上海高考數(shù)(函數(shù))經(jīng)典壓軸題解析詳解

學而思教育·學習改變命運思考成就未來！高考網(wǎng)NUMPAGES10上海高考數(shù)學壓軸題系列訓練含答案及解析詳解1.(本小題滿分12分)已知常數(shù)a>0,n為正整數(shù)，fn(x)=xn–(x+a)n(x>0)是關于x的函數(shù).(1)判定函數(shù)fn(x)的單調(diào)性，并證明你的結論.(2)對任意n3a,證明f`n+1(n+1)<(n+1)fn`(n)解:(1)fn`(x)=nxn–1–n(x+a)n–1=n[xn–1–(x+a)n–1],∵a>0,x>0,∴fn`(x)<0,∴fn(x)在（0，+∞）單調(diào)遞減.4分（2）由上知：當x>a>0時,fn(x)=xn–(x+a)n是關于x的減函數(shù),∴當n3a時,有：(n+1)n–(n+1+a)nnn–(n+a)n.2分又∴f`n+1(x)=(n+1)[xn–(x+a)n],∴f`n+1(n+1)=(n+1)[(n+1)n–(n+1+a)n]<(n+1)[nn–(n+a)n]=(n+1)[nn–(n+a)(n+a)n–1]2分(n+1)fn`(n)=(n+1)n[nn–1–(n+a)n–1]=(n+1)[nn–n(n+a)n–1],2分∵(n+a)>n,∴f`n+1(n+1)<(n+1)fn`(n).2分2.(本小題滿分12分)已知：y=f(x)定義域為［–1，1］，且滿足：f(–1)=f(1)=0，對任意u,v[–1，1］，都有|f(u)–f(v)|≤|u–v|.(1)判斷函數(shù)p(x)=x2–1是否滿足題設條件？(2)判斷函數(shù)g(x)=，是否滿足題設條件？解：(1)若u,v[–1，1]，|p(u)–p(v)|=|u2–v2|=|(u+v)(u–v)|，取u=[–1，1]，v=[–1，1],則|p(u)–p(v)|=|(u+v)(u–v)|=|u–v|>|u–v|，所以p(x)不滿足題設條件.（2）分三種情況討論：10.若u,v[–1，0]，則|g(u)–g(v)|=|(1+u)–(1+v)|=|u–v|，滿足題設條件；20.若u,v[0，1]，則|g(u)–g(v)|=|(1–u)–(1–v)|=|v–u|，滿足題設條件；30.若u[–1，0]，v[0，1]，則：|g(u)–g(v)|=|(1–u)–(1+v)|=|–u–v|=|v+u|≤|v–u|=|u–v|，滿足題設條件;40若u[0，1]，v[–1，0],同理可證滿足題設條件.綜合上述得g(x)滿足條件.3.(本小題滿分14分)已知點P(t,y)在函數(shù)f(x)=(x–1)的圖象上，且有t2–c2at+4c2=0(c0).(1)求證：|ac|4;(2)求證：在(–1，+∞）上f(x)單調(diào)遞增.(3)(僅理科做)求證：f(|a|)+f(|c|)>1.證：(1)∵tR,t–1,∴⊿=(–c2a)2–16c2=c4a2–16c20，∵c0,∴c2a216,∴|ac|4.(2)由f(x)=1–,法1.設–1<x1<x2,則f(x2)–f(x1)=1––1+=.∵–1<x1<x2,∴x1–x2<0,x1+1>0,x2+1>0,∴f(x2)–f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),∴x0時，f(x)單調(diào)遞增.法2.由f`(x)=>0得x–1,∴x>–1時，f(x)單調(diào)遞增.（3）（僅理科做）∵f(x)在x>–1時單調(diào)遞增，|c|>0,∴f(|c|)f()==f(|a|)+f(|c|)=+>+=1.即f(|a|)+f(|c|)>1.4．（本小題滿分15分）設定義在R上的函數(shù)（其中∈R，i=0,1,2,3,4），設，求證：解：（1）對恒成立，對恒成立又為所求.…………4分（2）取，，一方面，由（1）知在上是增函數(shù)，即……8分另一方面，設函數(shù)∴在上是增函數(shù)且在處連續(xù)，又∴當時，∴即綜上所述，………………14分8．(本小題滿分12分)如圖，直角坐標系中，一直角三角形，，、在軸上且關于原點對稱，在邊上，，的周長為12．若一雙曲線以、為焦點，且經(jīng)過、兩點．(1)求雙曲線的方程；(2)若一過點（為非零常數(shù)）的直線與雙曲線相交于不同于雙曲線頂點的兩點、，且，問在軸上是否存在定點，使？若存在，求出所有這樣定點的坐標；若不存在，請說明理由．解：(1)設雙曲線的方程為，則．由，得，即．∴ （3分）解之得，∴．∴雙曲線的方程為． （5分）(2)設在軸上存在定點，使．設直線的方程為，．由，得．即 ① （6分）∵，，∴．即． ② （8分）把①代入②，得 ③ （9分）把代入并整理得其中且，即且．． （10分）代入③，得，化簡得．當時，上式恒成立．因此，在軸上存在定點，使． （12分）9．(本小題滿分14分)已知數(shù)列各項均不為0，其前項和為，且對任意都有（為大于1的常數(shù)），記．(1)求；(2)試比較與的大小（）；(3)求證：，（）．解：(1)∵， ①∴． ②②－①，得，即． （3分）在①中令，可得．∴是首項為，公比為的等比數(shù)列，．