離散時間信號處理與MATLAB仿真PPT完整全套教學(xué)課件

離散時間信號處理與MATLAB仿真離散時間信號與系統(tǒng)第一章【ch01】離散時間信號與系統(tǒng).pptx【ch02】離散時間信號的頻域分析.pptx【ch03】離散傅里葉變換.pptx【ch04】數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu).pptx【ch05】IIR濾波器設(shè)計方法.pptx【ch06】FIR濾波器設(shè)計方法.pptx【ch07】MATLAB基礎(chǔ).pptx【ch08】序列及離散系統(tǒng)的MATLAB仿真.pptx【ch09】傅里葉變換的MATLAB仿真.pptx【ch10】IIR濾波器設(shè)計的MATLAB仿真.pptx【ch011】FIR濾波器設(shè)計的MATLAB仿真.pptx全套可編輯PPT課件01離散時間信號1.1離散時間信號01離散時間信號離散時間信號通常用符號x（n）表示，其中自變量n取整數(shù)，變化范圍從一∞到+∞。離散時間信號x（n）只在n為整數(shù)時有定義，而在n為非整數(shù)值時沒有定義。離散時間信號可寫成括號內(nèi)的一組樣本，并在時間序號n=0處的樣本下面用箭頭??表示，右邊的樣本值對應(yīng)n為正值的部分，而左邊的部分對應(yīng)n為負(fù)值的部分。例如，一個有限長的離散時間信號可以表示為x（n）={1.23，0.95，-0.2，2.17，1.1，0.2，-3.67，2.9，1.56}它表示離散時間信號x（n）在n=-1時刻等于-0.2，即x（-1）=-0.2；離散時間信號x（n）在n=0時刻等于2.17，即x（0）=2.17；離散時間信號x（n）在n=1時刻等于1.1，即x（1）=1.1。由于離散時間信號是一串有序的數(shù)字的集合，通常也將離散時間信號簡稱為序列。對于有規(guī)律的離散時間信號，可以直接使用數(shù)學(xué)公式進(jìn)行表示。例如，1.1離散時間信號01離散時間信號離散時間信號x（n）的波形如圖1-1（a）所示，在圖1-1（b）中畫出了當(dāng)-10≤n≤10時，離散時間信號y（n）的波形。1.1離散時間信號01離散時間信號通常需要對連續(xù)時間信號進(jìn)行采樣以獲得離散時間信號，我們把相鄰兩個采樣時刻之間的時間間隔稱為采樣周期，用T表示，采樣周期的倒數(shù)稱為采樣頻率，用f表示。連續(xù)時間信號與離散時間信號之間的關(guān)系可以表示為如對連續(xù)正弦信號采樣，得到離散正弦信號，簡稱為正弦序列，連續(xù)正弦信號與正弦序列之間的關(guān)系為連續(xù)正弦信號的角頻率稱為模擬角頻率，記為Ω；正弦序列的角頻率稱為數(shù)字角頻率，記為ω，于是，得到模擬角頻率與數(shù)字角頻率之間的關(guān)系為1.1.1典型序列011.單位脈沖序列單位脈沖序列記為δ（n），其定義如下平移后的單位脈沖序列表示為1.1.1典型序列011.單位脈沖序列單位脈沖序列δ（n）和平移后的單位脈沖序列δ（n-3）的波形分別如圖1-2（a）、（b）所示。1.1.1典型序列012.單位階躍序列單位階躍序列記為u（n），其定義如下平移后的單位階躍序列表示為單位脈沖序列與單位階躍序列之間的關(guān)系為1.1.1典型序列012.單位階躍序列單位階躍序列u（n）和平移后的單位階躍序列u（n+1）的波形分別如圖1-3（a）、（b）所示。1.1.1典型序列013.矩形序列1.1.1典型序列014.余弦序列若余弦序列的振幅、角頻率和相位分別用A、ω和φ表示，則余弦序列可表示為也可將余弦序列分解為同相分量和正交分量，即1.1.1典型序列014.余弦序列1.1.1典型序列014.余弦序列1.1.1典型序列015.指數(shù)序列1.1.1典型序列015.指數(shù)序列1.1.1典型序列015.指數(shù)序列1.1.1典型序列016.周期序列1.1.2序列的運算及應(yīng)用011.序列的加法一級標(biāo)題只有第一次出現(xiàn)的時候有動畫，動畫可以在“板式”里調(diào)。因為噪聲的隨機性，當(dāng)K足夠大時噪聲序列的平均值將非常小，于是

是對真實數(shù)據(jù)序列的一個合理近似。假設(shè)原始未受干擾的數(shù)據(jù)序列

，噪聲序列w（n）是均值為0，方差為1的高斯白噪聲。1.1.2序列的運算及應(yīng)用011.序列的加法圖1-8（a）、（b）分別顯示了原始未受干擾序列的波形以及單次測量中噪聲序列的波形。1.1.2序列的運算及應(yīng)用011.序列的加法圖1-9（a）、（b）分別顯示了單次測量中受干擾序列的波形以及經(jīng)過50次測量后平均序列的波形。從圖1-9可明顯看出，經(jīng)過50次測量后平均序列的波形相比于單次測量的受干擾序列的波形更接近于原來的真實值。1.1離散時間信號012.序列的乘法1.1離散時間信號012.序列的乘法1.1離散時間信號013.序列的移位、翻轉(zhuǎn)及尺度變換02線性移不變系統(tǒng)1.2線性移不變系統(tǒng)02線性移不變系統(tǒng)設(shè)離散時間系統(tǒng)的輸入為x（n），離散時間系統(tǒng)的輸出為y（n）。輸出與輸入之間的運算關(guān)系用T［.］表示離散時間系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系如圖1-11所示。1.2.1離散時間系統(tǒng)舉例02離散時間系統(tǒng)舉例式中，離散時間系統(tǒng)通常稱為M點滑動平均濾波器，它包括M-1次加法、1次除法和可以存儲M個輸入數(shù)據(jù)的存儲器。M點滑動平均濾波器還可以寫為在1.1節(jié)中已知，若可以得到數(shù)據(jù)的多次測量結(jié)果，則可通過序列加法運算獲得未受干擾數(shù)據(jù)的近似估計。