北京航空航天大學(xué)大一高數(shù)復(fù)習(xí)總結(jié)

北京航空航天大學(xué)大一高數(shù)復(fù)習(xí)總結(jié)高數(shù)總結(jié)一，定理與限制條件1，單調(diào)有界數(shù)列必定收斂（這一般是隱含條件）2，證明一元函數(shù) f(x)極限不存在的常用方法有：(1),f(X00)f(X00)若遇到arctanx或者arctanx要分別求x.xnx0,xnx0.limf(xn)不存在，或xnx0(xnx0).ynx0,使（2）xlimf(xn)limf(yn)nn3，利用極限運(yùn)算法則求極限，前提是 f(x),g(x)的極限都存在，當(dāng)limf(x)limg(x)f(x)都不存在時(shí)，f(x)g(x)，f(x)g(x)，g(x)的極限均xa或xa不確定成立。4，用等價(jià)無窮小求極限的注意事項(xiàng)：（1）在乘除法中可以用等價(jià)無窮小替換， 加減法中不可以隨便用等價(jià)無窮小替換。（2）最常用于解題的等價(jià) 無窮小替換：(1x)1xln(1x)（主要用于加減法變換）x0ln(1x)x（用于加減法變換）x005，使用洛必達(dá)法則的前提是0型，型否則不可以使用。6，用遞歸數(shù)列求極限：對任意數(shù)列xn，若滿足xnAkan1A，limanA其中0＜k＜1,則一定有nlimf(x)f(x0)7，連續(xù)性：若xx0稱f(x)在x0連續(xù)。（某一鄰域）設(shè)f(x)在x0的空心鄰域或者單側(cè)空心鄰域內(nèi)有定義， x x0不是f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則稱x0是f(x)的間斷點(diǎn)。第一類間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)，可去間斷點(diǎn)的特征是f(x0)與f(x0)均存在，且f(x0)f(x0)但是f(x0)f(x0)f(x0)，跳躍間斷點(diǎn)的特征是f(x0)與f(x0)均存在，但f(x0)f(x0)。第二類間斷點(diǎn)：無窮間斷點(diǎn)的特征是： f(x0)與f(x0)至少有一個(gè)為。8，有界閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的有界性：如果f(x)在[a,b] 上連續(xù)，則 f(x)在[a,b]上有界，則M0，使得f(x)M9，可導(dǎo)、可微、連續(xù)的關(guān)系可導(dǎo) 可微 連續(xù) 可微10，參數(shù)方程：x(t)y(t)d2y''(t)'(t)'(t)''(t)則dx2'3(t)(x)yf(t)dt則y''(x)f[(x)'(x)f((x)]如果(x)xn1(x1)(xn1xn2xn3xn4x1)11，如何判斷原函數(shù)的存在性：當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)時(shí)，則f(x)在區(qū)間I上存在原函數(shù)若f(x)在區(qū)間上存在第一類間斷點(diǎn)，則f(x)在該區(qū)間上不存在原函數(shù)12，定積分：定積分要求積分區(qū)間有限，被積函數(shù)有界可積的充分條件：〈1〉f(x)在[a,b] 上連續(xù)〈2〉f(x)在[a,b] 上有界且有有限個(gè)間斷點(diǎn)〈3〉f(x)在[a,b]上單調(diào)可積的必要條件：f(x)在[a,b]上可積，則有f(x)在[a,b]上有界13，應(yīng)用牛頓—萊布尼茨公式的前提是： 原函數(shù)F(x)在積分區(qū)間連續(xù)14，反常積分：f(x)dx0f(x)dx0f(x)dxlimbf(x)dxlimf(x)dx0aab015，應(yīng)用題進(jìn)行微元分割法的步驟 ;分割→近似→求和→取極限16，極坐標(biāo)的面積公式：S1[r22()r12()]d2直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的變換公式：Sr2()1[r22()r12()]ddxdyrdrddrdrDr1()2D17，平面曲線弧長公式：1參數(shù)公式;xx(t)y y(t)ds x'2(t) y'2(t)dt2顯示方式：yf(x)ds1y'2dx3極坐標(biāo)方式：r r() ds r2() r'2()ddkds18，曲率：1參數(shù)方程：xx(t)yy(t)y''(t)x'(t)y'(t)x''(t)k3x'2(t)y'2(t)2則yy(x)dy''k1y'232顯示方程：ds2顯示推導(dǎo);dy''dy''dxy''y'tany''2ddx1tan2sectan2k3dx1ds1tan2dx1y'2219，旋轉(zhuǎn)體的體積：體積 =周長×高×水平微分厚度b2(x)dxbvxfvy2xf(x)dxaa20，旋轉(zhuǎn)面的面積：當(dāng)繞 X軸旋轉(zhuǎn)且是弧線時(shí)Fby(t)dsb1y'2(t)dt22y(t)aa當(dāng)弧線為極坐標(biāo)方程時(shí)：rr()F2r()sinr2()r'2()d21，常見積分變換a1sinxb1cosxdx當(dāng)遇到asinxbcosx時(shí)，進(jìn)行如下變換a1sinxb1cosxA(asinxbcosx)B(asinxbcosx)'A(asinxbcosx)B(acosxbsinx)aa1bb1ab1ba1Ab2Bb2a2a2tanxtsinx2t1t2令cosxt22則1t212sinnxdx2cosnxdx(n1)iiI*00niiI*1當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)I*222，極值第一充分條件判別定理：設(shè)f(x)在(x0,x0)連續(xù)，在(x0,x0)\{x0}可導(dǎo)，若x(x0,x0)時(shí)f'(x)0，x(x0,x0)時(shí)f'(x)0，則f(x)在xx0取極大值，且xx0可以是f(x)的不可導(dǎo)點(diǎn)。極值第二充分判別定理：設(shè)f(x)在x x0點(diǎn)二階可導(dǎo)且f'(x)0，當(dāng)f''(x)0時(shí)f(x0)為極大值當(dāng)f''(x) 0時(shí)，f(x0)為極小值，當(dāng) f''(x) 0待定23，設(shè)f(x)在x0的某領(lǐng)域連續(xù)，函數(shù)f(x)在x0的左右兩側(cè)的凹凸性正好相反，則(x0,f(x0))是曲線f(x)的拐點(diǎn)。拐點(diǎn)的必要條件：f''(x)0或f''(x)不存在漸近線：x和x可以有不同的漸近線xxxx24，f(t)dt((xt)f(t)dt)'xf(x)f(t)dt(xf(t)dt)'0000可以用上式在適當(dāng)?shù)臈l件下證明 f'(x) p(x)f(x) Q(x)在某區(qū)間(a,b)上存在零點(diǎn)有一階線性方程的積分因子知：p(x)dxp(x)f(x)Q(x))[ep(x)dxp(x)dxe(f'(x)f(x)e.Q(x)dx]'同理f''(x)p(x)f'(x)Q(x)在某區(qū)間(a,b)上存在零點(diǎn)p(x)dxp(x)dx[ef(x)e.Q(x)dx]'的零點(diǎn)存在性。sinxxtanx1sinntdt1tndt0025，泰勒公式：f(x)A0A1(xx0)A2(xx0)2An(xx0)no((xx0)n)其中。Anf(n)(x0)n!ln(1x)xx2x3x4k1xk(1)唯一性：234kex1xx2x3xk2!3!k!sinxxx3x5(1)k1x2k13!5!(2k1)!cosx1x2x4x6(1)kx2k2!4!6!(2k)!(1x)1x(1)x2(1)(k1)xk2!k!26，二元函數(shù)zf(x,y)極限不存在的判定問題：方法：1當(dāng)(x,y)沿不同的路徑趨于(x0,y0)時(shí)，f(x,y)趨于不同的值2 當(dāng)(x,y)沿某路徑趨于 (x0,y0)時(shí)，f(x,y)趨于或者不存在27，偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)性，函數(shù)可微性，可偏導(dǎo)性和函數(shù)連續(xù)性的關(guān)系f,fzf(x,y)在M0可微zf(x,y)zaiM0連xy在M0(x0,y0)連續(xù)續(xù)，z f(x,y) 在 M0可偏導(dǎo)且f(x0,y0)f(x0,y0)A和Bxy28,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)f(u,v,x)是作為u,v,x的三元函數(shù)求ff((x,y),(y),x)x與作為f((x,y),(y),x)作為x,y的二元函數(shù)求x的含義是不同的。偏導(dǎo)數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。29，多元函數(shù)極值的充分條件：設(shè)Zf(x,y)在點(diǎn)x0,y0的某鄰域有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，又有fx(x0,y0)0和fy(x0,y0)0，令fxx''(x0,y0)A，fxy''(x0,y0)B，fyy''(x0,y0)C1ACB20時(shí)，f(x,y)在(x0,y0)取極值，且當(dāng)A0時(shí)取極小值，A 0時(shí)取極大值。