程序設(shè)計競賽常用算法

#常用算法設(shè)計方法要使計算機能完成人們預(yù)定的工作，首先必須為如何完成預(yù)定的工作設(shè)計一個算法，然后再根據(jù)算法編寫程序。計算機程序要對問題的每個對象和處理規(guī)則給出正確詳盡的描述，其中程序的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和變量用來描述問題的對象，程序結(jié)構(gòu)、函數(shù)和語句用來描述問題的算法。算法數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是程序的兩個重要方面。算法是問題求解過程的精確描述，一個算法由有限條可完全機械地執(zhí)行的、有確定結(jié)果的指令組成。指令正確地描述了要完成的任務(wù)和它們被執(zhí)行的順序。計算機按算法指令所描述的順序執(zhí)行算法的指令能在有限的步驟內(nèi)終止，或終止于給出問題的解，或終止于指出問題對此輸入數(shù)據(jù)無解。通常求解一個問題可能會有多種算法可供選擇，選擇的主要標準是算法的正確性和可靠性，簡單性和易理解性。其次是算法所需要的存儲空間少和執(zhí)行更快等。算法設(shè)計是一件非常困難的工作，常用的算法設(shè)計方法主要有迭代法、窮舉搜索法、遞推法、遞歸法、貪婪法、回溯法、分治法、動態(tài)規(guī)劃法等。一、迭代法迭代法是用于求方程或方程組近似根的一種常用的算法設(shè)計方法。設(shè)方程為f(x)=O,用某種數(shù)學(xué)方法導(dǎo)出等價的形式x=g(x)，然后按以下步驟執(zhí)行：選一個方程的近似根，賦給變量xO；將x0的值保存于變量x1，然后計算g(x1)，并將結(jié)果存于變量x0；當(dāng)x0與xl的差的絕對值還大于指定的精度要求時，重復(fù)步驟(2)的計算。若方程有根，并且用上述方法計算出來的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0就認為是方程的根。上述算法用C程序的形式表示為：【算法】迭代法求方程的根{x0=初始近似根；do{x1=xO；xO=g(x1)；/*按特定的方程計算新的近似根*/}while(fabs(xO-x1)>Epsilon)；printf(“方程的近似根是%f\n^，x0)；}具體使用迭代法求根時應(yīng)注意以下兩種可能發(fā)生的情況：如果方程無解，算法求出的近似根序列就不會收斂，迭代過程會變成死循環(huán)，因此在使用迭代算法前應(yīng)先考察方程是否有解，并在程序中對迭代的次數(shù)給予限制；方程雖然有解，但迭代公式選擇不當(dāng)，或迭代的初始近似根選擇不合理，也會導(dǎo)致迭代失敗?！九e例】求方程X2-X-1=0的正根，誤差〈0.05解：(1)建立迭代公式由于X=X2-1選擇迭代公式X=X2-1k+1k(2)確定有根區(qū)間因為f(l)=-l,f(2)=l故在區(qū)間[a,b](此時a=l,b=2)內(nèi)有正根，取X=1.50⑶迭代，直到|x-x*|〈0.05為止。kN%比希FCXJ符號0121.5-11.521.75+21.51.751.625+31.51.6251.5625■41.55251.6251.59375-■1.59375苴餞差憶一汁pF"二、窮舉搜索法(枚舉法)窮舉搜索法是對可能是解的眾多候選解按某種順序進行逐一枚舉和檢驗，并從中找出符合要求的候選解作為問題的解。(往往與數(shù)學(xué)法相結(jié)合)舉例：給定等式ABCDE+DFGDFGXYZDE其中每個字母代表一個數(shù)字，且不同數(shù)字對應(yīng)不同字母。編程求出這些數(shù)字并且打出這個數(shù)字的算術(shù)計算豎式。參考程序1#includevstdio.h>intmain(){inta[10];intflag1=0,flag2=0,flag3=0,flag4=0;inti,j,k,l,m,n;longintda,db,dw,dm,dn;longintdx,dy,dz;for(da=10000;da<99999;da++)<--窮舉法{dx=da;flag1=0;for(i=0;i<5;i++){printf("dx=%d\n",dx);a[i]=dx%10;dx=(dx-dx%10)/10;}for(j=0;j<4;j++){for(k=j+1;k<5;k++){if(a[j]==a[k])flag1=1;}}if(!flag1){for(db=100;db<999;db++)<--窮舉法{dy=db;printf("db=%d\n",db);flag