線性代數教學的困境與對策

線性代數教學的困境與對策

線性代碼是19世紀末的一個數學分支。這是大學數學的一個分支。應該由現(xiàn)代大學的經濟、管理、工程、計算和其他專業(yè)支持。隨著計算機科學的普及,也已日益顯出了該課程的重要性。因此,其教學效果對提升學生的綜合素質至關重要。線性代數具有較強的邏輯性、抽象性與廣泛的實用性,由于這些特點,在教學上還存在若干困難,需要給出可行的對策。1線性代數內容共享的必要性受現(xiàn)代數學公理化思潮的影響,經典線性代數主要是按照“由定義到定理”的方式層層推進構建起來的一個自洽的知識體系,與高等數學、概率統(tǒng)計相比,線性代數課程的顯著特點是內容抽象、體系獨立。在傳統(tǒng)教學中,正是這兩大特點,造成了實際教學的主要障礙。因其抽象性,使得線性代數內容晦澀難懂,導致了學生接受上的困難;因其獨立性,沖淡了線性代數理論的實用價值,使之越發(fā)顯得枯燥乏味,影響了學習積極性。兩者相較,后一問題尤其突出。長期的教學實踐表明,為了切實提高線性代數的教學效果,使學生真正掌握這一數學工具,而不滿足于記住一些機械的計算程序和莫名其妙的定義定理,必須要針對上述兩大障礙給出對治之方,亟需進行教育改革。近年來,教育界關于線性代數的教學教材改革,主要是圍繞著如何克服上述兩大問題而展開的,根據角度的不同,不妨分別稱之為線性代數教學的幾何化改革和應用化改革。2線性代數的幾何教學2.1線性代數、解析幾何的結合?為了克服線性代數內容的抽象性,最可行的途徑就是將它與解析幾何結合起來,實行合并教學。眾所周知,解析幾何為線性代數提供了直觀背景,線性代數為解析幾何提供了研究工具。事實上,線性代數的許多概念都存在幾何原型,一些抽象的代數理論被賦予幾何意義后,常常會變得通俗易懂。反過來,很多貌似復雜的幾何結論,若以代數觀點看來,則十分簡易明了。更重要的是,線性代數作為一種抽象邏輯系統(tǒng),可以做到青出于藍而勝于藍,往往能夠超越三維幾何而上升到高維空間,給出更為本質更為廣泛的結果,從這個角度講,線性代數可以視為高維空間的解析幾何。因此,毫無疑問,線性代數與解析幾何的結合是大勢所趨。當前已有數量可觀的文獻探討了這一主題,一批名為《線性代數與解析幾何》的優(yōu)秀教材相繼出版,并為一些院校采用。2.2線性代數的幾何化線性代數幾何化教學的確切意義是代數與幾何兩大系統(tǒng)在結構上的緊密結合,至于用代數工具處理幾何問題,則屬于線性代數的應用化范疇。當然,并非任何線性代數問題都可以實施幾何化,片面追求幾何化也未必有意義。在線性代數的幾何化處理上,有兩種主要方式:第一種方式:將論域降到三維空間,給出低維代數問題的幾何意義。例如,在討論線性方程組時,若將未知數限定為三個,那么解方程組相當于求若干個平面的交點;在引入線性相關的定義時,可以指出,它在三維幾何中相當于向量的共線或共面等等。在敘述方式上,往往是先討論三維幾何概念,然后再抽象為線性代數概念。顯然,這種從直觀到抽象的做法有著認識論和方法論上的意義。第二種方式:直接在高維向量空間內研究代數問題的幾何意義。高維向量空間本身就有一套幾何語言,如線性表示、子空間、正交、基底、坐標、投影、變換等,都是三維幾何概念在n維空間的對應表述。利用這套高維幾何語言可以直接分析抽象的代數問題,而不必作降維處理。概括起來,在一定程度上,如果把線性代數視為高維幾何,那么所謂線性代數幾何化的實質就是要在三維幾何與高維幾何體系之間建立一種同構關系。借助這種同構關系,對同一個線性代數問題,如果可以進行幾何化,那么它在三維幾何與高維幾何中各有其幾何意義,兩種處理方式正是為此而設。例如,“線性方程組有解”作為一個代數問題,在三維幾何上可解釋為“幾個平面有交點”,在高維幾何中固然可解釋為“幾個超平面有交點”,但更好的解釋卻是“右端向量落在系數矩陣的列空間之內”。2.3不同齊次微分方程情形的問題關于線性代數的幾何化教學,從文獻上反映出的主要問題是:究竟哪些代數問題需作幾何化處理,沒有形成統(tǒng)一意見,操作上比較隨意。處理一些具體問題時,在觀念和技術上仍存在改進的余地。例如:在高維空間中對“線性方程組的解集”作幾何解釋時,多數文獻從正交補空間的角度指出了齊次方程組解集的幾何意義,而對更一般的非齊次方程組情形卻避而不談。