2 AC B2 0時(shí)，(x0,y0)不是f(x,y)的極值點(diǎn)。ACB20時(shí)不確定。拉格朗日乘數(shù)法求極值通式： F(x,y, ) f(x,y) (x,y)S f(x,y)dxdy f(rcos,rsin )rdrd30，二重積分坐標(biāo)變換DD'1設(shè)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，若D關(guān)于x對稱，則f(x,y)dxdy0f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdyD當(dāng)f(x,y)對y為奇函數(shù)時(shí)，DD'其中f(x,y)關(guān)于y為偶函數(shù)，D'D{y0}。若D關(guān)于y軸對稱，則奇函數(shù)時(shí)，當(dāng) f(x,y)關(guān)于x為偶函數(shù)

f(x,y)dxdy0D當(dāng)f(x,y)關(guān)于x為f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdyDD'其中D' D {y 0}.3若D關(guān)于原點(diǎn)對稱，則(x,y)D(x,y)D當(dāng)f(x,y)關(guān)于(x,y)為奇函數(shù)時(shí)即f(x,y)f(x,y)則f(x,y)dxdy0D當(dāng)f(x,y)關(guān)于(x,y)為偶函數(shù)時(shí)，則f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdyDD'4若D關(guān)于yx對稱，則(x,y)D(y,x)D，能推出f(x,y)dxdyf(y,x)dxdyDD線性代數(shù)1，行列式公式：1KAKnA2ABAB*1n14AA1113AAAAA6OA(1)mnAB5A~BABBC2，1 求秩行列變換可混用，求逆只能用行或列變換，求線性方程組只可以用行變換。二階矩陣的伴隨矩陣有主對角線互換，副對角線變號(hào)的規(guī)律，其余矩陣無此規(guī)律。正交矩陣AATATAE即AA13，逆矩陣的運(yùn)算規(guī)律：(1)A(A11(2)(KA)11A1)K(3)(AB)1B1A1(4)(A1)T(AT)1(5)A11(6)(An)1(A1)nA4，矩陣的轉(zhuǎn)置規(guī)律：(1)(AT)T A (2)(KA)T KAT(3)(AB)T BTAT (4)(A B)T AT BT5，伴隨矩陣的規(guī)律：(1)AA*(3)(KA)*(4)r(A*)

A*A(2)(A*)*n2AAKA(KA)1Kn1A*n r(A) nr(A)n1r(A)n16，分塊矩陣的運(yùn)算：ABTBTB0n0ATBn(1)CTDT(2))0CnCD0CB01100B1B1B0(3)C0C1(4)0C100C7，矩陣等價(jià) 向量組等價(jià) 矩陣等價(jià)指兩個(gè)向量組可以相互表示出 （兩個(gè)向量組個(gè)數(shù)可以不一樣， 線性相關(guān)性也可不一樣）兩個(gè)等價(jià)的線性無關(guān)的向量組所含向量個(gè)數(shù)相同等價(jià)向量組具有相同的秩。8，矩陣秩的公式：(1)r(A)r(AT)(2)r(AB)r(A)r(B)(3)r(AB)min(r(A),r(B))如果A可逆則r(AB)r(B)，如果B可逆，r(AB)r(A)(4)A是mn的矩陣，B是np的矩陣，如果AB0則r(A)r(B)nAX0解向量的秩為nr(A)r(A)r(B)n。微 分 方 程1，一階微分方程：1 可分離變量的微分方程： y' f(x)g(y)2一階線性微分方程：y'p(x)yq(x)p(x)dxp(x)dxC(1)公式法：yeq(x)edx(2)積分因子法：方程兩邊同乘以p(x)dxue，則方程變?yōu)閜(x)dx'p(x)dxp(x)dxp(x)dxeyq(x)eyeq(x)edxCpq3全微分方程：p(x,y)dxq(x,y)dy0并滿足xxu(x,y)xy(1)特殊路徑法：p(x,y0)dxq(x,y)dxx0y0(2)pp(x,y)不定積分法：由x積分得對xup(x,y)dxc'(y)u(x,y)p(x,y)dxc(y)，再對y求微分得yydy1dxp(y)xq(y)4dxp(y)xq(y)dy5y'f(x)uxy'uxu'xu'f(u)uyyy'f(axbyc)uaxbycu'abf(u)2，線性微分方程： y'' p(x)y' q(x)y f(x)當(dāng)f(x) 0時(shí)，此方程為二階齊次方程。1y''p(x)y'q(x)y0，當(dāng)y1(x),y2(x)為方程的解求線性無關(guān)時(shí)，通解為y(x)c1y1(x)c2y2(x)當(dāng)y1*p(x)y'q(x)yy(x),y(x)為方