2=0;a[5]=dy%10;a[6]=((dy-dy%10)/10)%10;if(a[5]==0&&a[6]==5)<--數(shù)學(xué)法{flag2=0;}else{flag2=1;}if(!flag2){flag3=0;for(m=0;m<5;m++){for(n=m+1;n<6;n++)if(a[m]==a[n])flag3=1;}if(!flag3){flag4=0;dw=da+db+db;dz=dw;dz=(dz-dz%100)/100;for(i=7;i<=9;i++){a[i]=dz%10;dz=(dz-dz%10)/10;}for(m=0;m<=8;m++){for(n=m+1;n<=9;n++)if(a[m]==a[n])flag4=1;}if(!flag4){printf("A=%d\n",a[4]);/*2*/printf("B=%d\n",a[3]);/*9*/printf("C=%d\n",a[2]);/*7*/printf("D=%d\n",a[1]);/*8*/printf("E=%d\n",a[0]);/*6*/printf("F=%d\n",a[6]);/*5*/printf("G=%d\n",a[5]);/*0*/printf("X=%d\n",a[9]);/*3*/printf("Y=%d\n",a[8]);/*1*/printf("Z=%d\n",a[7]);/*4*/break;}}}}}}getch();return0;}參考程序2voidNumAnalyse(){inta,b,c,d,e,f,g,x,y,z;for(a=0;a<10;a++)for(b=0;b<10;b++)if(b==a)continue;elsefor(c=0;c<10;c++)if(c==a||c==b)continue;elsefor(d=0;d<10;d++)if(d==a||d==b||d==c)continue;elsefor(e=0;e<10;e++)if(e==a||e==b||e==c||e==d)continue;elsefor(f=0;f<10;f++)if(f==a||f==b||f==c||f==d||f==e)continue;elsefor(g=0;g<10;g++)if(g==a||g==b||g==c||g==d||g==e||g==f)continue;elsefor(x=0;x<10;x++)if(x==a||x==b||x==c||x==d||x==e||x==f||x==g)continue;elsefor(y=0;y<10;y++)if(y==a||y==b||y==c||y==d||y==e||y==f||y==g||y==x)continue;else{z=45-a-b-c-d-e-f-g-x-y;if(a*10000+b*1000+c*100+d*10+e+d*100+f*10+g+d*100+f*10+g==x*10000+y*1000+z*100+d*10+e)printf("a=%d,b=%d,c=%d,d=%d,e=%d,f=%d,g=%d,x=%d,y=%d,z=%d\n",a,b,c,d,e,f,g,x,y,z);}}main(){NumAnalyse();getchar();}三、遞推法遞推法是利用問題本身所具有的一種遞推關(guān)系求問題解的一種方法。設(shè)要求問題規(guī)模為N的解，當(dāng)N=1時，解或為已知，或能非常方便地得到解。能采用遞推法構(gòu)造算法的問題有重要的遞推性質(zhì)，即當(dāng)?shù)玫絾栴}規(guī)模為i-1的解后，由問題的遞推性質(zhì)，能從已求得的規(guī)模為1，2,…，i-1的一系列解，構(gòu)造出問題規(guī)模為I的解。這樣，程序可從i=0或i=l出發(fā)，重復(fù)地，由已知至i-1規(guī)模的解，通過遞推，獲得規(guī)模為i的解，直至得到規(guī)模為N的解?！締栴}】階乘計算問題描述：編寫程序，對給定的n(nW100),計算并輸出k的階乘k!(k=1，2,…，n)的全部有效數(shù)字。由于要求的整數(shù)可能大大超出一般整數(shù)的位數(shù)，程序用一維數(shù)組存儲長整數(shù)，存儲長整數(shù)數(shù)組的每個元素只存儲長整數(shù)的一位數(shù)字。如有m位成整數(shù)N用數(shù)組a[]存儲：N=a[m]X10m-1+a[m-1]X10m-2+…+a[2]X101+a[1]X100并用a[0]存儲長整數(shù)N的位數(shù)m,即a[0]=m。按上述約定，數(shù)組的每個元素存儲k的階乘k!