但是，在某些應(yīng)用中不能對數(shù)據(jù)進(jìn)行重復(fù)測量，這時，一種估計數(shù)據(jù)在n時刻的值s（n）的常用方法是，利用n時刻附近的M個連續(xù)測量數(shù)據(jù)進(jìn)行平均，即式中，M點滑動平均濾波器是更加有效的實現(xiàn)方式，它僅包含2次加法和1次除法，計算量顯著減少。1.2.2離散時間系統(tǒng)分類021.線性系統(tǒng)那么線性系統(tǒng)應(yīng)滿足以下兩個條件上述兩個條件分別表示系統(tǒng)的可加性和齊次性。線性系統(tǒng)的兩個條件也可以綜合在一個表達(dá)式中，即1.2.2離散時間系統(tǒng)分類022.移不變系統(tǒng)如果系統(tǒng)對于輸入信號的響應(yīng)與信號加于系統(tǒng)的時間無關(guān)，則這類系統(tǒng)可稱為移不變系統(tǒng)。具體來說，移不變系統(tǒng)應(yīng)該滿足以下條件式中，n，為任意整數(shù)。3.因果系統(tǒng)如果系統(tǒng)在n時刻的輸出只取決于n時刻及n時刻之前的輸入，則這類系統(tǒng)可稱為因果系統(tǒng)。線性移不變系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)滿足以下條件：系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是指輸入為δ（n）時零狀態(tài)響應(yīng)。1.2.2離散時間系統(tǒng)分類024.穩(wěn)定系統(tǒng)如果系統(tǒng)對任意的有界輸入，得到的輸出也是有界的，則這類系統(tǒng)可稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。線性移不變系統(tǒng)具有穩(wěn)定性的充分必要條件是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)滿足以下條件03離散時間系統(tǒng)的輸入/輸出關(guān)系1.3.1常系數(shù)線性差分方程03常系數(shù)線性差分方程針對某個系統(tǒng)，僅研究系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系，而不關(guān)心系統(tǒng)內(nèi)部的具體結(jié)構(gòu)，這種方法稱為系統(tǒng)的輸入輸出描述法。對于線性移不變離散時間系統(tǒng)，可用一個常系數(shù)線性差分方程進(jìn)行描述，即式中，a（k）、b（r）是方程的系數(shù)，其中k=1，…，N，r=0，…，M。給定系統(tǒng)的輸入信號x（n），以及系統(tǒng)的初始條件，可根據(jù)常系數(shù)線性差分方程求解系統(tǒng)的輸出y（n）。1.3.2線性卷積03線性卷積除了用常系數(shù)線性差分方程描述線性移不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，還可以通過計算輸入序列與單位脈沖序列之間的線性卷積，得到線性移不變系統(tǒng)的輸出序列。設(shè)線性移不變系統(tǒng)的輸入為x（n），則輸入序列可以表示為一系列單位脈沖序列的移位加權(quán)和，即再根據(jù)線性移不變系統(tǒng)的移不變性質(zhì)，得到根據(jù)線性移不變系統(tǒng)的線性性質(zhì)，得到那么系統(tǒng)的輸出為式中，輸入序列與單位脈沖序列之間的運算稱為線性卷積，并用符號“*”表示。04連續(xù)時間信號的采樣1.4.1時域采樣定理04時域采樣定理1.4.1時域采樣定理04時域采樣定理式中，δ（t）表示單位沖激函數(shù)，Ts表示采樣周期。由于采樣脈沖序列p（t）為周期Ts的周期信號，可展開為指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)，即其中，F(xiàn)n表示傅里葉級數(shù)的系數(shù)，它的大小等于因此，采樣脈沖序列p（t）的指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)為1.4.1時域采樣定理04時域采樣定理因此，采樣脈沖序列p（t）的傅里葉變換為由于復(fù)指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換為1.4.1時域采樣定理04時域采樣定理當(dāng)采樣頻率大于兩倍的信號最高頻率，即Ωs=2π/Ts>2Ωn時，理想采樣信號的頻譜與原模擬信號的頻譜如圖1-14所示，此時沒有發(fā)生頻譜混疊。1.4.1時域采樣定理04時域采樣定理當(dāng)采樣頻率正好等于兩倍的信號最高頻率，即Ωs=2π/Ts=2Ωn時，理想采樣信號的頻譜與原模擬信號的頻譜如圖1-15所示，此時剛好沒有發(fā)生頻譜混疊。1.4.1時域采樣定理04時域采樣定理當(dāng)采樣頻率小于兩倍的信號最高頻率，即Ωs=2π/Ts<2Ω時，理想采樣信號的頻譜與原模擬信號的頻譜如圖1-16所示，此時發(fā)生了頻譜混疊。1.4.2時域信號的恢復(fù)04時域信號的恢復(fù)已知當(dāng)采樣頻率大于等于兩倍的信號最高頻率時，理想采樣信號的頻譜由原模擬信號的頻譜進(jìn)行周期延拓得到，且在周期延拓過程中不會發(fā)生頻譜混疊。為了從理想采樣信號中恢復(fù)原模擬信號，首先從理想采樣信號的頻譜恢復(fù)原模擬信號的頻譜。假設(shè)有一理想低通濾波器，其頻率響應(yīng)為1.4.2時域信號的恢復(fù)04時域信號的恢復(fù)將理想采樣信號通過上述理想低通濾波器，即Y（jΩ）=H（jΩ）Fd（jΩ），其中，Y（jΩ）表示理想低通濾波器的輸出頻譜，上述過程如圖1-17所示。1.4.2時域信號的恢復(fù)04時域信號的恢復(fù)因此，理想低通濾波器的輸出頻譜Y（jΩ）等于原模擬信號的頻譜F（jΩ）。