原因是:要對后一情形給出恰當的幾何解釋,必然要涉及到一個比子空間略為廣泛的概念——線性流形,而這個概念是超綱的。但只解釋齊次情形而回避非齊次情形,顯然不合適,何況線性流形概念并不復雜,這是應該加以介紹的。再比如:關于行列式,多數文獻都從三個三維向量混合積的角度指出,三階行列式的絕對值正是其三個列向量所成平行六面體的體積,至于一般n階行列式的幾何意義則語焉不詳。雖然這個問題稍稍復雜,但若不作介紹,總感意猶未盡。類似問題還有不少,要么只給出低維情形而忽視高維情形,要么只解釋特殊情形而回避一般情形,要么只介紹某種情形而遺漏對偶情形等等,從知識體系的完備性角度講都是不夠完善的。因此,在進行線性代數幾何化處理時,一定要努力做到既知其一也知其二,實現(xiàn)低維與高維、特殊與一般的完美結合。2.4構成向量式的構造因素下面再舉兩個涉及幾何化的簡單例子,但在一般教材中似乎并未得到發(fā)揮。例2.1(線性代數觀點下的平面與直線)我們知道,在三維解析幾何中,平面的一般方程和向量式方程分別為Ax+By+Cτ=D,r=r0+k1r1+k2r2直線的一般方程和向量式方程分別為{A1x+B1y+C1z=D1A2x+B2y+C3z=D4,r=r0+kβ{A1x+B1y+C1z=D1A2x+B2y+C3z=D4,r=r0+kβ從線性代數的角度,至少可以得到如下概括性的結論:(1)不論是平面還是直線,二者的一般方程無非都是三元線性方程組,只是方程個數有所不同而已,因此直線與平面的代數本質是一樣的;(2)一般方程是線性方程組,向量式方程無非是該方程組的向量式通解,這就是一般方程與向量式方程之間的本質聯(lián)系;(3)由一般方程求取向量式方程,相當于求線性方程組的向量式通解;反之,由向量式方程求取一般方程,相當于根據線性方程組通解的結構逆向構造原方程組,是解方程組的逆問題。例2.2(向量積的推廣)向量積是解析幾何中的一個重要概念,在空間直角坐標系下,設a=(a1,a2,a3)T,b=(b1,b2,b3)T則二者的向量積為a×b=|ijka1a2a3b1b2b3a×b=∣∣∣∣ia1b1ja2b2ka3b3它滿足:a×b的方向垂直于a和b,a×b的長度恰是a和b所張成平行四邊形的面積。自然要問,在n維歐式空間中可否定義類似的向量積運算呢?其實,對于Rn中的任意n-1個向量a1,a2…,an-1,設各向量在Rn的一組標準正交基e1,e2,…,en下的坐標分別為(a11,a12,…,a1n),(a21,a22,…,a2n),…,(an-1,1,an-1,2,…,an-1,n)則可以定義向量組a1,a2,……an-1的向量積如下:β=a1×a2×?×an-1=|e1e1?e1a11a12?a1n???an-1,1an-1,2?an-1,n|β=a1×a2×?×an?1=∣∣∣∣∣∣e1a11?an?1,1e1a12?an?1,2???e1a1n?an?1,n∣∣∣∣∣∣這仍然是一個n維向量,且利用行列式理論不難證明,它滿足:β的方向垂直于a1,a2,…,an-1中的每個向量;β的長度恰是a1,a2,…,an-1所張成平行多面體的體積。3線性代數的應用3.1廣征博采線性代數對知識產權法的價值體現(xiàn)由于線性代數理論自成一體,容易給人一種脫離現(xiàn)實、空中架屋的印象。為了克服這一障礙,必須充分重視線性代數的應用性介紹。實際應用是數學創(chuàng)造的源泉和目的,也是檢閱理論結果的最佳手段,在考察實際案例的過程中,既可以感受代數理論的切實用途,拉近理論與實踐的距離,也可生動展示理論走向應用時的具體方式和細節(jié),無形中更深化了對理論的認識層次。越是抽象的理論,就越有廣泛的應用性,線性代數的應用是可以無限延伸、不斷更新的話題。在這個問題上,不可能面面俱到,只能盡力將那些不需要太多專業(yè)知識的具有啟發(fā)性的典型案例加以分析介紹?？梢哉f,對線性代數的應用最有感觸的,不是代數學家,而是計算數學、統(tǒng)計學、控制論、管理科學、經濟學等方面的專家。在一些應用學科中,線性代數問題提法之新穎、處理技巧之高超甚至是代數學家所無法想象的。因此,如何更恰當有效地展示線性代數的應用,有賴于廣征博采。有大量文獻對此進行了探討,有多部名為《線性代數及其應用》的著作及譯作出版,并收到了良好效果。