的一位數(shù)字，并從低位到高位依次存于數(shù)組的第二個元素、第三個元素……。例如，5！=120，在數(shù)組中的存儲形式為：3021……首元素3表示長整數(shù)是一個3位數(shù)，接著是低位到高位依次是0、2、1，表示成整數(shù)120。計算階乘k!可釆用對已求得的階乘(k-1)!連續(xù)累加k-1次后求得。例如，已知4!=24，計算5!，可對原來的24累加4次24后得到120。細節(jié)見以下程序。includeincludedefineMAXN1000voidpnext(inta[],intk){int*b,m=a[0],i,j,r,carry;b=(int*)malloc(sizeof(int)*(m+1));for(i=1;i<=m;i++)b[i]=a[i];for(j=1;j<=k;j++){for(carry=0,i=1;i<=m;i++){r=(ia[i]=r%10;carry=r/10;}if(carry)a[++m]=carry;}free(b);a[0]=m;}voidwrite(int*a,intk){inti;printf(“%4d!=”,k);for(i=a[0];i>0;i--)printf(“%d”,a[i]);printf(“\n\n”);}voidmain(){inta[MAXN],n,k;printf(“Enterthenumbern:“);scanf(“%d”,&n);a[0]=1;a[1]=1;write(a,1);for(k=2;k<=n;k++){pnext(a,k);write(a,k);getchar();}}四、遞歸遞歸是設(shè)計和描述算法的一種有力的工具，由于它在復(fù)雜算法的描述中被經(jīng)常采用，為此在進一步介紹其他算法設(shè)計方法之前先討論它。能采用遞歸描述的算法通常有這樣的特征：為求解規(guī)模為N的問題，設(shè)法將它分解成規(guī)模較小的問題，然后從這些小問題的解方便地構(gòu)造出大問題的解，并且這些規(guī)模較小的問題也能采用同樣的分解和綜合方法，分解成規(guī)模更小的問題，并從這些更小問題的解構(gòu)造出規(guī)模較大問題的解。特別地，當(dāng)規(guī)模N=1時，能直接得解。【問題】編寫計算斐波那契(Fibonacci)數(shù)列的第n項函數(shù)fib(n)。斐波那契數(shù)列為：0、1、1、2、3、……，即:fib(0)=0;fib(1)=1;fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)(當(dāng)n〉l時)。寫成遞歸函數(shù)有：intfib(intn){if(n==0)return0;if(n==1)return1;if(n〉1)returnfib(n-1)+fib(n-2);}源程序：voidmain(){intn;scanf("%d",&n);printf("%d",fib(n));}intfib(n){if(n==1||n==2)return1;elsereturnfib(n-1)+fib(n-2);}遞歸算法的執(zhí)行過程分遞推和回歸兩個階段。在遞推階段，把較復(fù)雜的問題(規(guī)模為n)的求解推到比原問題簡單一些的問題(規(guī)模小于n)的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是說，為計算fib(n)，必須先計算fib(n-1)和fib(n-2)，而計算fib(n-1)和fib(n-2)，又必須先計算fib(n-3)和fib(n-4)。依次類推，直至計算fib(1)和fib(0)，分別能立即得到結(jié)果1和0。在遞推階段，必須要有終止遞歸的情況。例如在函數(shù)fib中，當(dāng)n為1和0的情況。在回歸階段，當(dāng)獲得最簡單情況的解后，逐級返回，依次得到稍復(fù)雜問題的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的結(jié)果，，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的結(jié)果后，返回得到fib(n)的結(jié)果。在編寫遞歸函數(shù)時要注意，函數(shù)中的局部變量和參數(shù)知識局限于當(dāng)前調(diào)用層，當(dāng)遞推進入“簡單問題”層時，原來層次上的參數(shù)和局部變量便被隱蔽起來。在一系列“簡單問題”層，它們各有自己的參數(shù)和局部變量。由于遞歸引起一系列的函數(shù)調(diào)用，并且可能會有一系列的重復(fù)計算，遞歸算法的執(zhí)行效率相對較低。