2023屆高考數(shù)學(xué)重難點專題訓(xùn)練專題16數(shù)列求和-裂項相消

專題16數(shù)列求和—裂項相消等差數(shù)列前項和為，且，．

求數(shù)列的通項公式；

設(shè)數(shù)列的前項和為，若，求的最小值．設(shè)數(shù)列的前項和為，己知，是公差為的等差數(shù)列．

求的通項公式；

設(shè)，求數(shù)列前項和．3.已知數(shù)列為公差不為的等差數(shù)列，且，，，成等比數(shù)列．Ⅰ求數(shù)列的通項公式Ⅱ設(shè)為數(shù)列的前項和，令，求數(shù)列的前項和．4.已如各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且，，，且

求數(shù)列的通項公式；

證明：當時，．5.設(shè)為數(shù)列的前項和，已知．求的通項公式令，求數(shù)列的前項和．6.在數(shù)列中，，求數(shù)列的通項公式；求滿足不等式成立的的最大值．7.已知正項數(shù)列的前項和為．求的通項公式；若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項和．8.已知在數(shù)列，中，，．

Ⅰ設(shè)數(shù)列的前項和為，若，求和：；

Ⅱ若數(shù)列為等差數(shù)列，且公差，求證：

答案和解析1.【答案】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項為，

則，解得，

所以數(shù)列的通項公式為．

，

，

由題得，

解得，

因為，所以的最小值是．

【解析】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，裂項相消法求和的問題，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題給的等式求解出數(shù)列的首項和公差，再寫出通項公式即可；

根據(jù)數(shù)列的通項公式求解數(shù)列的通項公式，進而求解其前項和，最后根據(jù)不等式的知識求解的最小值．

2.【答案】解：依題意，，

由于是公差為的等差數(shù)列，

則，即．

當時，，

而滿足上式，

則數(shù)列的通項公式是．

由知，，

，

數(shù)列的前項和．

【解析】本題考查等差數(shù)列的通項公式，數(shù)列的前項和，裂項相消法求和，屬于中檔題．

利用等差數(shù)列通項公式求出，再利用前項和求數(shù)列的通項；

由求出，再利用裂項相消法求解．

3.【答案】解：設(shè)數(shù)列的公差為，則，由題意可得：解得：數(shù)列的通項公式為；由，，設(shè)數(shù)列的前項和為，所以數(shù)列的前項和

【解析】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，考查等差數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的性質(zhì)，考查數(shù)列的求和及裂項相消法，考查分析與計算能力，屬于中檔題．

結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，利用等差數(shù)列通項公式將條件轉(zhuǎn)化為，公差的方程，解方程求出，由此可得數(shù)列的通項公式；

由可得，結(jié)合裂項相消法可求數(shù)列的前項和．

4.【答案】解：由，得，即，

所以數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，

所以，即，

當時，，

當時，，也滿足上式，所以；

證明：當時，，

所以．

【解析】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列求和，放縮法的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．

由，說明數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，然后求解，推出；

當時，化簡，結(jié)合放縮法，轉(zhuǎn)化求解數(shù)列的和，推出結(jié)果．

5.【答案】解：當時，，

，

．

當，

得：

．

，

，

數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，

；

，

．

【解析】本題考查數(shù)列通項公式以及前項和的求法，考查了裂項相消法的應(yīng)用，屬于中檔題．

首先取，求出首項，然后利用，判斷出數(shù)列為等差數(shù)列，求得通項公式；

由得到數(shù)列的通項公式，利用裂項相消求和得到所求．

6.【答案】解：由條件得，

所以數(shù)列是以為首項，公差的等差數(shù)列．

故，

即

由知，

故

，

所以，解得，

結(jié)合得，的最大值是．

【解析】本題考查數(shù)列的通項公式及裂項相消求和，屬于中檔題．

由條件得，即可得數(shù)列是以為首項，公差的等差數(shù)列，從而可求得數(shù)列的通項公式；

由知，求和可得，求解即可得的最大值．

7.【答案】解：由題知：，

，

兩式相減得：，

所以，

所以，

由正項數(shù)列，

得，

又因為，所以，

因為，解得：，

所以適合式，

所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，

所以．

由得：，

所以，

得：，所以，

又由式得，適合上式，

所以，

所以，

所以

．

【解析】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系，等差數(shù)列的判定及通項公式，以及裂項相消求和法的運用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

由數(shù)列的遞推關(guān)系，可得是以為首項，為公差的等差數(shù)列，由此可得的通項公式；

由題意，可推導(dǎo)出，從而可得，由此利用裂項相消求和可得答案．

8.【答案】解：Ⅰ當時，，又，

兩式相減可得，

化為，

可得是首項為，公比為的等比數(shù)列，

則，，

則；

Ⅱ證明：若數(shù)列為等差數(shù)列，且公差，，

可得，

則

，

因為，，

所以，，

則

【解析】本題考查數(shù)列的遞推式的運用，以及等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，數(shù)列的裂項相消求和，考查