此外，根據(jù)傅里葉變換的時域卷積定理，理想低通濾波器的輸出y（t）等于其中于是1.4.2時域信號的恢復(fù)04時域信號的恢復(fù)在時域上信號恢復(fù)的過程是將所有的采樣點數(shù)據(jù)f（nT）與濾波器單位脈沖響應(yīng)的延遲h（t-nTs）相乘后累加而成。進(jìn)一步地，對理想低通濾波器的頻率響應(yīng)求傅里葉逆變換得到于是，理想低通濾波器的輸出y（t）可表示為1.4.2時域信號的恢復(fù)04時域信號的恢復(fù)在時域上信號恢復(fù)的過程是將所有的采樣點數(shù)據(jù)f（nT）與濾波器單位脈沖響應(yīng)的延遲h（t-nTs）相乘后累加而成。進(jìn)一步地，對理想低通濾波器的頻率響應(yīng)求傅里葉逆變換得到于是，理想低通濾波器的輸出y（t）可表示為1.4.2時域信號的恢復(fù)04時域信號的恢復(fù)對頻率為20Hz的正弦信號進(jìn)行采樣，采樣頻率為160Hz，則采樣前后的波形分別如圖1-18（a）、（b）所示。1.4.2時域信號的恢復(fù)04時域信號的恢復(fù)同時，用于信號恢復(fù)的理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)如圖1-19（a）所示。根據(jù)公式可畫出所有的采樣點數(shù)據(jù)f（nTs）與濾波器單位脈沖響應(yīng)的延遲h（t-nTs）相乘累加的過程，如圖1-19（b）所示。1.4.2時域信號的恢復(fù)04時域信號的恢復(fù)最終，相乘累加結(jié)果如圖1-20所示，即理想低通濾波器的輸出信號。將圖1-20與采樣前的連續(xù)信號進(jìn)行比較可以發(fā)現(xiàn)，利用采樣后的序列可以重建原來的連續(xù)信號。感謝觀看，再見！離散時間信號處理與MATLAB仿真離散時間信號處理與MATLAB仿真離散時間信號的頻域分析第二章01z變換的定義與收斂域2.1z變換的定義與收斂域01對連續(xù)信號x（t）采樣得到離散時間序列xs（nTs），即

對采樣信號xs（nTs）進(jìn)行拉普拉斯變換，得到2.1z變換的定義與收斂域01將xs（nTs）簡記為x（n），并引入符號z=esT，則得到序列的z變換定義如下

注意到，z變換存在的條件是上式中等號右邊的級數(shù)收斂，即滿足上式收斂條件的z取值范圍稱為z變換的收斂域。特別地，對于有限長序列，如x（n）， n≤n≤n，x（n）即序列x（n）從n到n的序列值不全為零，此范圍之外的序列值全為零。設(shè)x（n）為有界序列，由于其z變換為有限項求和，因此有限長序列x（n）的z變換的收斂域至少包括0<|z|<∞。02逆z變換2.2逆z變換02序列x（n）的z變換經(jīng)?？杀硎緸閦的有理分式的形式，即。當(dāng)X（z）的極點為z1，z2，…，zN，各極點互不相同，且不等于0時，X（z）/z可表示為如下的分式之和的形式，即其中，各系數(shù)等于待確定各系數(shù)的值后，將上式兩端同時乘以z，得到2.2逆z變換02根據(jù)已知的變換對，如就可以求出X（z）的逆z變換，得到序列x（n）的表達(dá)式。表2-1總結(jié)了常用的z變換對。2.2逆z變換02如果X（z）有一對共軛單極點z1=c+jd，z2=c-jd，則可將X（z）/z展開為式中，xb（z）/z是X（z）/z除共軛極點所形成分式外的其余部分。可以求得，由于因此2.2逆z變換02如果B（z）、A（z）為實系數(shù)多項式，且利用條件z1=c+jd，z2=c-jd，則有從而可以得到結(jié)論不妨令K1=|K1|ej0，則K2=|K1|e-j0，因此與共軛極點有關(guān)的分式部分可以表示為又由于極點z*1|=z2同樣可假設(shè)z1=aejβ，z，=ae-jβ，因此上式可以進(jìn)一步寫為于是有2.2逆z變換02下面分兩種情況考慮。首先，假設(shè)Xa（z）的收斂域為|z|>α，則Xa（z）的逆z變換xa（n）為其次，假設(shè)Xa（z）的收斂域為|z|<α，則Xa（z）的逆z變換xa（n）為03z變換的基本性質(zhì)和定理2.3z變換的基本性質(zhì)和定理031.線性性質(zhì)若序列x1（n）和x2（n）的z變換分別為對于任意常數(shù)a1、a2，有且其收斂域至少是X1（z）和x2（z）的收斂域的交集部分。若序列x（n）的z變換為對于整數(shù)m>0，序列x（n）的移位序列x（n±m(xù)）的z變換為證明根據(jù)z變換的定義，令n1=n±m(xù)，上式可以寫為2.3z變換的基本性質(zhì)和定理032.移位性質(zhì)2.3z變換的基本性質(zhì)和定理033.尺度變換性質(zhì)若序列x（n）的z變換為對于常數(shù)a≠0，有證明根據(jù)z變換的定義，令z'=z/a，則上式可以寫為2.3z變換的基本性質(zhì)和定理034.卷積定理若序列x1（n）和x2（n）的z變換分別為則序列x1（n）和x2（n）的卷積的z變換為且其收斂域至少是X，（z）和x，（z）的收斂域的交集部分。證明根據(jù)z變換的定義，以及序列卷積的定義，有交換求和順序，得到再利用z變換的序列移位性質(zhì)，得到2.3z變換的基本性質(zhì)和定理035.z域微分性質(zhì)若序列x（n）的z變換為則其中，表示的運算為2.3z變換的基本性質(zhì)和定理035.z域微分性質(zhì)下面以為例，介紹證明過程。證明根據(jù)z變換的定義，上式兩端對z求導(dǎo)，得到整理后得到2.3z變換的基本性質(zhì)和定理036.z域積分性質(zhì)若序列x（n）的z變換為對于整數(shù)m，且n+m>0，則有若m=0且k>0，則下面以為例，說明證明過程。證明根據(jù)z變換的定義2.3z變換的基本性質(zhì)和定理036.z域積分性質(zhì)上式兩端同時除以z，得到然后，對上式兩端求積分，得到2.3z變換的基本性質(zhì)和定理037.