當(dāng)某個遞歸算法能較方便地轉(zhuǎn)換成遞推算法時，通常按遞推算法編寫程序。例如上例計算斐波那契數(shù)列的第n項的函數(shù)fib(n)應(yīng)采用遞推算法，即從斐波那契數(shù)列的前兩項出發(fā)，逐次由前兩項計算出下一項，直至計算出要求的第n項?！締栴}】組合問題問題描述：找出從自然數(shù)1、2、、n中任取r個數(shù)的所有組合。例如n=5,r=3的所有組合為：1）5、4、3（2）5、4、2（3）5、4、14）5、3、2（5）5、3、1（6）5、2、17）4、3、2（8）4、3、1（9）4、2、110）3、2、1分析所列的10個組合，可以采用這樣的遞歸思想來考慮求組合函數(shù)的算法。設(shè)函數(shù)為voidcomb(intm,intk)為找出從自然數(shù)1、2、、m中任取k個數(shù)的所有組合。當(dāng)組合的第一個數(shù)字選定時，其后的數(shù)字是從余下的m-1個數(shù)中取k-1數(shù)的組合。這就將求m個數(shù)中取k個數(shù)的組合問題轉(zhuǎn)化成求m-1個數(shù)中取k-1個數(shù)的組合問題。設(shè)函數(shù)引入工作數(shù)組a[]存放求出的組合的數(shù)字，約定函數(shù)將確定的k個數(shù)字組合的第一個數(shù)字放在a[k]中，當(dāng)一個組合求出后，才將a[]中的一個組合輸出。第一個數(shù)可以是m、m-1、……、k,函數(shù)將確定組合的第一個數(shù)字放入數(shù)組后，有兩種可能的選擇，因還未去頂組合的其余元素，繼續(xù)遞歸去確定；或因已確定了組合的全部元素，輸出這個組合。細節(jié)見以下程序中的函數(shù)comb。【程序】#include#defineMAXN100inta[MAXN];voidcomb（intm,intk）{inti,j;for（i=m;i>=k;i--）{a[k]=i;if（k>1）comb(i-1,k-1);else{for(j=a[0];j>0;j--)printf(“%4d”,a[j]);printf(“\n”);}}}voidmain(){a[0]=3;comb(5,3);}五、回溯法回溯法也稱為試探法，該方法首先暫時放棄關(guān)于問題規(guī)模大小的限制，并將問題的候選解按某種順序逐一枚舉和檢驗。當(dāng)發(fā)現(xiàn)當(dāng)前候選解不可能是解時，就選擇下一個候選解；倘若當(dāng)前候選解除了還不滿足問題規(guī)模要求外，滿足所有其他要求時，繼續(xù)擴大當(dāng)前候選解的規(guī)模，并繼續(xù)試探。如果當(dāng)前候選解滿足包括問題規(guī)模在內(nèi)的所有要求時，該候選解就是問題的一個解。在回溯法中，放棄當(dāng)前候選解，尋找下一個候選解的過程稱為回溯。擴大當(dāng)前候選解的規(guī)模，以繼續(xù)試探的過程稱為向前試探。1、回溯法的一般描述可用回溯法求解的問題P,通常要能表達為：對于已知的由n元組(xl,x2,…，xn)組成的一個狀態(tài)空間E={(x1,x2,…，xn)|xiWSi,i=1,2,…，n},給定關(guān)于n元組中的一個分量的一個約束集D,要求E中滿足D的全部約束條件的所有n元組。其中Si是分量xi的定義域，且|Si|有限，i=1,2,…，n。我們稱E中滿足D的全部約束條件的任一n元組為問題P的一個解。解問題P的最樸素的方法就是枚舉法，即對E中的所有n元組逐一地檢測其是否滿足D的全部約束，若滿足，則為問題P的一個解。但顯然，其計算量是相當(dāng)大的。對于許多問題，所給定的約束集D具有完備性，即i元組(xl,x2,…，xi)滿足D中僅涉及到xl,x2,…，xi的所有約束意味著j(jj。因此，對于約束集D具有完備性的問題P,—旦檢測斷定某個j元組(xl,x2,…，xj)違反D中僅涉及xl,x2,…，xj的一個約束，就可以肯定，以(xl,x2,…，xj)為前綴的任何n元組(xl,x2,…，xj,xj+l,…，xn)都不會是問題P的解，因而就不必去搜索它們、檢測它們?；厮莘ㄕ轻槍@類問題,利用這類問題的上述性質(zhì)而提出來的比枚舉法效率更高的算法?；厮莘ㄊ紫葘栴}P的n元組的狀態(tài)空間E表示成一棵高為n的帶權(quán)有序樹T,把在E中求問題P的所有解轉(zhuǎn)化為在T中搜索問題P的所有解。樹T類似于檢索樹，它可以這樣構(gòu)造：設(shè)Si中的元素可排成xi(l),xi(2)，…，xi(mi-l),|Si|=mi,i=l,2,…，n。從根開始，讓T的第I層的每一個結(jié)點都有mi個兒子。