統(tǒng)計(jì) 回歸分析

一．隨機(jī)抽樣1．隨機(jī)抽樣：滿足每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會是均等的抽樣，共有三種經(jīng)常采用的隨機(jī)抽樣方法：⑴簡單隨機(jī)抽樣：從元素個(gè)數(shù)為N的總體中不放回地抽取容量為n的樣本，如果每一次抽取時(shí)總體中的各個(gè)個(gè)體有相同的可能性被抽到，這種抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣．抽出辦法：①抽簽法：用紙片或小球分別標(biāo)號后抽簽的方法.隨機(jī)數(shù)表法：隨機(jī)數(shù)表是使用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)的應(yīng)用程序生成隨機(jī)數(shù)的功能生成的一張數(shù)表．表中每一位置出現(xiàn)各個(gè)數(shù)字的可能性相同．隨機(jī)數(shù)表法是對樣本進(jìn)行編號后，按照一定的規(guī)律從隨機(jī)數(shù)表中讀數(shù)，并取出相應(yīng)的樣本的方法．簡單隨機(jī)抽樣是最簡單、最基本的抽樣方法．⑵系統(tǒng)抽樣：將總體分成均衡的若干部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個(gè)個(gè)體，得到所需要的樣本的抽樣方法．抽出辦法：從元素個(gè)數(shù)為N的總體中抽取容量為n的樣本，如果總體容量能被樣本容量整N除，設(shè)k=N，先對總體進(jìn)行編號，號碼從1到N，再從數(shù)字1到k中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)s作n為起始數(shù)，然后順次抽取第s+k，+2k，，+(n-1)k個(gè)數(shù)，這樣就得到容量為n的樣本．如果總體容量不能被樣本容量整除，可隨機(jī)地從總體中剔除余數(shù)，然后再按系統(tǒng)抽樣方法進(jìn)行抽樣．系統(tǒng)抽樣適用于大規(guī)模的抽樣調(diào)查，由于抽樣間隔相等，又被稱為等距抽樣．⑶分層抽樣：當(dāng)總體有明顯差別的幾部分組成時(shí)，要反映總體情況，常采用分層抽樣，使總體中各個(gè)個(gè)體按某種特征分成若干個(gè)互不重疊的幾部分，每一部分叫做層，在各層中按層在總體中所占比例進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，這種抽樣方法叫做分層抽樣．分層抽樣的樣本具有較強(qiáng)的代表性，而且各層抽樣時(shí)，可靈活選用不同的抽樣方法，應(yīng)用廣泛．2．簡單隨機(jī)抽樣必須具備下列特點(diǎn)：⑴簡單隨機(jī)抽樣要求被抽取的樣本的總體個(gè)數(shù)N是有限的.⑵簡單隨機(jī)樣本數(shù)n小于等于樣本總體的個(gè)數(shù)N.⑶簡單隨機(jī)樣本是從總體中逐個(gè)抽取的．⑷簡單隨機(jī)抽樣是一種不放回的抽樣．⑸簡單隨機(jī)抽樣的每個(gè)個(gè)體入樣的可能性均為空.NN3?系統(tǒng)抽樣時(shí)，當(dāng)總體個(gè)數(shù)N恰好是樣本容量n的整數(shù)倍時(shí)，取k=N；nN若N不是整數(shù)時(shí)，先從總體中隨機(jī)地剔除幾個(gè)個(gè)體，使得總體中剩余的個(gè)體數(shù)能被樣本容n量n整除．因?yàn)槊總€(gè)個(gè)體被剔除的機(jī)會相等，因而整個(gè)抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)會仍N然相等，為N.n二．頻率直方圖列出樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表和頻率分布直方圖的步驟：計(jì)算極差：找出數(shù)據(jù)的最大值與最小值，計(jì)算它們的差;決定組距與組數(shù)：取組距，用決定組數(shù)；組距決定分點(diǎn)：決定起點(diǎn)，進(jìn)行分組；列頻率分布直方圖：對落入各小組的數(shù)據(jù)累計(jì)，算出各小數(shù)的頻數(shù)，除以樣本容量，得到各小組的頻率．繪制頻率分布直方圖：以數(shù)據(jù)的值為橫坐標(biāo)，以頻距的值為縱坐標(biāo)繪制直方圖,知小長方形的面積=組距x||=頻率.頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖各個(gè)長方形上邊的中點(diǎn)用線段連接起來，就得到頻率分布折線圖，一般把折線圖畫成與橫軸相連，所以橫軸左右兩端點(diǎn)沒有實(shí)際意義．總體密度曲線：樣本容量不斷增大時(shí)，所分組數(shù)不斷增加，分組的組距不斷縮小，頻率分布直方圖可以用一條光滑曲線y=f(x)來描繪，這條光滑曲線就叫做總體密度曲線.