序列翻轉(zhuǎn)性質(zhì)若序列x（n）的z變換為則序列x（n）翻轉(zhuǎn)后z變換為證明根據(jù)z變換的定義進(jìn)一步地2.3z變換的基本性質(zhì)和定理03若序列x（n）的z變換為則序列x（n）的部分和的z變換為證明根據(jù)序列卷積的定義知道，8.序列部分和性質(zhì)2.3z變換的基本性質(zhì)和定理03若序列x（n）的z變換為且在n<0時，x（n）=0，即序列x（n）為因果序列，則序列x（n）的初值為證明根據(jù)z變換的定義將上式中的求和項展開，得到因此，當(dāng)z趨于無窮大時，有9.初值定理2.3z變換的基本性質(zhì)和定理03若序列x（n）的z變換為且在n<0時，x（n）=0，即序列x（n）為因果序列，并且0≤a<1，則序列x（n）的終值為證明根據(jù)z變換的定義，又根據(jù)z變換的移位性質(zhì)，有將上面兩式相減得到，10.終值定理2.3z變換的基本性質(zhì)和定理03當(dāng)z趨近于1時，對上式兩端求極限，得到其中，等式右端可以表示為以下的極限形式因此從以上證明過程可以看到，終值定理的使用條件是：序列x（n）為因果序列，且其z變換的極點，除可以有一個一階極點在z=1上，其他極點均在單位圓之內(nèi)。04離散時間傅里葉變換2.4離散時間傅里葉變換04己知序列x（n）的z變換為假設(shè)x（n）的z變換的收斂域包含單位圓，即a<1<β。令z=ej∞，則序列x（n）的z變換為式（2-17）稱為序列x（n）的離散時間傅里葉變換（Discrete-timeFourierTransform），簡稱DTFT變換。與z變換類似，DTFT變換的存在條件是，等號右邊級數(shù)絕對可和，即因此有2.4離散時間傅里葉變換04作為推廣，考慮x（n）的z變換的收斂域包含半徑為2的圓，即a<2<β。因此，可以令z=2ei?，此時序列x（n）的z變換為2.4離散時間傅里葉變換04交換積分與求和的順序，得到2.4離散時間傅里葉變換04其中，等號右邊的積分計算結(jié)果等于上式中，當(dāng)n=m時，結(jié)果等于2π，當(dāng)n≠m時，由于n-m必定為整數(shù)，因此結(jié)果為0，故上式的計算結(jié)果可表示為于是，即序列x（n）等于上式稱為序列x（n）的DTFT逆變換。05離散時間傅里葉變換的性質(zhì)2.5離散時間傅里葉變換的性質(zhì)051.線性性質(zhì)若序列x1（n）和x2（n）的DTFT變換分別為對于任意常數(shù)a、a，有2.5離散時間傅里葉變換的性質(zhì)05若序列x（n）的DTFT變換為對于整數(shù)m>0，則序列x（n）的移位序列x（n±m(xù)）的DTFT變換為證明已知序列x（n）的移位x（n±m(xù)）的z變換為令z=ei?，得到2.時域移位性質(zhì)2.5離散時間傅里葉變換的性質(zhì)05若序列x（n）的DTFT變換為證明根據(jù)z變換的尺度變換性質(zhì)已知，當(dāng)序列x（n）的z變換為對于常數(shù)a≠0，有3.頻域移位性質(zhì)2.5離散時間傅里葉變換的性質(zhì)053.頻域移位性質(zhì)2.5離散時間傅里葉變換的性質(zhì)05若若序列x1（n）和x2（n）的DTFT變換分別為則序列x1（n）和x2（n）的乘積的DTFT變換為5.頻域卷積定理2.5離散時間傅里葉變換的性質(zhì)05若序列x1（n）和x2（n）的DTFT變換分別為則序列x1（n）和x2（n）的卷積的DTFT變換為利用序列的z變換的時域卷積定理，可以直接得到上述結(jié)果。4.時域卷積定理2.5離散時間傅里葉變換的性質(zhì)05證明直接根據(jù)DTFT變換的定義，又根據(jù)DTFT逆變換的定義交換積分與求和順序，得到5.頻域卷積定理2.5離散時間傅里葉變換的性質(zhì)05其中，對于式中的求和項，有因此，5.頻域卷積定理2.5離散時間傅里葉變換的性質(zhì)05證明序列x（n）在時域的總能量為又根據(jù)DTFT逆變換的定義6.帕塞瓦爾定理2.5離散時間傅里葉變換的性質(zhì)05于是，交換積分與求和的順序，得到根據(jù)DTFT變換的定義對上式兩端同時求共軛，得到6.帕塞瓦爾定理2.5離散時間傅里葉變換的性質(zhì)05于是因此6.帕塞瓦爾定理2.5離散時間傅里葉變換的性質(zhì)05假設(shè)序列x（n）為實數(shù)序列，則序列x（n）的DTFT變換為利用歐拉公式，上式可以寫為7.對稱性質(zhì)2.5離散時間傅里葉變換的性質(zhì)057.對稱性質(zhì)06周期序列的離散傅里葉級數(shù)2.6周期序列的離散傅里葉級數(shù)06對連續(xù)周期信號f（t）進(jìn)行采樣，假設(shè)采樣周期為T，，且T/T，=N，則原連續(xù)周期信號f（t）的分解表達(dá)式變?yōu)?.6周期序列的離散傅里葉級數(shù)06將上式展開并化簡，得到2.6周期序列的離散傅里葉級數(shù)062.6周期序列的離散傅里葉級數(shù)062.6周期序列的離散傅里葉級數(shù)062.6周期序列的離散傅里葉級數(shù)062.6周期序列的離散傅里葉級數(shù)06當(dāng)m=k時2.6周期序列的離散傅里葉級數(shù)0607離散系統(tǒng)的頻域分析2.7離散系統(tǒng)的頻域分析07在時域分析中，我們已經(jīng)知道一個線性移不變離散時間系統(tǒng)的輸入/輸出具有如下關(guān)系

y（n）=x（n）*h（n）其中，x（n）為系統(tǒng)的輸入序列，y（n）為系統(tǒng)的輸出序列，h（n）為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。上式表明，一個線性移不變離散時間系統(tǒng)的輸出等于輸入序列與單位脈沖響應(yīng)的卷積。對上式兩端同時作z變換，并利用z變換的卷積定理得到