這mi個兒子到它們的雙親的邊，按從左到右的次序，分別帶權(quán)xi+l（l）,xi+l（2），…，xi+l（mi）,i=0,1,2,…，nT。照這種構(gòu)造方式，E中的一個n元組（xl,x2,…，xn）對應(yīng)于T中的一個葉子結(jié)點，T的根到這個葉子結(jié)點的路徑上依次的n條邊的權(quán)分別為x1，x2,…，xn，反之亦然。另外，對于任意的0WiWn-1,E中n元組（xl,x2,…，xn）的一個前綴I元組（xl,x2,…，xi）對應(yīng)于T中的一個非葉子結(jié)點，T的根到這個非葉子結(jié)點的路徑上依次的I條邊的權(quán)分別為xl,x2,…，xi,反之亦然。特別，E中的任意一個n元組的空前綴（），對應(yīng)于T的根。因而，在E中尋找問題P的一個解等價于在T中搜索一個葉子結(jié)點，要求從T的根到該葉子結(jié)點的路徑上依次的n條邊相應(yīng)帶的n個權(quán)xl,x2,…，xn滿足約束集D的全部約束。在T中搜索所要求的葉子結(jié)點，很自然的一種方式是從根出發(fā)，按深度優(yōu)先的策略逐步深入，即依次搜索滿足約束條件的前綴l元組（xli）、前綴2元組（xl,x2）、…，前綴I元組（xl,x2,…，xi）,…，直到i=n為止。在回溯法中，上述引入的樹被稱為問題P的狀態(tài)空間樹；樹T上任意一個結(jié)點被稱為問題P的狀態(tài)結(jié)點；樹T上的任意一個葉子結(jié)點被稱為問題P的一個解狀態(tài)結(jié)點；樹T上滿足約束集D的全部約束的任意一個葉子結(jié)點被稱為問題P的一個回答狀態(tài)結(jié)點，它對應(yīng)于問題P的一個解。2、回溯法的方法對于具有完備約束集D的一般問題P及其相應(yīng)的狀態(tài)空間樹T,利用T的層次結(jié)構(gòu)和D的完備性，在T中搜索問題P的所有解的回溯法可以形象地描述為：從T的根出發(fā)，按深度優(yōu)先的策略，系統(tǒng)地搜索以其為根的子樹中可能包含著回答結(jié)點的所有狀態(tài)結(jié)點，而跳過對肯定不含回答結(jié)點的所有子樹的搜索，以提高搜索效率。具體地說，當(dāng)搜索按深度優(yōu)先策略到達一個滿足D中所有有關(guān)約束的狀態(tài)結(jié)點時，即“激活”該狀態(tài)結(jié)點，以便繼續(xù)往深層搜索；否則跳過對以該狀態(tài)結(jié)點為根的子樹的搜索，而一邊逐層地向該狀態(tài)結(jié)點的祖先結(jié)點回溯，一邊“殺死”其兒子結(jié)點已被搜索遍的祖先結(jié)點，直到遇到其兒子結(jié)點未被搜索遍的祖先結(jié)點，即轉(zhuǎn)向其未被搜索的一個兒子結(jié)點繼續(xù)搜索。在搜索過程中，只要所激活的狀態(tài)結(jié)點又滿足終結(jié)條件，那么它就是回答結(jié)點，應(yīng)該把它輸出或保存。由于在回溯法求解問題時，一般要求出問題的所有解，因此在得到回答結(jié)點后，同時也要進行回溯，以便得到問題的其他解，直至回溯到T的根且根的所有兒子結(jié)點均已被搜索過為止。例如在組合問題中，從T的根出發(fā)深度優(yōu)先遍歷該樹。當(dāng)遍歷到結(jié)點（l,2）時，雖然它滿足約束條件，但還不是回答結(jié)點，則應(yīng)繼續(xù)深度遍歷；當(dāng)遍歷到葉子結(jié)點（l,2,5）時，由于它已是一個回答結(jié)點，則保存（或輸出）該結(jié)點，并回溯到其雙親結(jié)點，繼續(xù)深度遍歷；當(dāng)遍歷到結(jié)點（l,5）時，由于它已是葉子結(jié)點，但不滿足約束條件，故也需回溯。3、回溯法的一般流程和技術(shù)在用回溯法求解有關(guān)問題的過程中，一般是一邊建樹，一邊遍歷該樹。在回溯法中我們一般采用非遞歸方法。下面，我們給出回溯法的非遞歸算法的一般流程：在用回溯法求解問題，也即在遍歷狀態(tài)空間樹的過程中，如果采用非遞歸方法，則我們一般要用到棧的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。這時，不僅可以用棧來表示正在遍歷的樹的結(jié)點，而且可以很方便地表示建立孩子結(jié)點和回溯過程。例如在組合問題中，我們用一個一維數(shù)組Stack[]表示棧。開始?？?，則表示了樹的根結(jié)點。如果元素l進棧，則表示建立并遍歷（l）結(jié)點；這時如果元素2進棧，則表示建立并遍歷（l,2）結(jié)點；元素3再進棧，則表示建立并遍歷（l,2,3）結(jié)點。這時可以判斷它滿足所有約束條件，是問題的一個解，輸出（或保存）。