第05講復(fù)數(shù)（原卷版）

第05講復(fù)數(shù)1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)定義：我們把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的數(shù)，即形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做復(fù)數(shù)z的實部，b叫做復(fù)數(shù)z的虛部(i為虛數(shù)單位)．(2)分類：滿足條件(a，b為實數(shù))復(fù)數(shù)的分類a＋bi為實數(shù)?b＝0a＋bi為虛數(shù)?b≠0a＋bi為純虛數(shù)?a＝0且b≠0(3)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R)．2．復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)z＝a＋bi與復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)及平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一對應(yīng)關(guān)系．3．復(fù)數(shù)的運算(1)運算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行．如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).4．如圖的復(fù)平面中，r＝eq\r(a2＋b2)，cosθ＝eq\f(a,r)，sinθ＝eq\f(b,r)，tanθ＝eq\f(b,a)(a≠0)．任何一個復(fù)數(shù)z＝a＋bi都可以表示成z＝r(cosθ＋isinθ)的形式．我們把r(cosθ＋isinθ)叫做復(fù)數(shù)的三角形式．對應(yīng)于復(fù)數(shù)的三角形式，把z＝a＋bi叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式．復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示：已知復(fù)數(shù)z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，則z1·z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．eq\f(z1,z2)＝eq\f(r1,r2)[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．一．復(fù)數(shù)的四則運算例1．（1）復(fù)數(shù)＝（

）A． B． C． D．（2）設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．（3）i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)___________.二．共軛復(fù)數(shù)例2．（1）已知，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．（2）復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．（3）的共軛復(fù)數(shù)為（

）A．B．C．D．三．求復(fù)數(shù)的模例3．（1）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．6 B．6 C． D．5（2）若，為虛數(shù)單位，則（

）A．1 B．2 C．3 D．（3）計算：___________.四．求復(fù)數(shù)的實部與虛部例4．（1）復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的實部是（

）A． B． C． D．（2）已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（

）A．2 B．－2 C．1 D．－1（3）復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．1五．復(fù)數(shù)的相等例5．（1）已知，若（i為虛數(shù)單位），則的值為（

）A．3 B． C．1 D．（2）復(fù)數(shù)，，若，則（

）A． B． C． D．（3）復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則實數(shù)m＝（

）A．2 B．1 C．－1 D．－2六．已知復(fù)數(shù)類型求參數(shù)例6．（1）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)x的值為（

）A． B．10 C．100 D．或10（2）已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則___________.（3）已知復(fù)數(shù)，其中．(1)若為實數(shù)，求的值；(2)若為純虛數(shù)，求的虛部．七．判斷復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在象限例7．（1）復(fù)數(shù)（表示虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（

）A．（－1，2） B．（1，－2） C．（1，2） D．（2，1）（2）已知是虛數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限（3）已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限八．根據(jù)復(fù)數(shù)的坐標(biāo)寫出對應(yīng)的復(fù)數(shù)例8．（1）如圖所示，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，則（

）A． B． C． D．（2）已知點，，，復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別是，，則復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．（3）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)和對應(yīng)的點分別是和，則_______.九．根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)坐標(biāo)的特點求參數(shù)例9．（1）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第四象限，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．（2）在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點落在直線上，其中i為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C．9 D．12（3）復(fù)數(shù)，且z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，則實數(shù)m的值可以為（

）A．2 B． C． D．0十．由復(fù)數(shù)模求參數(shù)例10．（1）已知復(fù)數(shù)z的虛部為1，且，則z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點z到虛軸的距離為___________.（2）已知復(fù)數(shù)z的模為10，虛部為6，則復(fù)數(shù)z為______．（3）寫出一個同時滿足下列條件的復(fù)數(shù)__________.①；②復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限.十一．與復(fù)數(shù)模相關(guān)的軌跡（圖形）問題例11．（1）若z是復(fù)數(shù)，且，則的最大值是（

）A．12 B．8 C．6 D．3（2）已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．（3）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則（

）A． B． C． D．十二．復(fù)數(shù)的三角形式例12．（1）法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（16671754）發(fā)現(xiàn)的公式推動了復(fù)數(shù)領(lǐng)域的研究．根據(jù)該公式，可得（

）．A．1 B． C． D．（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（，）對應(yīng)向量（O為坐標(biāo)原點），設(shè)，以射線Ox為始邊，OZ為終邊旋轉(zhuǎn)的角為，則，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：，，則，由棣莫弗定理可以導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式：，已知，則（