Y（z）=X（z）H（z）比較上面兩式發(fā)現(xiàn)，輸入/輸出關(guān)系在z變換域更加簡潔，不需要卷積運算。式中，H（z）為系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的z變換，即通常稱H（z）為系統(tǒng)函數(shù)或轉(zhuǎn)移函數(shù)，它也等于2.7.1系統(tǒng)函數(shù)2.7離散系統(tǒng)的頻域分析07即線性移不變離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)等于輸出序列的z變換除以輸入序列的z變換。若線性移不變離散時間系統(tǒng)的差分方程如下對上式兩端同時進(jìn)行z變換，得到整理后得到因此，上述差分方程決定的離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為2.7.1系統(tǒng)函數(shù)2.7離散系統(tǒng)的頻域分析07對于因果系統(tǒng)，其單位脈沖響應(yīng)h（n）一定為因果序列，而因果序列的z變換的收斂域通?？杀硎緸閨z|>Rx~同時，還知道因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的極點位于|z|≤Rx~區(qū)域。因果系統(tǒng)的極點分布和收斂域示例如圖2-2所示。對于穩(wěn)定系統(tǒng)，其單位脈沖響應(yīng)h（n）應(yīng)滿足以下條件2.7.2系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性2.7離散系統(tǒng)的頻域分析07又因為系統(tǒng)函數(shù)的收斂域（或單位脈沖響應(yīng)h（n）的z變換的收斂域）應(yīng)滿足以下條件，2.7.2系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性對比以上兩式，可以發(fā)現(xiàn)穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)收斂域一定包含|z|=1的區(qū)域，即穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)收斂域一定包含單位圓。因此，對于一個因果且穩(wěn)定的系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)的收斂域及極點的典型分布圖如圖2-3所示。2.7離散系統(tǒng)的頻域分析07根據(jù)線性移不變離散時間系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系

y（n）=x（n）*h（n）其中，x（n）為系統(tǒng)的輸入序列，y（n）為系統(tǒng)的輸出序列，h（n）為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。對上式兩端同時作DTFT變換，并利用DTFT變換的卷積定理得到2.7.3頻率響應(yīng)2.7離散系統(tǒng)的頻域分析07即線性移不變離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)等于輸出序列的DTFT變換除以輸入序列的DTFT變換。為了幫助理解頻率響應(yīng)的含義與作用，假定輸入序列的DTFT變換的幅度如圖2-4所示，某線性移不變離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的幅度如圖2-5所示，則該系統(tǒng)輸出序列的DTFT變換的幅度如圖2-6所示。比較圖2-4和圖2-6可以看到，輸入序列通過該系統(tǒng)的結(jié)果是，輸入序列中ω≤ω.的頻率2.7.3頻率響應(yīng)2.7離散系統(tǒng)的頻域分析07成分正常通過，而ω>ω.的頻率成分被完全抑制。因此，通過觀察一個系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可以知道，系統(tǒng)對輸入信號的哪些頻率成分進(jìn)行放大（或保持），而對哪些頻率成分進(jìn)行衰減。具體來說，位于頻率響應(yīng)幅度大于1的頻率范圍的輸入信號頻率分量將被放大，位于頻率響應(yīng)幅度等于1的頻率范圍的輸入信號頻率分量將保持不變，而位于頻率響應(yīng)幅度小于1的頻率范圍的輸入信號頻率分量將被衰減。2.7.3頻率響應(yīng)2.7離散系統(tǒng)的頻域分析07首先，將離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)表示為其中，z1，z2，…，zM為零點，P1，P2，…，PN為極點。假設(shè)系統(tǒng)為因果穩(wěn)定系統(tǒng)，因此其系統(tǒng)函數(shù)收斂域一定包含單位圓，故可令z=ei?，得到頻率響應(yīng)如下2.7.4零極點與頻率響應(yīng)的關(guān)系2.7離散系統(tǒng)的頻域分析07可見，零極點的分布位置直接影響頻率響應(yīng)的結(jié)果。當(dāng)零點分別為z1=0.9ejπ/3

z2=0.9ejπ/3，且極點為P1=P2=0時，系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布及頻率響應(yīng)的幅度與相位特性曲線分別如圖2-7（a）、（b）所示。當(dāng)零點分別為z1=0.99ejπ/3，z2=0.99ejπ/3且極點為p1=P2=0時，系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布及頻率響應(yīng)的幅度與相位特性曲線分別如圖2-7（c）、（d）所示。2.7.4零極點與頻率響應(yīng)的關(guān)系2.7離散系統(tǒng)的頻域分析07可見，頻率響應(yīng)的幅度特性曲線在零點對應(yīng)的數(shù)字角頻率處出現(xiàn)谷值，而且零點越靠近單位圓，谷值越小。當(dāng)極點為p1=0.9ejπ/3