總體密度曲線精確地反映了一個(gè)總體在各個(gè)區(qū)域內(nèi)取值的規(guī)律．三．莖葉圖制作莖葉圖的步驟：將數(shù)據(jù)分為“莖”、“葉”兩部分;將最大莖與最小莖之間的數(shù)字按大小順序排成一列，并畫上豎線作為分隔線；將各個(gè)數(shù)據(jù)的“葉”在分界線的一側(cè)對應(yīng)莖處同行列出．四．統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的數(shù)字特征用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)；用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差．?dāng)?shù)據(jù)的離散程序可以用極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述．極差又叫全距，是一組數(shù)據(jù)的最大值和最小值之差，反映一組數(shù)據(jù)的變動幅度；樣本方差描述了一組數(shù)據(jù)平均數(shù)波動的大小，樣本的標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根．一般地，設(shè)樣本的元素為x，x，，x樣本的平均數(shù)為x，12n定義樣本方差為s2=(匸X)2+(X2—X上++(匸X上，n樣本標(biāo)準(zhǔn)差S乙匸X)2+(X2—X)2++(匸X)2n簡化公式：s2=1[(x2+x2++X2)一nx2].n12n五．獨(dú)立性檢驗(yàn)1．兩個(gè)變量之間的關(guān)系；常見的有兩類：一類是確定性的函數(shù)關(guān)系；另一類是變量間存在關(guān)系，但又不具備函數(shù)關(guān)系所要求的確定性，它們的關(guān)系是帶有一定隨機(jī)性的．當(dāng)一個(gè)變量取值一定時(shí)，另一個(gè)變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系．散點(diǎn)圖：將樣本中的n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(x,y)(i=1,2，,n)描在平面直角坐標(biāo)系中，就得到ii了散點(diǎn)圖.散點(diǎn)圖形象地反映了各個(gè)數(shù)據(jù)的密切程度，根據(jù)散點(diǎn)圖的分布趨勢可以直觀地判斷分析兩個(gè)變量的關(guān)系.如果當(dāng)一個(gè)變量的值變大時(shí)，另一個(gè)變量的值也在變大，則這種相關(guān)稱為正相關(guān)；此時(shí)，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)在從左下角到右上角的區(qū)域.反之，一個(gè)變量的值變大時(shí)，另一個(gè)變量的值由大變小，這種相關(guān)稱為負(fù)相關(guān).此時(shí)，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)在從左上角到右下角的區(qū)域.散點(diǎn)圖可以判斷兩個(gè)變量之間有沒有相關(guān)關(guān)系.統(tǒng)計(jì)假設(shè)：如果事件A與B獨(dú)立，這時(shí)應(yīng)該有P(AB)=P(A)P(B)，用字母H表示此式，0即H:P(AB)=P(A)P(B)，稱之為統(tǒng)計(jì)假設(shè).0x2(讀作“卡方”)統(tǒng)計(jì)量：統(tǒng)計(jì)學(xué)中有一個(gè)非常有用的統(tǒng)計(jì)量，它的表達(dá)式為X2=nWin22—"J/，用它的大小可以nnnn1十2+十1+2用來決定是否拒絕原來的統(tǒng)計(jì)假設(shè)H.如果X2的值較大，就拒絕H，即認(rèn)為A與B是有00關(guān)的．X2統(tǒng)計(jì)量的兩個(gè)臨界值：3.841、6.635；當(dāng)X2〉3.841時(shí)，有95%的把握說事件A與B有關(guān)；當(dāng)X2〉6.635時(shí)，有99%的把握說事件A與B有關(guān)；當(dāng)X2W3.841時(shí)，認(rèn)為事件A與B是無關(guān)的．獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想與反證法類似，由結(jié)論不成立時(shí)推出有利于結(jié)論成立的小概率事件發(fā)生，而小概率事件在一次試驗(yàn)中通常是不會發(fā)生的，所以認(rèn)為結(jié)論在很大程度上是成立的．獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟：統(tǒng)計(jì)假設(shè)：H；列出2x2聯(lián)表；計(jì)算X2統(tǒng)計(jì)量；查對臨界值表，0作出判斷．