）A． B．4 C． D．16（3）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點為，為原點，以為始邊，為終邊逆時針旋轉(zhuǎn)的角為，，則.法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)棣莫弗定理：，，則，由棣莫弗定理導(dǎo)出了復(fù)數(shù)的乘方公式：.則（

）A． B．C． D．1．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則z的虛部為（

）A．i B．1 C．7 D．72．若復(fù)數(shù)z滿足（其中i為虛數(shù)單位），則z的虛部是（

）A．2i B． C．2 D．3．若復(fù)數(shù)，則z的虛部為（

）A． B． C． D．4．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足為純虛數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．5．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．6．已知，則（

）A． B． C． D．7．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的實部為（

）A． B． C． D．8．若，其中，i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)所對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點Z位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，若，則（

）A． B． C． D．10．若（i為虛數(shù)單位），則實數(shù)a的值為（

）A．－3 B．－1 C．1 D．311．已知為復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．12．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B．1 C．2 D．13．若，其中為虛數(shù)單位，則實數(shù)m的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．314．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為，則（

）A． B． C． D．15．若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點的坐標(biāo)是（

）A．B．C．D．16．若（i為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限17．復(fù)數(shù)則在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．18．復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（

）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限19．非零復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)平面上表示復(fù)數(shù)的點位于（

）A．實軸 B．虛軸 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限20．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．21．已知復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為C． D．22．已知m，，是虛數(shù)單位，若，則（

）A． B．4 C． D．323．若（為虛數(shù)單位），則（

）A．5 B．2 C．3 D．124．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B．2 C． D．25．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則|z|=（

）A．1 B． C．2 D．236．i是虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)（

）A．1i B．1+i C．1i D．1+i26．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．100 B．10 C．5 D．27．已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則（

）A．2 B． C．4 D．1028．歐拉是世紀最偉大的數(shù)學(xué)家之一，在很多領(lǐng)域中都有杰出的貢獻．由《物理世界》發(fā)起的一項調(diào)查表明，人們把歐拉恒等式“”與麥克斯韋方程組并稱為“史上最偉大的公式”．其中，歐拉恒等式是歐拉公式：的一種特殊情況．根據(jù)歐拉公式，（

）A． B． C． D．29．已知i是虛數(shù)單位，若，則（

）A．1 B． C．2 D．430．世紀末，挪威測量學(xué)家維塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點來表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運算具有了幾何意義，例如，也即復(fù)數(shù)的模的幾何意義為對應(yīng)的點到原點的距離．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．31．（多選）若復(fù)數(shù)，則（

）A． B．z的實部為C．z的虛部為 D．復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點在虛軸上32．（多選）下面是關(guān)于復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的命題，其中真命題為（

）A． B．C．的共軛復(fù)數(shù)為 D．的虛部為133．（多選）若，則n可以是（

）A．102 B．104 C．106 D．10834．（多選）已知，，，則（

）A． B． C． D．35．（多選）對于復(fù)數(shù)(，∈R)，下列說法正確的是（

）A．若，則為純虛數(shù) B．若，則，C．若，則為實數(shù) D．的平方等于136．（多選）已知復(fù)數(shù)（其中i是虛數(shù)單位），則下列命題中正確的為（

）A．z的虛部是6 B．C．是純虛數(shù) D．復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)點的集合是個圓37．（多選）若，則z可能為（

）A． B． C． D．38．（多選）設(shè)有下面四個命題，其中正確的命題是（

）A．若復(fù)數(shù)z滿足，則；B．若復(fù)數(shù)z滿足，則；C．若復(fù)數(shù)滿足，則；D．若復(fù)數(shù)，則39．（多選）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則下列說法正確的是（

）A．復(fù)數(shù)z的模為B．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為C．復(fù)數(shù)z的虛部為D．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限40．設(shè)，其中a，b是實數(shù)，則____________．41．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，且是純虛數(shù)，試寫出一個滿足條件的復(fù)數(shù)：___________.42．若復(fù)數(shù)是正實數(shù)，則實數(shù)的值為________．43．已知復(fù)數(shù)滿足，則___________.44．已知復(fù)數(shù)，則____________45．設(shè)復(fù)數(shù)，滿足，，，則________．46．已知，，，為