，P2=0.9ejπ/3

，且零點為z1=z2=0時，系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布及頻率響應(yīng)的幅度與相位特性曲線分別如圖2-8（a）、（b）所示。當(dāng)極點為P1=0.99ejπ/3

P2=0.99ejπ/3

，且零點為z1=z2=0時，系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布及頻率響應(yīng)的幅度與相位特性曲線分別如圖2-8（c）、（d）所示。2.7.4零極點與頻率響應(yīng)的關(guān)系感謝觀看，再見！離散時間信號處理與MATLAB仿真離散時間信號處理與MATLAB仿真離散傅里葉變換第三章01離散傅里葉變換的定義3.1.1離散傅里葉變換的定義01離散傅里葉變換的定義在第2章，我們已介紹了離散時間信號的z變換和離散時間傅里葉變換（即DTFT變換），但是z變換結(jié)果在復(fù)頻域上是連續(xù)的，而DTFT變換在頻域上是連續(xù)的，因此上述兩種變換在數(shù)字信號處理設(shè)備中均不方便實現(xiàn)。下面將介紹一種離散傅里葉變換，該變換的輸入和輸出均為離散數(shù)據(jù)，因此可直接應(yīng)用于各種數(shù)字信號處理設(shè)備。設(shè)x（n）是一個長度為N的有限長序列，定義x（n）的離散傅里葉變換（DiscreteFourierTransform）為離散傅里葉變換可簡稱為DFT變換。X（k）的離散傅里葉逆變換IDFT定義為式（3-1）和式（3-2）稱為離散傅里葉變換對。注意：離散傅里葉變換對有限長離散時間信號進(jìn)行變換，所得頻域變換結(jié)果是離散的；而離散時間傅里葉變換可對無限長離散時間信號進(jìn)行變換，所得頻域變換結(jié)果是連續(xù)的。3.1.2DFT變換與DTFT變換及z變換的聯(lián)系01DFT變換與DTFT變換及z變換的聯(lián)系下面分析DFT變換與DTFT變換及z變換之間的關(guān)系。設(shè)序列x（n）的長度為M，即x（n）的取值區(qū)間是n=0，1，…，M-1，其z變換為序列x（n）的DTFT變換為而序列x（n）的N點DFT變換為比較以上關(guān)系式，可以得到3.1.2DFT變換與DTFT變換及z變換的聯(lián)系01DFT變換與DTFT變換及z變換的聯(lián)系上式表明，序列x（n）的N點DFT是x（n）的z變換在單位圓上的N點等間隔采樣。同時還可以得到上式表明，序列x（n）的N點DFT是x（n）的DTFT變換在區(qū)間［0，2π］上的N點等間隔采樣02離散傅里葉變換的矩陣表示3.2.1正交序列與正交空間02正交序列與正交空間平面上的任意向量A在直角坐標(biāo)系中可以分解為x方向分量和y方向分量，如圖3-3所示，其中Vx和Vy分別為x方向和y方向上的正交單位向量（或稱為基），C1和C2分別為x方向和y方向上的坐標(biāo)。因此，向量A可以表示為正交單位向量Vx、Vx，的線性組合形式3.2.1正交序列與正交空間02正交序列與正交空間進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，向量A與坐標(biāo)（C1，C2）是一一對應(yīng)的，向量A的坐標(biāo)(C1，C2）包含了向量的全部信息。若向量的坐標(biāo)已知，便可以唯一確定向量在平面上的長度與方向。空間中向量正交分解的概念可以推廣到信號處理領(lǐng)域，在信號空間找到若干個相互正交的信號作為基本信號，信號空間中任意信號均可表示成它們的線性組合。如有定義在［n1，n2］區(qū)間的兩個實數(shù)序列φ1（n）和φ2（n），若滿足則稱實數(shù)序列φ1（n）和φ2（n）在區(qū)間［n1，n2］內(nèi)正交。如有K個序列φ1（n），φ2（n）…，Φk（n）構(gòu)成一個序列集，當(dāng)這些序列在區(qū)間［n1，n2］內(nèi)滿足3.2.1正交序列與正交空間02正交序列與正交空間式中，Ci為常數(shù)，稱此序列集為區(qū)間［n1，n2］上的正交序列集。在區(qū)間［n1，n2］內(nèi)相互正交的K個序列構(gòu)成正交信號空間。如果在正交序列集{φ1（n），φ2（n）…，Φk（n）}之外，不存在序列φ（n）滿足等式則此序列集稱為完備正交序列集。例如，余弦序列集3.2.1正交序列與正交空間02正交序列與正交空間在區(qū)間［n0,n0+N-1］組成正交序列集，而且是完備正交序列集。這里，1表示長度為N的全1序列。當(dāng)N=100，n0=0時，前6個正交余弦序列在區(qū)間［0，99］上的波形如圖3-4所示。3.2.1正交序列與正交空間02正交序列與正交空間構(gòu)造大小為N×N的矩陣G，使得矩陣的第i列等于余弦序列集中第i個序列在區(qū)間［n0，n0+N-1］上的取值，即3.2.1正交序列與正交空間02正交序列與正交空間3.2.1正交序列與正交空間02正交序列與正交空間如有定義在［n1，n2］區(qū)間的兩個復(fù)數(shù)序列φ1（n）和φ2（n），若滿足則稱復(fù)數(shù)序列φ1（n）和φ2（n）在區(qū)間［n，n，］內(nèi)正交。這里，φ1*（n）表示φ1（n）的共軛。如有K個復(fù)數(shù)序列φ1（n），φ2（n），…，Φk（n）構(gòu)成一個序列集，當(dāng)這些序列在區(qū)間［n1，n2］內(nèi)滿足則稱此復(fù)數(shù)序列集為在區(qū)間［n1，n2］的正交復(fù)數(shù)序列集。在區(qū)間［n1，n2］內(nèi)相互正交的K個復(fù)數(shù)序列構(gòu)成正交信號空間。如果在正交復(fù)數(shù)序列集之外，不存在序列φ（n）滿足等式則此復(fù)數(shù)序列集稱為完備正交復(fù)數(shù)序列集。3.2.1正交序列與正交空間02正交序列與正交空間在區(qū)間［n0，n0+N-1］組成正交序列集，而且是完備正交序列集。