幾個(gè)臨界值:P(X2三2.706)?0.10,P(X2三3.841)?0.05,P(X2三6.635)-0.01.2x2聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)：如果對于某個(gè)群體有兩種狀態(tài)，對于每種狀態(tài)又有兩個(gè)情況，這樣排成一張2x2的表，如下：狀態(tài)B狀態(tài)B合計(jì)狀態(tài)An11n12n1+狀態(tài)An21n22n2+n+1n+2n如果有調(diào)查得來的四個(gè)數(shù)據(jù)n，n，n，n，并希望根據(jù)這樣的4個(gè)數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)上述的兩種11122122狀態(tài)A與B是否有關(guān)，就稱之為2x2聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn).六．回歸分析回歸分析：對于具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫做回歸分析，即回歸分析就是尋找相關(guān)關(guān)系中這種非確定關(guān)系的某種確定性.回歸直線：如果散點(diǎn)圖中的各點(diǎn)都大致分布在一條直線附近，就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線.最小二乘法：

記回歸直線方程為：y=a+bx,稱為變量Y對變量x的回歸直線方程，其中a,b叫做回歸系數(shù)．y是為了區(qū)分Y的實(shí)際值y,當(dāng)x取值x時(shí)，變量Y的相應(yīng)觀察值為y,而直線上對應(yīng)于xiii的縱坐標(biāo)是y=a+bx.ii設(shè)x，Y的一組觀察值為(x,y),i=1,2,,n，且回歸直線方程為y=a+bx,ii當(dāng)x取值x時(shí)，Y的相應(yīng)觀察值為y,差y-y(i=1，2,,n)刻畫了實(shí)際觀察值y與回歸iiiii直線上相應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)之間的偏離程度稱這些值為離差.我們希望這n個(gè)離差構(gòu)成的總離差越小越好，這樣才能使所找的直線很貼近已知點(diǎn).記Q=》(y-a-bx)2,回歸直線就是所有直線中Q取最小值的那條.iii=1這種使“離差平方和為最小”的方法叫做最小二乘法.用最小二乘法求回歸系數(shù)a,b有如下的公式：工xy-nxyiib=芍,a=y-bx,其中a,b上方加“a”,表示是由觀察值按最小二乘法求得的乙x2-nx2ii=1回歸系數(shù).線性回歸模型：將用于估計(jì)y值的線性函數(shù)a+bx作為確定性函數(shù)；y的實(shí)際值與估計(jì)值之間的誤差記為￡,稱之為隨機(jī)誤差；將y=a+bx+8稱為線性回歸模型.產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要原因有：所用的確定性函數(shù)不恰當(dāng)即模型近似引起的誤差；忽略了某些因素的影響通常這些影響都比較小；由于測量工具等原因存在觀測誤差.線性回歸系數(shù)的最佳估計(jì)值：利用最小二乘法可以得到a,b的計(jì)算公式為丫(x-x)(y-y)丫(x-x)(y-y)工xy-nxyiiii丫(x-x)2i=-7=1工x2-n(x)2i,a=y-bx,其中xini=1y=-Yynii=1i=1ii=1由此得到的直線y=a+bx就稱為回歸直線,此直線方程即為線性回歸方程.其中a,b分別為a,b的估計(jì)值，a稱為回歸截距，b稱為回歸系數(shù)，y稱為回歸值.相關(guān)系數(shù)：

丫(x-x)(y-y)ii丫(x-x)(y-y)ii工xy-nxyii：（工x2-n（x）2）疋y2-n（y）2）i=1i=1i=1ii=16．相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)：⑴IrIW1；⑵IrI越接近于1,x，y的線性相關(guān)程度越強(qiáng);⑶IrI越接近于0,x，y的線性相關(guān)程度越弱.可見，一條回歸直線有多大的預(yù)測功能，和變量間的相關(guān)系數(shù)密切相關(guān)．7.轉(zhuǎn)化思想：根據(jù)專業(yè)知識或散點(diǎn)圖，對某些特殊的非線性關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把非線性方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，從而確定未知參數(shù).8.