專題19 導(dǎo)數(shù)的同構(gòu)思想（解析版）

專題19導(dǎo)數(shù)的同構(gòu)思想一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式在恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】將條件變形為，然后由的單調(diào)性可得，然后可得，然后利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可.【詳解】由得即，構(gòu)造，即因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以所以，令，則所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以，所以，即又，即所以的取值范圍是故選：B2．（2021·安徽·合肥一中高三月考（理））設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】把不等式成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立，得出恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】因?yàn)?，不等式成立，即成立，即，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，可得，當(dāng)，，單調(diào)遞增，則不等式恒成立等價(jià)于恒成立，即恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】函數(shù)由零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：1、構(gòu)造函數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)的取值范圍；2、分類討論法：一般命題情境為沒(méi)有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各個(gè)小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.3．（2021·寧夏·石嘴山市第一中學(xué)高二月考（理））若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，則，得；當(dāng)時(shí)，，恒成立；當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)分析單調(diào)性得在恒成立，通過(guò)分離參數(shù)即可求解參數(shù)范圍．【詳解】解：令，則，∴．不等式恒成立，①當(dāng)時(shí)，，恒成立；②當(dāng)時(shí)，令，，在單調(diào)遞增，即等價(jià)于，在恒成立．即，在恒成立.令，則，可得，∴在遞增，在遞減，∴，∴，∴的取值范圍為．故選：B．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問(wèn)題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．4．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)，可等價(jià)為，再利用的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為求最值即可求解.【詳解】由可得，所以，設(shè)，則上式等價(jià)于對(duì)于恒成立，因?yàn)椋栽趩握{(diào)遞增，所以對(duì)于恒成立，即，因?yàn)?，所以?duì)于恒成立，令，則，，由可得，由可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，可得，所以實(shí)數(shù)的最小值為.故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：不等式恒成立（或能成立）求參數(shù)由不等式恒成立（或能成立）求參數(shù)，一般可對(duì)不等式變形，分離參數(shù)，根據(jù)分離參數(shù)后的結(jié)果，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的最值，進(jìn)而可求出結(jié)果；有時(shí)也可根據(jù)不等式，直接構(gòu)成函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法，利用分類討論求函數(shù)的最值，即可得出結(jié)果.5．（2020·安徽·高三月考（文））已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則m的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】不等式不恒成立，確定此時(shí)，恒成立，著重考慮的情形，不等式變形為，再變形為，因此引入函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明它在上是增函數(shù)，不等式又變形為，，又引入函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求得其最大值即得的范圍．【詳解】由題意，若顯然不是恒大于零，故.（由4個(gè)選項(xiàng)也是顯然可得），則在上恒成立；當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，令在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，?再設(shè)，令，時(shí)，，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而，所以.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題，解題關(guān)鍵是問(wèn)題的化簡(jiǎn)與轉(zhuǎn)化，首先確定，其次確定恒成立，在時(shí)，把不等式變形，通過(guò)新函數(shù)的單調(diào)性逐步轉(zhuǎn)化，最終分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的，不等式成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】把不等式成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立，得出恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】因?yàn)?，不等式成立，即成立，即，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，可得，當(dāng)，，單調(diào)遞增，則不等式恒成立等價(jià)于恒成立，即恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】函數(shù)由零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：1、構(gòu)造函數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)的取值范圍；2、分類討論法：一般命題情境為沒(méi)有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各個(gè)小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.7．（2020·河北·正定中學(xué)高三月考）已知，不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】把不等式變形為，設(shè)，則不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，得出對(duì)任意恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，即可求解.【詳解】由題意，不等式變形為，即，設(shè)，則不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，等價(jià)于對(duì)任意恒成立，又由，則在上單調(diào)遞增，所以，即對(duì)任意恒成立，所以恒成立，即，令，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以，即，所以的最小值是.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及恒成立問(wèn)題的求解，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)于恒成立問(wèn)題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．8．