這時只要棧頂元素（3）出棧，即表示從結(jié)點（l,2,3）回溯到結(jié)點（l,2）?！締栴}】組合問題問題描述：找出從自然數(shù)1,2,…，n中任取r個數(shù)的所有組合。采用回溯法找問題的解，將找到的組合以從小到大順序存于a[0],a[1],…，a[r-1]中,組合的元素滿足以下性質(zhì)：a[i+1]〉a[i]，后一個數(shù)字比前一個大；a[i]-i<=n-r+1。按回溯法的思想，找解過程可以敘述如下：首先放棄組合數(shù)個數(shù)為r的條件，候選組合從只有一個數(shù)字1開始。因該候選解滿足除問題規(guī)模之外的全部條件，擴大其規(guī)模，并使其滿足上述條件(1)，候選組合改為1，2。繼續(xù)這一過程，得到候選組合1，2，3。該候選解滿足包括問題規(guī)模在內(nèi)的全部條件，因而是一個解。在該解的基礎(chǔ)上，選下一個候選解，因a[2]上的3調(diào)整為4,以及以后調(diào)整為5都滿足問題的全部要求，得到解1,2,4和1,2,5。由于對5不能再作調(diào)整，就要從a[2]回溯到a[1],這時，a[1]=2，可以調(diào)整為3,并向前試探，得到解1,3,4。重復(fù)上述向前試探和向后回溯，直至要從a[0]再回溯時，說明已經(jīng)找完問題的全部解。按上述思想寫成程序如下：【程序】#defineMAXN100inta[MAXN];voidcomb(intm,intr){inti,j;i=0;a[i]=1;do{if(a[i]-i<=m-r+1{if(i==r-1){for(j=0;jprintf(“%4d”,a[j]);printf(“\n”);}a[i]++;continue;}else{if(i==0)return;a[--i]++;}}while(1)}main(){comb(5,3);}【問題】填字游戲問題描述：在3X3個方格的方陣中要填入數(shù)字1到N(N210)內(nèi)的某9個數(shù)字，每個方格填一個整數(shù)，似的所有相鄰兩個方格內(nèi)的兩個整數(shù)之和為質(zhì)數(shù)。試求出所有滿足這個要求的各種數(shù)字填法?？捎迷囂桨l(fā)找到問題的解，即從第一個方格開始，為當(dāng)前方格尋找一個合理的整數(shù)填入，并在當(dāng)前位置正確填入后，為下一方格尋找可填入的合理整數(shù)。如不能為當(dāng)前方格找到一個合理的可填證書，就要回退到前一方格，調(diào)整前一方格的填入數(shù)。當(dāng)?shù)诰艂€方格也填入合理的整數(shù)后，就找到了一個解，將該解輸出，并調(diào)整第九個的填入的整數(shù)，尋找下一個解。找到一個滿足要求的9個數(shù)的填法，從還未填一個數(shù)開始，按某種順序(如從小到大的順序)每次在當(dāng)前位置填入一個整數(shù)，然后檢查當(dāng)前填入的整數(shù)是否能滿足要求。在滿足要求的情況下，繼續(xù)用同樣的方法為下一方格填入整數(shù)。如果最近填入的整數(shù)不能滿足要求，就改變填入的整數(shù)。如對當(dāng)前方格試盡所有可能的整數(shù)，都不能滿足要求，就得回退到前一方格，并調(diào)整前一方格填入的整數(shù)。如此重復(fù)執(zhí)行擴展、檢查或調(diào)整、檢查，直到找到一個滿足問題要求的解，將解輸出。回溯法找一個解的算法：{intm=0,ok=1;intn=8;do{if(ok)擴展；else調(diào)整；ok=檢查前m個整數(shù)填放的合理性；}while((!ok||m!=n)&&(m!=0))if(m!=0)輸出解；else輸出無解報告；}如果程序要找全部解，則在將找到的解輸出后，應(yīng)繼續(xù)調(diào)整最后位置上填放的整數(shù)，試圖去找下一個解。相應(yīng)的算法如下：回溯法找全部解的算法：{intm=0,ok=1;intn=8;do{if(ok){if(m==n){輸出解；調(diào)整；}else擴展；}else調(diào)整；ok=檢查前m個整數(shù)填放的合理性；}while(m!=0);}為了確保程序能夠終止，調(diào)整時必須保證曾被放棄過的填數(shù)序列不會再次實驗，即要求按某種有許模型生成填數(shù)序列。給解的候選者設(shè)定一個被檢驗的順序，按這個順序逐一形成候選者并檢驗。從小到大或從大到小，都是可以采用的方法。如擴展時，先在新位置填入整數(shù)1，調(diào)整時，找當(dāng)前候選解中下一個還未被使用過的整數(shù)。將上述擴展、調(diào)整、檢驗都編寫成程序，細節(jié)見以下找全部解的程序。