深圳大學數(shù)理方程復習

數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)

〔總結與復習〕深圳大學電子科學與技術學院杜戈果參考了顧樵教授和孫秀泉教授的課件什么是數(shù)學物理方法如何建立數(shù)理方程求解定解問題特殊函數(shù)對實際問題〔物理及一般問題〕，分析考察量的變化規(guī)律，建立相應的微分方程寫出考察量所滿足的相關條件根據(jù)微分方程和相關條件，求出考察量的解討論解的適用條件精確描述線性增長階段例子:人口增長問題

(Malthus模型)什么是數(shù)學物理方法？用數(shù)學物理方法處理實際問題:第一步它是最重要的一步也是最困難的一步：數(shù)學物理方程的建立數(shù)學物理方法的核心：統(tǒng)計法：對所考察的問題進行統(tǒng)計學研究，分析考察量的變化規(guī)律，寫出它所滿足的微分方程。這種方法具有非常廣泛的用途，包括生物學、生態(tài)學、經(jīng)濟學、社會學等。微元法：在系統(tǒng)中分出一個微元，分析它與附近局部的相互作用，寫出作用規(guī)律的數(shù)學表達式〔比方牛頓第二定律表達式〕，它就是系統(tǒng)的微分方程。規(guī)律法：直接利用物理學規(guī)律寫出考察量所遵循的數(shù)學物理方程，比方利用電磁波的麥克斯韋方程，寫出電位、電場強度、磁場強度等物理量的微分方程。建立數(shù)理方程的方法根本方程〔泛定方程〕的建立物理模型〔現(xiàn)象、過程〕數(shù)學形式表述〔建立偏微分方程并求解〕目的：培養(yǎng)分析、歸納、綜合、演繹、抽象、猜測、試探、估算的科學方法。步驟：(1〕確定研究對象〔物理量〕，建立適宜的坐標系；〔2〕在系統(tǒng)內部，任取一微元，利用物理規(guī)律，分析其與相鄰局部間的作用；〔3〕忽略次要因素，抓住主要矛盾；〔4〕化簡整理，得到偏微分方程。不含初始條件不含邊界條件物理狀態(tài)描述:設有一根均勻、柔軟的細弦，平衡時沿直線拉緊，除受到重力外，不受其它外力影響，在鉛直平面內作橫向、微小振動。平衡位置任意截取一小段，并抽象性夸大。弦的振動：雖然經(jīng)典，但極具啟發(fā)性。一.均勻弦的橫振動方程的建立平衡位置:弦被繃緊，內部有張力(設為

T)，

長度為

L，水平安置(位于

x軸)x00x初始狀態(tài):〔例如〕弦被拉成以下形狀：LL微元法：弦振動方程任意t時刻弦的形狀:

0xu現(xiàn)在的問題：任意時刻t弦上任意點x離開其平衡位置的位移u(x,t)

？xuLX1、建立坐標系，選定微元2、微元s的動力學方程〔牛頓第二運動定律〕uo

sM1N1M2N2xx+dxT1T2X1、建立坐標系，選定微元uo2、微元s的動力學方程〔牛頓第二運動定律〕M1

sN1M2N2xx+dxT1T2(1)(2)水平方向：豎直方向：(忽略重力)弦

s的質量:0xxu水平方向：豎直方向：3、忽略與近似對于微振動:T1＝T2，說明張力不隨地點而變，它在整根弦中取同一數(shù)值。(弦振動方程)或者，是的變化量，可以用微分近似代替，即(一維波動方程)強迫振動方程注:齊次方程:只含有對

u

的各種運算非齊次方程：含有對

u

運算之外的項f(x,

t),被稱為驅動項,或非零自由項

x

高溫低溫熱流熱流沿x方向傳遞,任意x處的溫度為u,溫度梯度為，q表示在單位時間內流經(jīng)單位面積的熱量，k是熱傳導系數(shù)，負號表示熱流方向與溫度梯度方向相反。單位面積q00u二、熱傳導的傅里葉定律:溫度梯度：低溫高溫熱流動：高溫低溫

微元長度,橫截積面,體密度:0xxQ1

Q2

在

t

時間內從

x截面流入的熱量在

時間內從截面流出的熱量比熱定義體積元吸收的凈熱量表現(xiàn)為溫度的升高均勻細桿：熱傳導方程其中,而熱傳導方程:能量守恒要求:三維熱傳導方程:有源熱傳導方程:梯度：散度：旋度：矢量運算根底：如果函數(shù)u(x,y,z)和矢量E(x,y,z)有連續(xù)的一階偏導數(shù)，那么：微分算符：也稱哈密爾頓算子，讀“代爾〔del〕〞拉普拉斯算符(子)：作用于函數(shù)u給出作用于函數(shù)E給出

