直線與平面平行判定與性質(zhì)獲獎(jiǎng)科研報(bào)告

直線與平面平行判定與性質(zhì)獲獎(jiǎng)科研報(bào)告【摘要】直線與平面平行的判定與性質(zhì)定理是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，也是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn)之一。想要在高考當(dāng)中獲得一個(gè)高分，對(duì)于直線與平面平行的判定與性質(zhì)定理必然得要掌握。如何才能對(duì)直線與平面平行的判定與性質(zhì)定理掌握得宜，這就是本文探究的重點(diǎn)。

【關(guān)鍵詞】直線;平面平行;性質(zhì);判定

一、前言

在近幾年的高考試題當(dāng)中，直線與平面平行的判定定理與性質(zhì)一直都在題目中有所體現(xiàn)。主要的考察方式是通過(guò)錐體或者柱體作為載體，用線面平行的關(guān)系定理去論證題目。在這種幾何體中，對(duì)于學(xué)生的計(jì)算能力的要求與其他題目相比就就比較的少，更多的是側(cè)重于想象能力，推理能力的考察，或者是對(duì)于圖形轉(zhuǎn)換所用到的轉(zhuǎn)換思想的運(yùn)用。

二、線面平行的判定定理

在高中階段，線面平行定理對(duì)學(xué)生的要求并不是很高，從各大數(shù)學(xué)試卷的考題分布來(lái)看，我們可以得知幾何圖形的題目一般是分布在大題的第二小問(wèn)或者第三小問(wèn)。從這種題目的分布情況我們可以知道，難度系數(shù)并不是很高，對(duì)于很多學(xué)生來(lái)講都是得分的重點(diǎn)，如何讓學(xué)生通過(guò)解題得到分?jǐn)?shù)，這需要強(qiáng)調(diào)線面平行判定定理的相關(guān)性質(zhì)。畢竟通過(guò)學(xué)習(xí)我們可以知道直線與平面的關(guān)系其實(shí)是多種的，第1個(gè)關(guān)系就是直線在平面上，第2個(gè)就是直線與平面相交，第3個(gè)變式直線與平面平行，在這三種關(guān)系當(dāng)中如何判斷直線與平面平行是一個(gè)難題，因?yàn)樵谶@三種直線與平面的關(guān)系當(dāng)中，又可以分出許多細(xì)枝末節(jié)，這需要讓學(xué)生理解直線在平面內(nèi)的概念，即如果直線l上的所有點(diǎn)都在平面α內(nèi)，就說(shuō)直線l在平面α內(nèi)，或者說(shuō)平面α經(jīng)過(guò)直線l。異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。直線與平面相交的概念：直線與平面有一個(gè)交點(diǎn)。如何讓學(xué)生更好的判斷線面平行必須讓學(xué)生熟記定理。常用的線面平行的判定定理主要有兩個(gè)：定理1說(shuō)的是平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。常用的證明方式便是：設(shè)直線a‖直線b，a不在平面α內(nèi)，b在平面α內(nèi)。假設(shè)若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條不一定直線與這個(gè)平面平行。若直線a與平面α不平行，且由于a不在平面α內(nèi)，則有a與α相交，設(shè)a∩α=F。過(guò)點(diǎn)F在平面α內(nèi)作直線c‖b，由于a‖b則a‖c.又F∈a，且F∈c，即a∩c=F，這與a‖c相矛盾.所以假設(shè)不正確，原命題正確?！遖∥b，∴A不在b上，在α內(nèi)過(guò)A作c∥b，則a∩c=A，又∵a∥b，b∥c，∴a∥c，與a∩c=A矛盾?！嗉僭O(shè)不成立，a∥α。用向量法證明：設(shè)a的方向向量為a，b的方向向量為b，面α的法向量為p。∵b?α，∴b⊥p，即p·b=0。∵a∥b，由共線向量基本定理可知存在一實(shí)數(shù)k使得a=kb，那么p·a=p·kb=kp·b=0即a⊥p，∴a∥α。

定理2，平面外一條直線與此平面的垂線垂直，則這條直線與此平面平行。在學(xué)習(xí)這一個(gè)定理時(shí)，教師可以通過(guò)常見(jiàn)的例子進(jìn)行舉例，在授課過(guò)程中，教師可以把黑板當(dāng)做一個(gè)平面，把粉筆垂直于黑板這一個(gè)平面做平面的垂線。之后用游離于黑板這一個(gè)平面之外的課本作為一條直線，當(dāng)這條直線與粉筆垂直時(shí)，我們就可以讓學(xué)生自主地發(fā)現(xiàn)，書(shū)本與黑板這一個(gè)平面平行的事實(shí)。通過(guò)這樣一個(gè)實(shí)物取景，能夠讓學(xué)生更好的了解直線與平面平行的判定定理。