【程序】#include#defineN12voidwrite(inta[]){inti,j;for(i=0;i<3;i++){for(j=0;j<3;j++)printf(“%3d”,a[3*i+j]);printf(“\n”);}scanf(“%*c”);}intb[N+1];inta[10];intisprime(intm){inti;intprimes[]={2,3,5,7,11,17,19,23,29,-1};if(m==1||m%2=0)return0;for(i=0;primes[i]>0;i++)if(m==primes[i])return1;for(i=3;i*i<=m;){if(m%i==0)return0;i+=2;}return1;}intcheckmatrix[][3]={{-1},{0,-1},{1,-1},{0,-1},{1,3,-1},{2,4,-1},{3,-1},{4,6,-1},{5,7,-1}};intselectnum(intstart){intj;for(j=start;j<=N;j++)if(b[j])returnjreturn0;}intcheck(intpos){inti,j;if(pos<0)return0;for(i=0;(j=checkmatrix[pos][i])>=0;i++)if(!isprime(a[pos]+a[j])return0;return1;}intextend(intpos){a[++pos]=selectnum(1);b[a][pos]]=0;returnpos;}intchange(intpos){intj;while(pos>=0&&(j=selectnum(a[pos]+1))==0)b[a[pos--]]=1;if(pos〈0)return-1b[a[pos]]=1;a[pos]=j;b[j]=0;returnpos;}voidfind(){intok=0,pos=0;a[pos]=1;b[a[pos]]=0;do{if(ok)if(pos==8){write(a);pos=change(pos);}elsepos=extend(pos);elsepos=change(pos);ok=check(pos);}while(pos>=0)}voidmain(){inti;for(i=1;i〈=N;i++)b[i]=1;find();}六、貪婪法貪婪法是一種不追求最優(yōu)解，只希望得到較為滿意解的方法。貪婪法一般可以快速得到滿意的解，因為它省去了為找最優(yōu)解要窮盡所有可能而必須耗費的大量時間。貪婪法常以當(dāng)前情況為基礎(chǔ)作最優(yōu)選擇，而不考慮各種可能的整體情況，所以貪婪法不要回溯。例如平時購物找錢時，為使找回的零錢的硬幣數(shù)最少，不考慮找零錢的所有各種發(fā)表方案，而是從最大面值的幣種開始，按遞減的順序考慮各幣種，先盡量用大面值的幣種，當(dāng)不足大面值幣種的金額時才去考慮下一種較小面值的幣種。這就是在使用貪婪法。這種方法在這里總是最優(yōu)，是因為銀行對其發(fā)行的硬幣種類和硬幣面值的巧妙安排。如只有面值分別為1、5和11單位的硬幣，而希望找回總額為15單位的硬幣。按貪婪算法，應(yīng)找1個11單位面值的硬幣和4個1單位面值的硬幣，共找回5個硬幣。但最優(yōu)的解應(yīng)是3個5單位面值的硬幣。【問題】裝箱問題問題描述：裝箱問題可簡述如下：設(shè)有編號為0、1、…、n-1的n種物品，體積分別為v0、v1、…、vn-1。將這n種物品裝到容量都為V的若干箱子里。約定這n種物品的體積均不超過V,即對于0WiVn,有0VviWV。不同的裝箱方案所需要的箱子數(shù)目可能不同。裝箱問題要求使裝盡這n種物品的箱子數(shù)要少。若考察將n種物品的集合分劃成n個或小于n個物品的所有子集，最優(yōu)解就可以找到。但所有可能劃分的總數(shù)太大。對適當(dāng)大的n,找出所有可能的劃分要花費的時間是無法承受的。為此，對裝箱問題采用非常簡單的近似算法，即貪婪法。該算法依次將物品放到它第一個能放進去的箱子中，該算法雖不能保證找到最優(yōu)解，但還是能找到非常好的解。不失一般性，設(shè)n件物品的體積是按從大到小排好序的，即有v0三v1三…三vn-1。如不滿足上述要求，只要先對這n件物品按它們的體積從大到小排序，然后按排序結(jié)果對物品重新編號即可。七、分治法1、分治法的基本思想任何一個可以用計算機求解的問題所需的計算時間都與其規(guī)模N有關(guān)。問題的規(guī)模越小，越容易直接求解，解題所需的計算時間也越少。