一些備案①回歸（regression）一詞的來歷：“回歸"這個(gè)詞英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家FrancilsGalton提出來的.1889年，他在研究祖先與后代的身高之間的關(guān)系時(shí)發(fā)現(xiàn)，身材較高的父母，他們的孩子也較高但這些孩子的平均身高并沒有他們父母的平均身高高;身材較矮的父母，他們的孩子也較矮，但這些孩子的平均身高卻比他們父母的平均身高高.Galton把這種后代的身高向中間值靠近的趨勢稱為“回歸現(xiàn)象”.后來，人們把由一個(gè)變量的變化去推測另一個(gè)變量的變化的方法稱為回歸分析.②回歸系數(shù)的推導(dǎo)過程：X+b2工X2iiQ=工[(y.-a)-bx]2=工y2-2a工y+na2-2b工xyX+b2工X2iiiiiiii=na2+2a(b工x-y)+b2ii把上式看成a的二次函數(shù)，a2的系數(shù)n>0,因此當(dāng)a=2@工x-Yy.）工因此當(dāng)a=2@工x-Yy.）工匸旦時(shí)取最小值.2n同理，把Q的展開式按b的降幕排列，看成b的二次函數(shù)，當(dāng)b=工xy-a工x之一-時(shí)取最小值.丫xy-nxyVziiV(x-x)(y-y)ii-V(x-x)2i解得：b=節(jié)乙x2-nx2ia=y-bx，i=1其中y=-Vy，x=丄Vx是樣本平均數(shù).nin19.對相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)的步驟：①提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)h0:變量x，y不具有線性相關(guān)關(guān)系;②如果以95%的把握作出推斷，那么可以根據(jù)1-0.95=0.05與n-2（n是樣本容量）在相關(guān)性檢驗(yàn)的臨界值表中查出一個(gè)r的臨界值r（其中1-0.95=0.05稱為檢驗(yàn)水平）；0.05計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)r；作出統(tǒng)計(jì)推斷：若Ir卜r，則否定H，表明有95%的把握認(rèn)為變量y與x之間具有線0.050性相關(guān)關(guān)系；若IrIWr，則沒有理由拒絕H，即就目前數(shù)據(jù)而言，沒有充分理由認(rèn)為變0.050量y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系.說明：⑴對相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，一般取檢驗(yàn)水平a二0.05，即可靠程度為95%.⑵這里的r指的是線性相關(guān)系數(shù)，r的絕對值很小，只是說明線性相關(guān)程度低，不一定不相關(guān)，可能是非線性相關(guān)的某種關(guān)系．⑶這里的r是對抽樣數(shù)據(jù)而言的?有時(shí)即使IrI=1，兩者也不一定是線性相關(guān)的?故在統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，不能就數(shù)據(jù)論數(shù)據(jù)，要結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行合理解釋．:I1忖_典例分析題型一線性相關(guān)及回歸【例1】已知變量y與x之間的相關(guān)系數(shù)是r=-0.872,查表得到相關(guān)系數(shù)臨界值r=0.482，要使可靠性不低于95%，則變量y與x之間（）0.05A.不具有線性相關(guān)關(guān)系b.具有線性相關(guān)關(guān)系C線性相關(guān)關(guān)系還待進(jìn)一步確定D.具有確定性關(guān)系【例2】當(dāng)相關(guān)系數(shù)r=0時(shí)，表明（）A現(xiàn)象之間完全無關(guān)B相關(guān)程度較小C現(xiàn)象之間完全相關(guān)D無直線相關(guān)關(guān)系【例3】下列結(jié)論中，能表示變量x，y具有線性相關(guān)關(guān)系的是（）A.|廠|上|A.|廠|上|r0.05lB-|r|W|r0.05!C.D.Ir|<Ir0.05|例4】下列現(xiàn)象的相關(guān)密切程度最高的是（）A.某商店的職工人數(shù)與商品銷售額之間的相關(guān)系數(shù)0.87B■流通費(fèi)用水平與利潤率之間的相關(guān)關(guān)系為-0.94商品銷售額與利潤率之間的相關(guān)系數(shù)為0.51商品銷售額與流通費(fèi)用水平的相關(guān)系數(shù)為-0.81例5】在吸煙與患肺病這兩個(gè)分類變量的計(jì)算中，下列說法正確的是（）若X2的值為6.635,我們有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺??；從獨(dú)立性檢驗(yàn)可知有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí),我們說某人吸煙,那么他有99%的可能患有肺??；若從統(tǒng)計(jì)量中求出有95%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有5%的可能性使得判斷出現(xiàn)錯(cuò)誤；以上三種說法都不正確.【例6】設(shè)兩個(gè)變量x和y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，它們的相關(guān)系數(shù)是r,y關(guān)于x的回歸直線的斜率是b，縱截距是a，那么必有（）A.b與r的符號相同B.a與r的符號相同C.b與r的相反D.a與r的符號相反【例7】定義：點(diǎn)（x,y）與直線y=bx+a的“縱向距離"為ly-（bx+a）l.已知iiiiA（0，0），B（0，-1），C（1，1）三點(diǎn)，存在直線l，使A，B，C三點(diǎn)到直線l的"縱向距離的平方和”Q最小.⑴求直線l的方程和Q的最小值；⑵判斷點(diǎn)D（|，0）與直線l的位置關(guān)系.

例8】(2009寧夏海南卷理)對變量x,y有觀測數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,,10)，得散點(diǎn)圖1；對變量U,v有觀測數(shù)據(jù)(u，v)(i=1,2,,10)，得散點(diǎn)圖2.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷.11A.變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B.變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C.變量x與y負(fù)相關(guān)，u與V正相關(guān)D.變量x與y負(fù)相關(guān)，U與V負(fù)相關(guān)【例9】為了考查兩個(gè)變量x和y之間的線性關(guān)系，甲、乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立做了10次和15次的試驗(yàn)，并且利用線性回歸方法求得回歸直線分別為l，l，已知兩人得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)中，12變量x和y的數(shù)據(jù)的平均值都對應(yīng)相等，那么下列說法正確的是()A.直線l和l一定有交點(diǎn)B.直線l一定平行于直線l1212C.直線l一定與l重合D.以上都不對12【例10】某地高校教育經(jīng)費(fèi)(x)與高校學(xué)生人數(shù)(y)連續(xù)6年的統(tǒng)計(jì)資料如下:教育經(jīng)費(fèi)(萬元)x316343373393418455在校學(xué)生(萬人)y111618202225試求回歸直線方程，估計(jì)教育經(jīng)費(fèi)為500萬元時(shí)的在校學(xué)生數(shù).例11】一家庭問題研究機(jī)構(gòu)想知道是否夫妻所受的教育越高越不愿生孩子，現(xiàn)隨機(jī)抽樣了8對夫妻，計(jì)算夫妻所受教育的總年數(shù)x與孩子數(shù)y,得結(jié)果如下x1917211815121420y13112321試求y對x回歸直線方程.【例12】某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷售額y（單位：百萬元）之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù):x24568y3040605070⑴畫出散點(diǎn)圖；⑵求回歸直線方程.【例13】某五星級大飯店的住屋率（％）（x）與每天每間客房的成本（元）（y）如下:x10075655550y20002500280032004000⑴試求y對x回歸直線；⑵若y的表示不變，x以小數(shù)表示（如75%表為0.75），求新的回歸直線例14】某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如下資料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日晝夜溫差x（C）1011131286就診人數(shù)y（個(gè)）222529261612該興趣小組確定的研究方案是：先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)．⑴若選取的1月與6月的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；⑵若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想