三、線面平行的性質(zhì)

當(dāng)我們掌握了線面平行的判定定理時(shí)，就對(duì)于線面平行的性質(zhì)容易理解了。線面平行的性質(zhì)，最常用的也有兩條，第1條便是一條直線和一個(gè)平面平行則國(guó)智調(diào)直線的任意平面與此平面的交線與該直線平行。當(dāng)我們一看到這一條性質(zhì)時(shí)就比較的繞，而且練出來(lái)也比較的拗口。連講出來(lái)都這么的費(fèi)力，所以有很多的學(xué)生對(duì)于這個(gè)性質(zhì)比較模糊不好理解，有時(shí)還沒(méi)有掌握全。可是高考講究的就是突然襲擊，講求的是全面的掌握，如何讓學(xué)生更好的掌握這一條性質(zhì)。其實(shí)就是直線平行一個(gè)平面，則過(guò)此平面與已知平面的交線一定與此直線平行?？赡墚?dāng)我們簡(jiǎn)單的進(jìn)行言語(yǔ)表達(dá)時(shí)，還有很多的學(xué)生對(duì)于這一條性質(zhì)。還是很難理解，這樣的話我們就得從實(shí)際生活當(dāng)中取景，通過(guò)聯(lián)系學(xué)生，讓學(xué)生更好的理解這一條性質(zhì)，例如，我們可以用講臺(tái)與粉筆作為平面和直線，當(dāng)粉筆與講臺(tái)平行時(shí)，那么經(jīng)過(guò)直線的一個(gè)平面也經(jīng)過(guò)講臺(tái)時(shí)，與講臺(tái)所產(chǎn)生的交線就會(huì)與粉筆平行。當(dāng)我們?yōu)閷W(xué)生演示了這一個(gè)概念時(shí)，為了加強(qiáng)學(xué)生之后的理解鞏固知識(shí)，還可以從別的方式來(lái)為他們進(jìn)行理解。例如，證明：假設(shè)a與b不平行，設(shè)它們的交點(diǎn)為P，即P在直線a，b上。∵b∈α，∴a∩α=P，與a∥α矛盾，∴a∥b。此定理揭示了直線與平面平行中蘊(yùn)含著直線與直線平行。通過(guò)直線與平面平行可得到直線與直線平行。這給出了一種作平行線的重要方法。當(dāng)老師在講這一條性質(zhì)時(shí)，需要注意一些特殊情況，這條性質(zhì)有著一定的范圍限制。當(dāng)直線與平面平行時(shí)，并不代表著平面內(nèi)的所有直線都與該直線平行，如果不為學(xué)生講清這一點(diǎn)他們可能會(huì)產(chǎn)生思維誤區(qū)，但是如果直線與平面垂直時(shí)，那么這條直線將垂直于平面內(nèi)所有的直線。

第2條就是一條直線與一個(gè)平面平行，則該直線垂直于此平面的垂線。這一條性質(zhì)相比于前一條性質(zhì)就比較容易理解。當(dāng)然為了讓學(xué)生更好的理解這一條性質(zhì)，也可以采用聯(lián)系實(shí)際生活的辦法。就拿粉筆，書(shū)本和講臺(tái)講臺(tái)作為道具，分別作為直線與講臺(tái)這一個(gè)平面平行時(shí)，我們?cè)趯W(xué)用課本作為平面的垂線，可以看出平行于講臺(tái)的粉筆與課本也垂直。常見(jiàn)題目便是已知：a∥α，b⊥α。求證：a⊥b。證明：由于α的垂線有無(wú)數(shù)條，因此可將b平移至與a相交，設(shè)平移的直線為c，a∩c=M，c與α的垂足為N?！邇蓷l相交直線確定一個(gè)平面，∴設(shè)a和c構(gòu)成的平面為β，且α∩β=l?！逳∈c，N∈α，c?β，∴N∈l，且由定理1可知a∥l?！遚⊥α，l?α，∴c⊥l?！郺⊥c，最后由于平移不改變直線的方向，因此a⊥b。

四、結(jié)語(yǔ)

線面平行可以說(shuō)是高中知識(shí)點(diǎn)當(dāng)中一個(gè)很重要的內(nèi)容了，其考察的范圍也比較的廣泛，主要涉及到高中階段的所有