E泊松方程:拉普拉斯方程:(非齊次:有源場)(齊次:無源場)電場強度與電位的關系定義為:電位方程

u泛定方程定解條件定解問題數(shù)學物理方程：完整表述泛定方程只含一階微商，只有一個初始條件：泛定方程含二階微商，需要兩個初始條件:

泛定方程不含時間變量，不涉及初始條件〔例如拉普拉斯方程〕

數(shù)理方程：初始條件

第一類邊界條件：直接給出考察量在邊界S上的值：

第二類邊界條件：給出考察量的導數(shù)在邊界上的值：

第三類邊界條件：給出考察量及其導數(shù)的線性組合：

〔均為函數(shù)〕數(shù)理方程：邊界條件

分別稱為第一類，第二類，第三類齊次邊界條件

分別稱為第一類，第二類，第三類非齊次邊界條件

數(shù)理方程：邊界條件〔自由端/絕熱〕〔彈性支撐〕一個泛定方程與相應的定解條件構成“定解問題〞。例如弦振動的一個定解問題〔兩端固定，初始位移是任意的，初始速度為零〕可以表示為數(shù)理方程：定解問題例：(0

x

L)(0<x<L,t>0)(t>0)幾個名詞簡介:定解問題分為三類：根本方法：1.別離變量法2.行波法3.積分變換法拉普拉斯變換傅里葉變換定解問題的求解有界弦的自由振動有限長桿上的熱傳導圓域內的二維拉普拉斯方程的定解問題非齊次方程的解法非齊次邊界條件的處理別離變量法提要:什么是別離變量法?運用別離變量法所應該具備的條件?如何應用別離變量法解定解問題?弦長度為L,兩端固定,任意初始位移,任意初始速度。定解問題為:泛定方程邊界條件初始條件(1)(2)(3)例1：有界弦的自由振動〔第一類邊界條件〕設方程〔1〕有別離變量解：代入方程〔1〕：兩邊對x求導數(shù)：設這一常數(shù)為-，那么〔4〕〔5〕〔6〕至此可以看出,利用別離變量法的條件是:泛定方程必須是齊次的。否那么〔5〕變成方程,不能寫出變量別離的形式〔6〕。別離變量：將邊界條件〔2〕代入形式解〔4〕：由于,否那么(平庸解,無實際意義),故這樣空間函數(shù)構成以下常微分方程的邊值問題:至此可以看出,利用別離變量法的條件是:邊界條件必須是齊次的。否那么，不能寫出關于空間函數(shù)X(x)單獨的邊界條件〔7〕，不能構成定解問題〔8〕。〔8〕〔7〕

：方程(9)的通解為2.:方程(9)的通解為(9)(10)〔平庸解:X(x)=0〕由(10)得

為了滿足邊界條件(10),(11)必須給出(11)下面求解邊值問題：設這是一個關于A,B的線性齊次方程組，它有非零解的必要充分條件是系數(shù)行列式為零：

即上式在k=0(即

=0)條件下成立，但在現(xiàn)在的

<0情況下不成立，這意味著：方程組(12)只有零解(12)即(9)(10)為了滿足邊界條件(10),必須有3.

>0,方程(9)的通解為該邊值問題的解是一系列分立的正弦函數(shù)由于B不能為零(否那么X(x)=0)設將代入關于

T的方程:這個解稱為定解問題的“本征解〞,它滿足泛定方程和齊次邊界條件其通解為這樣

解方程:但是本征解的初始值不能滿足任意初始條件(2),為了使原定解問題的解滿足任意初始條件，考慮到原泛定方程是線性的〔服從疊加原理〕，可以取本征解的疊加構成定解問題的一般解：一般解不但滿足泛定方程還滿足定解條件定解問題的一般解:

這樣初始條件可以表示為它們是函數(shù)的傅立葉級數(shù)，展開系數(shù)為一般解能表示任意初始條件可以再次看出,利用別離變量法的條件是:泛定方程必須是線性的。這樣才能利用疊加原理，構成一般解，滿足任意初始條件。任意初始條件:

有界弦自由振動的定解問題的解由級數(shù)給出:

它滿足齊次邊界條件和任意初始條件:

展開系數(shù)被積分確定:弦振動定解問題的結論：1.對于泛定方程寫出形式解:

2.別離變量得到空間函數(shù)的本征值問題:3.解出得到本征解:4.利用疊加原理得到一般解:〔本征值〕〔本征函數(shù)〕別離變量法：求解定解問題的步驟1.泛定方程是線性齊次的,

例如2.邊界條件是齊次的,例如3.初始條件可以是任意函數(shù)