3.2關于問題和建議3.2.1在微積分學中的應用高等數學、線性代數、概率統(tǒng)計各課之間有所交叉,由于講授順序的原由,先修課程中凡是涉及后修課程的地方,都是當時處理上的薄弱環(huán)節(jié),因此在后修課中適當修補和回顧這類環(huán)節(jié)就十分必要,這樣既可鞏固以往的知識,亦可體現(xiàn)線性代數的應用。線性代數的講授時間是比較靠后的,需要做的這類工作很多。以高等數學為例,在多元函數微積分學部分,方程組形式的隱含數定理、重積分的變量替換定理、多元函數極值的充分條件、斯托克斯公式等重要結論都用到了行列式,在隱函數定理中甚至用到克萊姆法則,極值的充分條件中還涉及對稱矩陣的正定性分類;梯度、旋度、方向導數、方向余弦等概念用到了向量,方向導數還可以解釋為內積;如果作類比的話,函數的冪級數展開,正是用空間基底表示空間向量這一思想的拓廣,而函數的傅立葉級數展開則是參照了空間標準正交基的優(yōu)良性質。3.2.2題作適當的整理簡化由于線性代數的實際應用案例太多,在選擇介紹時,何者該入選,何者不適合,未免有仁智之見。但不論如何,為了整體的協(xié)調性,對原問題作適當的整理簡化是必要的,尤其在對案例的分析處理上,應該采用更具數學專業(yè)水準的推導論證方式。同時,任何一個實際案例,在解決過程中都可能暗含著線性代數的某些一般性理論,此時就不能只限于具體數值上的演算過程,還應該把其中隱藏的一般性問題提煉出來,在更高層面上重新審視案例的數學本質。以這種方式來剖析案例,擴大了具體案例的回旋空間,才可以更深刻地感受到理論分析的實踐價值。3.3對線性代數的證成下面再舉幾個簡單例子,以輔助說明上述關于線性代數應用化教學的觀點。例3.1(一元統(tǒng)計學中的樣本均值、樣本方差)對于一元總體的樣本X=(X1,X2,…,Xn)T,熟知的統(tǒng)計量樣本均值ˉXX與樣本方差S都可以用矩陣運算來表達。記n維向量u=(1,1,…1)T,構造矩陣Η=E-1nuuΤ,則ˉX=1n(X1+X2+?+Xn)=1nuΤXQ=n∑i=1(Xi-ˉX)2=(X-uˉX)Τ(X-uˉX)=(X-1nuuΤX)Τ(X-1nuuΤX)=((E-1nuuΤ)X)Τ((E-1nuuΤ)X)=XΤΗΤΗX=XΤΗX于是S=1n-1Q=1n-1XΤΗX可見,樣本方差其實是樣本向量的二次型。例3.2(多元統(tǒng)計學中的樣本相關系數)基于二元總體(X,Y)的樣本(Xi,Yi)(i=1,2,…,n),為刻畫X,Y的線性相關程度,定義其樣本相關系數為ρ=n∑i=1(Xi-ˉX)(Yi-ˉY)√n∑i=1(Xi-ˉX)2?√n∑i=1(Yi-ˉY)2若令α=(X1-ˉX,X2-ˉX,?,Xn-ˉX)Τβ=(Y1-ˉY,Y2-ˉY,?,Xn-ˉY)Τ則ρ=α?β||α||?||β||=cos(α?β)因此,貌似復雜的統(tǒng)計量ρ其實就是中心化數據向量α與β的夾角余弦。顯然:當夾角為0時,ρ取最大值1,α與β方向完全一致,X,Y完全正相關;夾角為π時,ρ取最小值-1,α與β方向完全相反,X,Y完全負相關;夾角為π2時,ρ取0,α與β垂直,X,Y的線性相關度最差。例3.3(工資分配問題)現(xiàn)有三人,分別是木工、電工、油漆工,他們同意彼此相助裝修各自的房子。裝修前,他們達成協(xié)議:每人共工作10天;每人的日工資在60-80元之間;每人總收入與總支出相等。表1是他們協(xié)商制定的工作分配方案,問:該如何計算出他們每人的日工資?解:設三人的日工資分別為x1,x2,x3,根據收支平衡關系易得:解此方程組得:x1=62,x2=64,x3=72(元)。這是一個曾被各類教材廣泛征引的例子,并且以求出之值作為結束。問題雖然解決了,但若僅止于此,則幾乎沒有新的收獲。透過這個簡單的案例,我們要問:該模型的一般性提法是怎樣的?奇怪的是為什么模型會總有合適的解呢?事實上,令A=(216451443),x=(x1,x2,x3)Τ則原方程組可表作Ax=10x,注意到A有一個顯著的特點:各列元素之和均為10。而由線性代數理論容易證明,對于一個各列元素之和都等于非零常數的方陣來說,λ必為該矩陣的特征值。因此,本案例中,10就是A的特征值,而x是相應的特征向量。有特征值就必有特征向量,于是模型必有解,而且若不加限制(日工