（2020·遼寧·模擬預(yù)測(cè)（理））若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】當(dāng)時(shí)，，，顯然成立；當(dāng)時(shí)，不等式，化為，兩邊取對(duì)數(shù)得到，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，可得，①當(dāng)時(shí)，，則，不等式顯然成立；②當(dāng)時(shí)，不等式，可化為，兩邊取對(duì)數(shù)，可得，令，可得，又由函數(shù)單調(diào)遞增，所以只需，即在恒成立，令，有，，由，即，解得，由，即，解得，所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問(wèn)題，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)于恒成立問(wèn)題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．9．（2021·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)高三月考（理））設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意，不等式恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷的單調(diào)性，由零點(diǎn)存在性定理易知使，此時(shí)，進(jìn)而討論的單調(diào)性可知，要使題設(shè)不等式恒成立，即成立，構(gòu)造利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性確定的區(qū)間，進(jìn)而求的范圍.【詳解】令，只需要上恒成立，∵且，∴，即在上單調(diào)遞增，∵，，∴，使，即，∴時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；故只需，令，∴，故在上遞減，而，∴時(shí)，恒成立，可知.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性并確定極小值點(diǎn)范圍，根據(jù)有，結(jié)合構(gòu)造新函數(shù)，求成立時(shí)的區(qū)間，進(jìn)而求參數(shù)范圍.10．（2021·湖北·漢陽(yáng)一中二模）若對(duì)任意，恒有，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】不等式兩邊同時(shí)乘以，等價(jià)變形為，利用，，將不等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，不等式變形為，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而確定在恒成立，即在恒成立.構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值，確定的取值范圍，即可.【詳解】由題意可知，不等式變形為.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增.則在上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，該極值點(diǎn)就是的最小值點(diǎn).所以，即在上單調(diào)遞增.若使得對(duì)任意，恒有成立.則需對(duì)任意，恒有成立.即對(duì)任意，恒有成立，則在恒成立.設(shè)則.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減則在上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，該極值點(diǎn)就是的最大值點(diǎn).所以，即，則實(shí)數(shù)的最小值為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立，求參數(shù)取值，屬于難題.11．（2021·江蘇·公道中學(xué)高二月考）已知不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將不等式變形,通過(guò)構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)數(shù)后,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】不等式對(duì)恒成立可變形為,即對(duì)恒成立設(shè)則當(dāng)時(shí),,即在時(shí)單調(diào)遞增當(dāng)時(shí),,即在時(shí)單調(diào)遞減因而在上恒成立即可當(dāng)時(shí),而當(dāng)時(shí)(因四個(gè)選項(xiàng)都小于0,所以只需討論的情況)因?yàn)樵跁r(shí)單調(diào)遞減,若只需不等式兩邊同取自然底數(shù)的對(duì)數(shù),可得當(dāng)時(shí),化簡(jiǎn)不等式可得只需令,則,令解得當(dāng)時(shí),,則在內(nèi)單調(diào)遞增當(dāng)時(shí),,則在內(nèi)單調(diào)遞減所以在處取得最大值,故所以實(shí)數(shù)的最小值為故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性與最值中的綜合應(yīng)用,根據(jù)不等式恒成立問(wèn)題求參數(shù)的取值,利用構(gòu)造函數(shù)法求最值,對(duì)函數(shù)式的變形尤為重要,屬于難題.二、填空題12．（2021·福建省泉州第一中學(xué)高二期末）已知不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)__________.【答案】【分析】先將不等式變形為，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性可得，，再分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為，然后求出函數(shù)的最小值，即解出．【詳解】由題意，不等式可變形為，得對(duì)任意恒成立.設(shè)，則對(duì)任意恒成立，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榍髮?shí)數(shù)的最小值，所以考慮的情況，此時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以要使，只需，兩邊取對(duì)數(shù)，得上，由于，所以.令，則，令，得，易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求解不等式問(wèn)題的關(guān)鍵：（1）適當(dāng)變形，靈活轉(zhuǎn)化，結(jié)合題設(shè)條件，有時(shí)需要對(duì)不等式進(jìn)行“除法”變形，從而分離參數(shù)，有時(shí)需要進(jìn)行移項(xiàng)變形，可使不等式兩邊具有相同的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解，若分離參數(shù)，則直接構(gòu)造函數(shù)，并借助導(dǎo)數(shù)加以求解，若轉(zhuǎn)化為不等式兩邊具有相同的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，則可根據(jù)該結(jié)構(gòu)特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，并借助導(dǎo)數(shù)加以求解.13．（2021·河南鄭州·二模（理））已知，不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)____．【答案】【分析】令，可將不等式變形為，然后由的單調(diào)性可得，然后可得，然后求出右邊的最小值即可.【詳解】不等式對(duì)任意的恒成立，令，則，所以不等式等價(jià)于對(duì)恒成立，變形可得不等式對(duì)恒成立，令，，則不等式等價(jià)于對(duì)恒成立，，當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增，所以不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，令，所以，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以，又，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是觀察原不等式的特點(diǎn)，將其變形為.14．（2021·河南平頂山·高二期中）不等式對(duì)任意恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【分析】先將原不等式化為對(duì)于任意恒成立，由于在遞增，故得，分離參數(shù)得，求解的最小值即可．【詳解】，，令，易知在遞增，，∴，又∵，，即對(duì)任意恒成立，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在遞減，在上遞增，，則故答案為：．