當(dāng)N=100，n0=0時，在區(qū)間［0，99］上前3個復(fù)指數(shù)序列的實部如圖3-6（a）、（c）、（e）所示，而虛部如圖3-6（b）、（d）、（f）所示。3.2.1正交序列與正交空間02正交序列與正交空間構(gòu)造大小為N×N的復(fù)數(shù)矩陣G，使得矩陣的第讠列等于復(fù)指數(shù)序列集中第i個序列在區(qū)間［n0，n0+N-1］上的取值，即當(dāng)N=100，n0=0時，矩陣X=|GHG|各元素的大小如圖3-7所示。可見，當(dāng)i≠j時，xi，j=0，即正交復(fù)指數(shù)序列集中任意兩個不同序列之間是正交的。3.2.2DFT變換的矩陣形式解釋02變換的矩陣形式解釋假設(shè)有限長序列x=［x（0），x（1）…，x（N-1）T］，離散傅里葉變換就是將序列x（n）分解為一系列基本序列的加權(quán)和，即式中，c（0），c（1），，c（N-1）表示線性組合系數(shù)，基本序列為如下的復(fù)指數(shù)序列，3.2.2DFT變換的矩陣形式解釋02變換的矩陣形式解釋從3.2.1節(jié)已知，上述復(fù)指數(shù)序列構(gòu)成了完備正交序列集。因此，通過對復(fù)指數(shù)序列進(jìn)行適當(dāng)?shù)募訖?quán)求和，能夠表示實際中遇到的任意有限長序列。觀察式（3-14）發(fā)現(xiàn)，有限長序列是由不同頻率的復(fù)指數(shù)序列組成的，各個復(fù)指數(shù)序列的頻率分別為0，2π/N，…，2π（N-1）/N。系數(shù)c（0），c（1），…，c（N-1）反映了各個不同頻率的復(fù)指數(shù)序列在有限長序列中占據(jù)的比重。式（3-14）還可以寫為如下的矩陣形式3.2.2DFT變換的矩陣形式解釋02變換的矩陣形式解釋將式（3-16）展開，便得到離散傅里葉逆變換的公式，即式（3-16）還表明：有限長序列與加權(quán)系數(shù)可以通過矩陣FN聯(lián)系起來，其中矩陣FN為或者，矩陣FN可以表示為如下的簡潔形式3.2.2DFT變換的矩陣形式解釋02變換的矩陣形式解釋即矩陣FN，中的各列構(gòu)成了一個完備正交序列集，于是容易得到即3.2.2DFT變換的矩陣形式解釋03變換的矩陣形式解釋根據(jù)式（3-20）和式（3-16），得到即將式（3-22）展開，便得到離散傅里葉逆變換的公式，即03離散傅里葉變換的性質(zhì)3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)031.線性性質(zhì)3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)032.循環(huán)移位性質(zhì)設(shè)x（n）為有限長序列，長度為N，則x（n）的循環(huán)移位定義為3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)032.循環(huán)移位性質(zhì)3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)033.循環(huán)卷積定理有限長序列x1（n）和x2（n），長度分別為N1和N2，N=max［N，N，］。X1（n）和x2（n）的N點DFT分別為：X1（k）=DFT［x1（n）］，X2（k）=DFT［x2（n）］。如果X（k）=X1（k）·X2（k），則有一般稱上式所表示的運算為x1（n）與x2（n）的N點循環(huán)卷積。上式還可以表示為以下的矩陣形式，即3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)033.循環(huán)卷積定理類似地，如果x（n）=x1（n）x2（n），則即X（k）等于X1（k）與X2（k）的N點循環(huán)卷積的1/N倍。3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)034.復(fù)共軛序列的DFT設(shè)x*（n）是序列x（n）的復(fù)共軛序列，長度為N，且X（k）=DFT［x（n）］N，則且X（N）=X（0）。3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)035.DFT的共軛對稱性設(shè)序列x（n）的長度為N，且X（k）=DFT［x（n）］N，將序列x（n）分解為實部和虛部，即則實部和虛部的DFT變換為3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)035.DFT的共軛對稱性進(jìn)一步地，設(shè)序列x（n）是長度為N的實數(shù)序列，且X（k）=DFT［x（n）］N，則X（k）滿足共軛對稱性，即X（k）=X*（N-k），k=0，1，…，N-1如果序列x（n）是長度為N的實數(shù)偶對稱序列，即x（n）=x（N-n），則X（k）滿足實偶對稱性，即X（k）=X（N-k），k=0，1，…，N-1。反之，如果序列x（n）是長度為N的實數(shù)奇對稱序列，即x（n）=-x（N-n），則X（k）滿足純虛奇對稱性，即X（k）=-X（N-k），k=0，1，…，N-1。3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)036.DFT的帕塞瓦爾定理3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)036.DFT的帕塞瓦爾定理04離散傅里葉變換的應(yīng)用3.4.2信號譜分析04線性卷積的計算假設(shè)h（n）和x（n）都是有限長序列，長度分別為N和M，它們的線性卷積可以表示如下同時，h（n）和x（n）的L點循環(huán)卷積，其中L≥max［N，M］，可以表示如下3.4.1線性卷積的計算04線性卷積的計算由式（3-36）可得到以下結(jié)論：h（n）和x（n）的L點循環(huán)卷積等于h（n）和x（n）的線性卷積的L點周期延拓后的主值序列。