函數(shù)的單調(diào)性

5．3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用5．3.1函數(shù)的單調(diào)性1.結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對于多項(xiàng)式函數(shù)，能求不超過三次的

多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.3.通過對函數(shù)單調(diào)性的判斷，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng).(一)教材梳理填空1．函數(shù)f(x)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f′(x)正負(fù)的關(guān)系定義在區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)y＝f(x)：f′(x)的正負(fù)f(x)的單調(diào)性f′(x)＞0單調(diào)遞___f′(x)＜0單調(diào)遞___增減[微思考]

(1)如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0，那么函數(shù)f(x)有什么特性？提示：函數(shù)f(x)是常數(shù)函數(shù)．但是在某個區(qū)間內(nèi)，若僅有個別點(diǎn)處有f′(x)＝0，則不能判定函數(shù)f(x)是常數(shù)函數(shù)．(2)如何從導(dǎo)數(shù)的幾何意義理解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系？提示：如果f′(x)＞0，即切線的斜率為正，則切線的傾斜角為銳角，曲線呈上升趨勢，因此，函數(shù)單調(diào)遞增；如果f′(x)＜0，即切線的斜率為負(fù)，則切線的傾斜角為鈍角，曲線呈下降趨勢，因此，函數(shù)單調(diào)遞減．2．函數(shù)圖象的變化趨勢與導(dǎo)數(shù)的絕對值大小的關(guān)系一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)，在區(qū)間(a，b)上：[微思考]在區(qū)間(a，b)內(nèi)，若f′(x)>0，則f(x)在此區(qū)間上單調(diào)遞增，反之也成立嗎？提示：不一定成立．比如y＝x3在R上為增函數(shù)，但其在x＝0處的導(dǎo)數(shù)等于零．也就是說f′(x)>0是y＝f(x)在某個區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件．導(dǎo)數(shù)的絕對值函數(shù)值變化函數(shù)的圖象越大___比較“_____”(向上或向下)越小___比較“_____”(向上或向下)快陡峭慢平緩(二)基本知能小試1．判斷正誤 (1)函數(shù)f(x)在定義域上都有f′(x)>0，則函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增．

(

) (2)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)越大，函數(shù)在該點(diǎn)處的切線越“陡峭”．

(

) (3)函數(shù)在某個區(qū)間上變化越快，函數(shù)在這個區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的絕對值越大．

(

)答案：(1)×

(2)×

(3)√2.導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是

(

)解析：當(dāng)x＞0時(shí)，f′(x)＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，f′(x)＜0，所以函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．故選D.答案：D

3．函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是

(

)A．(－∞，2)

B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)答案：D題型一函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系

[學(xué)透用活][典例1]

(1)設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y＝f(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象可能為

(

)(2)已知f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象只可能是(

)[方法技巧]研究一個函數(shù)的圖象與其導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系時(shí)，一般要從以下兩點(diǎn)入手：(1)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系：在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，若f′(x)>0，則y＝f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增；若f′(x)<0，則y＝f(x)在這個區(qū)間上單調(diào)遞減；若恒有f′(x)＝0，則y＝f(x)是常數(shù)函數(shù)，不具有單調(diào)性．(2)函數(shù)圖象變化得越快，f′(x)的絕對值就越大，不是f′(x)的值越大．[對點(diǎn)練清]1．設(shè)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象

可能為

(

)解析：∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上單調(diào)遞減，在(1,4)上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x＜1或x＞4時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)1＜x＜4時(shí)，f′(x)＞0.答案：C

2．(多選)如圖是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象，則下列判斷正確的是(

)A．在區(qū)間(－2,1)上，f(x)單調(diào)遞增B．在(1,2)上，f(x)單調(diào)遞增C．在(4,5)上，f(x)單調(diào)遞增D．在(－3，－2)上，f(x)單調(diào)遞增解析：由題圖知當(dāng)x∈(1,2)，x∈(4,5)時(shí)，f′(x)>0，所以在(1,2)，(4,5)上，f(x)是單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(－3，－2)時(shí)，f′(x)<0，所以在(－3，－2)上，f(x)是單調(diào)遞減．故選B、C.答案：BC

題型二判斷或討論函數(shù)的單調(diào)性

[學(xué)透用活](1)若在某區(qū)間上有有限個點(diǎn)使f′(x)＝0，在其余的點(diǎn)恒有f′(x)>0，則f(x)仍為增函數(shù)(減函數(shù)的情形完全類似)．(2)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f′(x)不恒為0.[方法技巧]1．利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明函數(shù)單調(diào)性的思路2．含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性的解題技巧討論含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，通常歸結(jié)為求含參不等式的解集問題，而對含有參數(shù)的不等式要針對具體情況進(jìn)行分類討論，但要始終注意定義域以及分類討論的標(biāo)準(zhǔn)．含參數(shù)的二次不等式問題，一般從最高次項(xiàng)的系數(shù)、判別式Δ及根的大小關(guān)系等方面進(jìn)行討論．

[對點(diǎn)練清]1．求證：函數(shù)f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，在(－∞，0)內(nèi)是減函數(shù)．證明：因?yàn)閒(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1.當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，ex＞1，即f′(x)＝ex－1＞0，故函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)．當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，ex＜1，即f′(x)＝ex－1＜0，故函數(shù)f(x)在(－∞，0)內(nèi)為減函數(shù)．[方法技巧]求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)，并寫出解集；(4)根據(jù)(3)的結(jié)果確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．

[對點(diǎn)練清]1．函數(shù)f(x)＝x3－12x＋8的單調(diào)增區(qū)間是

(

)A．(－∞，－2)，(2，＋∞)

B．(－2,2)C．(－∞，－2) D．(2，＋∞)解析：∵f(x)＝x3－12x＋8，∴f′(x)＝3x2－12.令f′(x)>0，得x<－2或x>2，因此，函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－2)，(2，＋∞)，故選A.答案：A

題型四已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍

[探究發(fā)現(xiàn)](1)若已知函數(shù)f(x)在[a，b]上為增函數(shù)，那么其導(dǎo)函數(shù)f′(x)在[a，b]的值如何？提示：f′(x)≥0.(2)若已知函數(shù)f(x)在[a，b]上為減函數(shù)，那么其導(dǎo)函數(shù)f′(x)在[a，b]的值如何？提示：f′(x)≤0.

[學(xué)透用活][典例4]已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1,1)，求a的取值范圍；(3)若f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[方法技巧]1．利用導(dǎo)數(shù)法解決參數(shù)問題的思路(1)將問題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍，然后檢驗(yàn)參數(shù)取“＝”時(shí)是否滿足題意．(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出參數(shù)的取值范圍后，再驗(yàn)證參數(shù)取“＝”時(shí)f(x)是否滿足題意．2．恒成立問題的重要思路(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.

[對點(diǎn)練清]1．[變條件]本例中，函數(shù)f(x)不變，若f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)，求a的取值范圍．解：因?yàn)閒′(x)＝3x2－a，且f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)恒成立，即a≤3，即a的取值范圍為(－∞，3]．2．[變條件]本例中，函數(shù)f(x)不變，若f(x)在區(qū)間(－1,1)上不單調(diào)，求a的取值范圍．三、創(chuàng)新性——強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維3.(多選)若函