例如，對于n個元素的排序問題，當(dāng)n=1時，不需任何計算；n=2時，只要作一次比較即可排好序;=3時只要作3次比較即可，…。而當(dāng)n較大時，問題就不那么容易處理了。要想直接解決一個規(guī)模較大的問題，有時是相當(dāng)困難的。分治法的設(shè)計思想是，將一個難以直接解決的大問題，分割成一些規(guī)模較小的相同問題，以便各個擊破，分而治之。2、分治法的適用條件分治法所能解決的問題一般具有以下幾個特征：（1）該問題的規(guī)?？s小到一定的程度就可以容易地解決；（2）該問題可以分解為若干個規(guī)模較小的相同問題，即該問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)；（3）利用該問題分解出的子問題的解可以合并為該問題的解；（4）該問題所分解出的各個子問題是相互獨立的，即子問題之間不包含公共的子子問題。上述的第一條特征是絕大多數(shù)問題都可以滿足的，因為問題的計算復(fù)雜性一般是隨著問題規(guī)模的增加而增加；第二條特征是應(yīng)用分治法的前提，它也是大多數(shù)問題可以滿足的，此特征反映了遞歸思想的應(yīng)用；第三條特征是關(guān)鍵，能否利用分治法完全取決于問題是否具有第三條特征，如果具備了第一條和第二條特征，而不具備第三條特征，則可以考慮貪心法或動態(tài)規(guī)劃法。第四條特征涉及到分治法的效率，如果各子問題是不獨立的，則分治法要做許多不必要的工作，重復(fù)地解公共的子問題，此時雖然可用分治法，但一般用動態(tài)規(guī)劃法較好。3、分治法的基本步驟分治法在每一層遞歸上都有三個步驟：分解：將原問題分解為若干個規(guī)模較小，相互獨立，與原問題形式相同的子問題；解決：若子問題規(guī)模較小而容易被解決則直接解，否則遞歸地解各個子問題；合并：將各個子問題的解合并為原問題的解。它的一般的算法設(shè)計模式如下：Divide_and_Conquer(P)if|P|WnOthenreturn(ADHOC(P))將P分解為較小的子問題Pl、P2、…、Pkfori~1tokdoyi?Divide-and-Conquer(Pi)△遞歸解決PiT—MERGE(y1,y2,…，yk)△合并子問題Return(T)其中|P|表示問題P的規(guī)模；nO為一閾值，表示當(dāng)問題P的規(guī)模不超過nO時，問題已容易直接解出，不必再繼續(xù)分解oADHOC(P)是該分治法中的基本子算法，用于直接解小規(guī)模的問題Po因此，當(dāng)P的規(guī)模不超過nO時，直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,…，yk)是該分治法中的合并子算法，用于將P的子問題Pl、P2、…、Pk的相應(yīng)的解yl、y2、…、yk合并為P的解。根據(jù)分治法的分割原則，原問題應(yīng)該分為多少個子問題才較適宜？各個子問題的規(guī)模應(yīng)該怎樣才為適當(dāng)？這些問題很難予以肯定的回答。但人們從大量實踐中發(fā)現(xiàn)，在用分治法設(shè)計算法時，最好使子問題的規(guī)模大致相同。換句話說，將一個問題分成大小相等的k個子問題的處理方法是行之有效的。許多問題可以取k=2o這種使子問題規(guī)模大致相等的做法是出自一種平衡子問題的思想，它幾乎總是比子問題規(guī)模不等的做法要好。分治法的合并步驟是算法的關(guān)鍵所在。有些問題的合并方法比較明顯，有些問題合并方法比較復(fù)雜，或者是有多種合并方案；或者是合并方案不明顯。究竟應(yīng)該怎樣合并，沒有統(tǒng)一的模式，需要具體問題具體分析。【問題】大整數(shù)乘法問題描述：通常，在分析一個算法的計算復(fù)雜性時，都將加法和乘法運算當(dāng)作是基本運算來處理，即將執(zhí)行一次加法或乘法運算所需的計算時間當(dāng)作一個僅取決于計算機硬件處理速度的常數(shù)。這個假定僅在計算機硬件能對參加運算的整數(shù)直接表示和處理時才是合理的。然而，在某些情況下，我們要處理很大的整數(shù)，它無法在計算機硬件能直接表示的范圍內(nèi)進行處理。若用浮點數(shù)來表示它，則只能近似地表示它的大小，計算結(jié)果中的有效數(shù)字也受到限制。若要精確地表示大整數(shù)并在計算結(jié)果中要求精確地得到所有位數(shù)上的數(shù)字，就必須用軟件的方法來實現(xiàn)大整數(shù)的算術(shù)運算。請設(shè)計一個有效的算法，可以進行兩個n位大整數(shù)的乘法運算。設(shè)X和Y都是n位的二進制整數(shù)，現(xiàn)在要計算它們的乘積X