討論:別離變量法的適用條件本征方程X(x)+X(x)=0的本征值與本征函數(shù)邊界條件本征值本征函數(shù)n的取值u

x=0=0，u

x=L=0n=1,2,3,…n=0,1,2,3,…n=0,1,2,3,…n=0,1,2,3,…有界桿的長度為L，其兩端保持絕熱，桿內初始溫度分布為(x)，求解桿內任意時刻的溫度分布的定解問題：(1)(2)(3)例2：熱傳導(第二類邊界條件)

有限長桿上的熱傳導設方程〔1〕有形式解：代入方程〔1〕別離變量：〔4〕〔5〕〔6〕別離變量：將邊界條件〔3〕代入形式解〔4〕：這樣空間函數(shù)X(x)構成以下常微分方程的邊值問題:〔8〕〔7〕

：(9)的通解2.:(9)的通解(9)(10)有特解:X0(x)=A(常數(shù))由(10)得

,

為了滿足邊界條件(10),必須有(平庸解)但下面求解邊值問題：為了滿足邊界條件(10),必須有3.,方程(9)的通解為(9)(10)求解邊值問題：將代入關于

T的方程:這個解是定解問題的本征解，它滿足泛定方程和齊次邊界條件，但是不能表征任意初始條件其通解為這樣

解方程:利用傅里葉系數(shù)公式,得到C0是本征值

=0相應的特解X0(x)=A

初始條件：一般解與初始條件：如果：(n=1,2,3,……)(n=0,1,2,3,……)問題：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)溫度概念：系統(tǒng)在任意時刻的平均穩(wěn)定定義為u(x,t)對空間的積分除以系統(tǒng)的長度LLLxx絕熱曲線下面積相等(總熱量保持恒定)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)溫度：1.直觀分析系統(tǒng)最終趨于熱平衡溫度:

這一過程是絕熱的(總熱量保持恒定)：初始溫度的平均值系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)溫度：2.動力學分析熱傳導的動力學行為:熱傳導的穩(wěn)態(tài)行為:系統(tǒng)在條件下的穩(wěn)態(tài)溫度:系統(tǒng)是絕熱的(總熱量保持恒定):()熱傳導方程的穩(wěn)態(tài)解〔適用于任何情況〕初始溫度的平均值系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)溫度：3.穩(wěn)態(tài)分析將u(x,t)代入，可求出平均溫度U(t)=C0,0,0,222><<??=??tLxxuatu例３：熱傳導(第三類邊界條件)求解方法看課件第二章-2，有一定難度通解：利用定解條件確定系數(shù)例4：圓域上的拉普拉斯方程1.在物理上代表同一個點，具有相同的溫度:

這個條件稱為“周期性邊界條件〞2.物理上，圓內各點的溫度應該是有界的，特別是圓盤中心的溫度應該是有限的：

這個條件稱為“自然邊界條件〞尋找物理上的邊界條件：有界弦的強迫振動:弦長度為L,兩端固定,任意初始條件。定解問題為：

強迫弦振動非齊次泛定方程及任意初始條件例5：采用本征函數(shù)法選擇空間函數(shù)的本征函數(shù)集，寫出泛定方程的形式解：將形式解代入泛定方程，直接得到時間函數(shù)的常微分方程，例如弦振動：3.本征函數(shù)法能用來求解齊次和非齊次泛定方程的定解問題本征函數(shù)法的要點和優(yōu)點:邊界條件本征函數(shù)集本征函數(shù)集〔，〕例6：非齊次邊界條件的處理——非齊次邊界條件的齊次化回憶以前：無論泛定方程是齊次非齊次對應的邊界條件都是齊次的倘若邊界條件是非齊次的新問題？將其轉化為齊次以適當?shù)奈粗瘮?shù)代換采用輔助函數(shù)法，將邊界條件齊次化設定解問題:為了將邊界條件轉成齊次，為此令：使的邊界為齊次適當選取，即由〔2.55〕與〔2.57〕可知，要使〔2.58〕式成立，只要選取W，使其滿足適當選取由右列邊界條件確定由：理所當然，函數(shù)必定滿足邊界條件。因此，只要作代換就能使新的未知函數(shù)，滿足齊次的邊界條件.那么，究竟選取哪一個？為了使以后的計算簡便，選取W為x的一次式，即取直線然后來解決關于新的函數(shù)V(x,t)——（齊次）的定解問題.其中得到關于V的定解問題代入再用本征函數(shù)法求解V(x,t)綜合問題：非齊次方程，非齊次邊界條件，任意初始條件如果自由項和邊界條件不含時間，選取適當?shù)妮o助函數(shù)使方程和邊界條件同時齊次化。如果不滿足上述條件，選取適當?shù)妮o助函數(shù)使邊界條件齊次化。3.邊界條件齊次化之后，用“一分為二〞法：3.1齊次方程+任意初始條件〔別離變量法〕3.2非齊次方程+齊次初始條件〔本征函數(shù)法〕邊界條件齊次化之后，還可以用“合二為一〞法：直接利用本征函數(shù)法，一次性求解。綜合定解問題的處理〔通解〕〔特解〕行波法求解無界波動方程原方程：特征方程：特征線：特征變換：簡化方程：結論：只要找到特征方程就可以將原方程化簡結論>0〔雙曲型〕如一維波動方程=0〔拋物線型〕如一維熱傳導方程<0〔橢圓型〕如二維拉氏方程