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查不等式恒成立問(wèn)題，利用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求新函數(shù)的最值求出參數(shù)范圍．15．（2020·全國(guó)·高三月考（理））已知，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【分析】先將不等式變形為，令，，由與互為反函數(shù)得只需要即可，即，然后用導(dǎo)數(shù)求出左邊的最小值即可.【詳解】顯然，由，得，則令，，因?yàn)榕c互為反函數(shù)，所以只需要即可，即，令，則，所以可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以，即.故答案為：【點(diǎn)睛】互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱.16．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【分析】首先不等式變形為，經(jīng)討論不成立，當(dāng)時(shí)，不等式變形為，通過(guò)設(shè)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性，和正負(fù)區(qū)間，討論求的取值范圍.【詳解】解：若，時(shí)，，，∴，此時(shí)不恒成立，∴，，令，，時(shí)，，，，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，∴，，時(shí)，，，原不等式恒成立；時(shí)，令，，，時(shí)，，時(shí)，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴，∴，∴，即，∴，∴．故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，第一個(gè)關(guān)鍵是說(shuō)明不恒成立，第二個(gè)關(guān)鍵是時(shí)，不等式的變形，構(gòu)造函數(shù)，第三關(guān)鍵是證明.17．（2021·河南·高三月考（理））若關(guān)于的不等式對(duì)于任意恒成立.則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】利用同構(gòu)將不等式轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)設(shè)，研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，即可得到答案；【詳解】易知，將原不等式變形可得：，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，原不等式顯然成立；當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏线f增，設(shè)，則，所以在遞減，遞增，所以的最小值為，故.故答案為：18．（2021·河南南陽(yáng)·高二期末（理））若，不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【分析】首先設(shè)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性得，參變分離后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，從而求得的取值范圍.【詳解】設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，由已知得，因?yàn)?，，，所以，，，所以在上單調(diào)遞增，，由在單調(diào)遞增，得到，所以，因?yàn)?，所以，令，則，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立，參數(shù)問(wèn)題，本題的關(guān)鍵是利用指對(duì)變形，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，不等式轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)的單調(diào)性，解抽象不等式后，后面的問(wèn)題迎刃而解.19．（2021·浙江·高二期中）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則正數(shù)k的取值范圍是__________．【答案】【分析】對(duì)給定不等式等價(jià)變形，構(gòu)造函數(shù)借助其單調(diào)性轉(zhuǎn)化成新函數(shù)最值即可得解.【詳解】，，，令，，即在上單調(diào)遞增，則，令，，時(shí)，時(shí)，在上遞增，在上遞減，時(shí)，即，正數(shù)k的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：不等式恒成立問(wèn)題，等價(jià)轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)是解題的關(guān)鍵.20．（2021·天津·耀華中學(xué)高三月考）已知，對(duì)任意的，不等式恒成立，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】【分析】將已知轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意，恒成立，利用同構(gòu)思想，構(gòu)造函數(shù)，將不等式轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為恒成立，利用參數(shù)分離，構(gòu)造函數(shù)即可得解.【詳解】∵對(duì)于任意，，不等式恒成立∴對(duì)于任意，，即恒成立當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，由，知，即，即設(shè)，，求導(dǎo)令，得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；∴在處取得極大值，且為最大值，所以時(shí)，不等式恒成立故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)的恒成立問(wèn)題，其中解答中涉及到利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值，著重考查了函數(shù)的構(gòu)造思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，本題的解答中把恒成立問(wèn)題利用同構(gòu)思想轉(zhuǎn)化為，再利用函數(shù)的單調(diào)性及求參方法求解.21．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若時(shí)，關(guān)于不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是______.【答案】【分析】對(duì)分類討論，當(dāng)時(shí)，不等式顯然恒成立.當(dāng)時(shí)，對(duì)不等式進(jìn)行變形為，然后構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式，最后分離參數(shù)，即可求出的范圍，進(jìn)而求出的最大值.【詳解】當(dāng)，時(shí)，不等式顯然恒成立.當(dāng)時(shí)，.由于，即.所以原不等式恒成立，等價(jià)于恒成立.構(gòu)造函數(shù)，.易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則原不等式等價(jià)于要證.因?yàn)?，要使?shí)數(shù)的最大，則應(yīng).即.記函數(shù)，則.易知，.故函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以.因此只需.綜上所述，實(shí)數(shù)的最大值是.故答案為：【點(diǎn)睛】(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)．關(guān)鍵是分離參數(shù)，把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問(wèn)題．(2)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式，要注意“＝”是否可以取到．(3)根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)的單調(diào)性化簡(jiǎn)所求的不等式是本題關(guān)鍵之步.22．（2020·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)（理））已知不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)m的最小值為_(kāi)_________.【答案】