般歐氏空間中,α,β線性無(wú)關(guān)時(shí),由α,β兩向量生成的歐氏空間與平面上向量全體所成歐氏空間同構(gòu),所以,β線性相關(guān).作為柯西—布涅柯夫斯基不等式的特殊情況,在實(shí)線性空間Rn中,令α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn),并定義內(nèi)積如下:立即可得到柯西不等式:1.3柯西化后的現(xiàn)代響應(yīng)證明:先設(shè).此時(shí),所要證的不等式為事實(shí)上,因?yàn)榘堰@n個(gè)等式相加,就可得到.一般情形可化為特殊情形,這里令因此,有成立.這就等價(jià)于即柯西不等式成立.2柯西等效中當(dāng)當(dāng)當(dāng)及其他當(dāng)?shù)臅r(shí),有柯西不等式在不等式的證明中有著十分重要的作用,它不僅應(yīng)用廣泛,而且用法靈活,下面通過(guò)一些具體例子加以說(shuō)明.例1證明,對(duì)任意實(shí)數(shù)c1,c2,…,cn有證明:在柯西不等式中,令ai=|ci|,bi=1,則有例2設(shè)證明.證明:由二項(xiàng)定理得于是,在柯西不等式中,令ai=1,(i=1,2,…,n),則例3證明:若a1≥a2≥…≥an≥0,且在(2)式的兩邊乘以ak-ak+1,得其中an+1=0.把(4)式兩邊從k=1加到k=n,得由柯西不等式和(5)式得出例4設(shè)正數(shù)a,b,c,d滿足條件:ab+bc+cd+ad=1,試證:證明:由已知條件ab+bc+cd+ad=1,得由柯西不等式和均值不等式(ai>0,i=1,2,…,n,a1=a2=…=an時(shí)取等號(hào),r≥1)得由此,得例5考慮任一實(shí)數(shù)列a1,a2,…,an,….證明,其中.利用此式,根據(jù)柯西不等式得由上面的例子可知,柯西不等式在不等式的證明中具有廣泛的應(yīng)用,證明方法也非常靈活.應(yīng)用時(shí)要根據(jù)具體問(wèn)題,分析題中哪些項(xiàng)相當(dāng)于柯西不等式中的ai和bi項(xiàng).有些問(wèn)題為了應(yīng)用柯西不等式解決,甚至需要構(gòu)造ai和bi項(xiàng),如本文中的例4和例5.