二階線性偏微分方程:通式和分類

特征方程：結論

(一般情況)特征線：注：只有雙曲方程有特征線特征變換：簡化方程：在A、B、C均為常數(shù)時：xyz求解球坐標下的三維波動方程球對稱：無關，那么波動方程可化簡為以

ru

為函數(shù)的一維波動方程一、球對稱情況目的：求任意

t時刻在任意點的波函數(shù)步驟：1.以M點為中心，以r為半徑作一個球面2.求出波函數(shù)在球面上的平均值：

表示球面上的動點xyz3.在情況下求極限：

給出最后結果Mr二、一般情況：泊松球面平均法能夠證明〔〕滿足一維波動方程其通解為：三維波動方程初值問題的泊松公式三維波動方程初值問題的泊松公式r①空間任意一點M，在任意時刻t>0的狀態(tài)，完全由以該點為心、at

為半徑的球面上初始狀態(tài)決定。

②當初始擾動限制在空間某局部范圍時，擾動有清晰的“前鋒〞與“陣尾〞，即惠更斯原理成立。三維齊次波動方程柯西問題泊松公式的物理意義：二維齊次波動方程柯西問題泊松公式的物理意義：①二維空間任意一點M，在任意時刻t>0的狀態(tài)，完全由以該點為心、at

為半徑的圓盤域上初始狀態(tài)決定。

②局部初始擾動對二維空間任意一點的擾動有持續(xù)后效，波的傳播有清晰的“前鋒〞而無后鋒，此現(xiàn)象稱為波的擴散，即惠更斯原理不再成立。

適用:一般常微分方程及偏微分方程

時間

t：拉氏變換空間

x：

拉氏變換

空間

x：

傅氏變換

注意：使用拉氏和傅氏雙重變換積分變換法〔原函數(shù)〕〔象函數(shù)〕常用的拉普拉斯變換定義：拉普拉斯變換性質小結：線性性質微分性質積分性質位移性質延遲性質卷積定理定義：〔原函數(shù)小寫〕〔象函數(shù)大寫〕定義：反變換存在的條件：傅立葉變換傅立葉變換性質小結：線性性質微分性質積分性質位移性質卷積定理定義：重要結果單位階躍函數(shù)的變換變量

x變化范圍：，對x用傅里葉變換

例如無界弦2.變量

x變化范圍：，對x用拉普拉斯變換

例如半無界熱傳導3.時間變量的變化為，只能用拉普拉斯變換傅里葉變換與拉普拉斯變換1.用拉普拉斯求解常微分方程的初值問題，不需要考慮方程是否齊次，解題步驟都是一樣的。象函數(shù)是代數(shù)方程〔包含了初始條件〕，容易求解，比經(jīng)典的方法〔先求通解，再利用初始條件確定常數(shù)〕更優(yōu)越。2.用拉普拉斯求解數(shù)學物理方程的定解問題，不管方程與邊界條件是否齊次，不管方程定義在無界還是有界區(qū)域〔見例題6〕，都可以求解。對于偏微分方程,既可以對t求拉氏變換，也可以對x求拉氏變換(如果有)。拉普拉斯變換(法)的優(yōu)點根據(jù)變量x的變換范圍選擇傅氏變換或拉氏變換:

變換后得到象空間的常微分方程和定解條件。2.求解象空間的定解問題，得到象函數(shù)3.對象函數(shù)反演后得到原定解問題的解。：傅氏變換：拉氏變換

時間變量

t的變化范圍為，只能取拉氏變換。積分變換法求解定解問題的步驟看課件第三章-3、第三章-4用積分變換法求解定解問題勒讓德方程貝塞爾方程冪級數(shù)解廣義冪級數(shù)解當l=0,1,2…時，無窮級數(shù)被截斷成為勒讓德多項式性質〔本征函數(shù)集〕：主要用途：各種形式的貝正交歸一完備塞爾方程求解〔30多種〕特殊函數(shù)柱坐標下：貝塞爾方程Sturm-Liouville〔施圖姆-劉維爾〕型方程球坐標下：Sturm-Liouville〔施圖姆-劉維爾〕型方程球坐標下：勒讓德方