又因為，h（n）和x（n）的長度分別為N和M，它們的線性卷積長度為N+M-1。因此，當(dāng)L≥N+M-1時，線性卷積的L點周期延拓才不會發(fā)生混疊，此時線性卷積和循環(huán)卷積的結(jié)果相同。3.4.2信號譜分析041.柵欄效應(yīng)設(shè)連續(xù)信號xa(t)的持續(xù)時間為Tp，最高頻率為fc，xa（t）的傅里葉變換為Xa（jΩ）。對連續(xù)信號x（t）進(jìn)行采樣得到序列xa（n），其中采樣間隔為T，采樣頻率為Fs=1/T，序列x（n）的DTFT變換為X（ej）。xa（1）的傅里葉變換為Xa（iΩ）與序列x（n）的DTFT變換為X（ej0）之間的關(guān)系為3.4.2信號譜分析041.柵欄效應(yīng)3.4.2信號譜分析041.柵欄效應(yīng)接著，根據(jù)序列x（n）的DTFT變換與序列x（n）的DFT之間的關(guān)系，即序列x（n）的DFT變換結(jié)果等于序列x（n）的DTFT變換結(jié)果在［0，2π］范圍上的N點等間隔采樣，序列x（n）以及序列x（n）的DFT變換X（k）如圖3-19（c）所示。從圖3-19（c）可以看出，序列x（n）的DFT變換X（k）沒有反映連續(xù)xa(t)的傅里葉變換Xa（j.Ω）的全部信息，僅給出了N個離散采樣點的譜線，這種現(xiàn)象稱為DFT頻譜分析的柵欄效應(yīng)。3.4.2信號譜分析042.截斷效應(yīng)假設(shè)連續(xù)信號xa（t）的持續(xù)時間原本為無限長的，經(jīng)過截斷以后持續(xù)時間為Tp。信號截斷的過程可以看作對信號加窗的過程，即xa（t）=x（t）w（t），其中，x（t）表示持續(xù)時間無限長的連續(xù)信號，w（t）表示窗函數(shù)。最常見的窗函數(shù)就是矩形窗函數(shù)，即w（t）=gTp，（t-Tp/2）。由于門函數(shù)gJ（t）的傅里葉變換為JSa（ΩJ/2），因此矩形窗函數(shù)的傅里葉變換為3.4.2信號譜分析042.截斷效應(yīng)根據(jù)傅里葉變換的卷積定理可得，連續(xù)信號x（t）的頻譜與截斷后的連續(xù)信號x（t）的頻譜的關(guān)系如下從上式可以看到，截斷后的連續(xù)信號x（t）的頻譜等于連續(xù)信號x（t）的頻譜與矩形窗函數(shù)的頻譜的卷積的1/2π倍。由信號截斷帶來的頻譜誤差稱為截斷效應(yīng)。以無限長的余弦連續(xù)信號為例，余弦信號的傅里葉變換等于FT［cos（Ω0t）］=π［δ（Ω-Ω0）+δ（Ω+Ω0）］。當(dāng)余弦信號頻率為100Hz時，理論上余弦信號的頻譜如圖3-20（a）所示。對余弦信號加矩形窗后，傅里葉變換結(jié)果等于。3.4.1線性卷積的計算042.截斷效應(yīng)當(dāng)余弦信號頻率為100Hz，矩形窗口長度為0.1秒時，余弦信號加矩形窗后的頻譜幅度如圖3-20（b）所示。當(dāng)余弦信號頻率保持為100Hz不變，但矩形窗口長度增加為0.5秒時，余弦信號加矩形窗后的頻譜幅度如圖3-20（c）所示。當(dāng)余弦信號頻率保持為100Hz不變，但矩形窗口長度進(jìn)一步增加為0.9秒時，余弦信號加矩形窗后的頻譜幅度如圖3-20（d）所示。比較圖3-20可以發(fā)現(xiàn)，對無限長連續(xù)信號進(jìn)行截斷后，信號頻譜向附近展寬，通常稱這種現(xiàn)象為信號截斷導(dǎo)致的頻譜泄露。3.4.2信號譜分析043.頻率分辨率現(xiàn)在進(jìn)一步假設(shè)截斷的連續(xù)信號中包含多個頻率分量，而且頻率分量間的頻率間隔很小，考慮在這種情況下的頻譜情況。在下面的分析中，假設(shè)無限長的連續(xù)信號x（t）由兩個余弦信號疊加而成，即x（t）=cos（Ω0t）+cos（Ω1t），其傅里葉變換為對連續(xù)信號x（t）加矩形窗，窗長度為Tp，得到截斷后信號xa(t），其傅里葉變換為3.4.2信號譜分析043.頻率分辨率式中，第一項表示頻率為Ω0的余弦信號在正頻率部分的頻譜分量，其頻譜形狀如圖3-21（a）所示；第三項表示頻率為Ω1的余弦信號在正頻率部分的頻譜分量，其頻譜形狀如圖3-21（b）所示。3.4.2信號譜分析043.頻率分辨率截斷信號x0(t)在正頻率部分的頻譜等于上述兩圖的疊加。當(dāng)Ω1-Ω0，=4π/Tp時，上述兩圖的疊加效果如圖3-22（a）所示。此時，可以分辨頻率為Ω1的余弦信號以及頻率為Ω0的余弦信號的頻譜。當(dāng)Ω1-Ω0，=2π/Tp，時，頻譜疊加效果如圖3-22（b）所示?？梢钥吹?，若兩個余弦信號的頻率間隔進(jìn)一步減小，將不能分辨出頻率為Ω1的余弦信號以及頻率為Ω0的余弦信號的頻譜。因此，將△Ω=2π/Tp或△f=1/Tp稱為傅里葉變換的頻率分辨率。3.4.2信號譜分析043.頻率分辨率假設(shè)某無限長連續(xù)信號由兩個余弦信號組成，余弦信號的頻率分別為100Hz和120Hz，矩形窗口長度為0.1秒，即頻率間隔等于2/TpHz.該信號加矩形窗后的頻譜幅度如圖3-23（a）所示，從頻譜圖中可以看到在正頻率部分存在兩個明顯的譜峰，且譜峰的位置分別對應(yīng)兩個余弦信號的頻率。若余弦信號的頻率分別為100Hz和110Hz，矩形窗口長度保持為0.1秒，即頻率間隔等于1/TpHz。此時頻譜幅度如圖3-23（b）所示，在頻譜圖的正頻率部分仍可以看到兩個譜峰，但譜峰位置已經(jīng)非常接近，該情況正好對應(yīng)于頻率分辨的臨界情況，即兩個余弦信號的頻率間隔等于頻率分辨率。3.4.2信號譜分析043.頻率分辨率若余弦信號的頻率分別為100Hz和105Hz，即頻率間隔等于1/2Tp，矩形窗口長度同樣保持為0.1秒，此時頻譜幅度如圖3-24所示，由于兩個余弦信號的頻率間隔已經(jīng)小于頻率分辨率，因此在頻譜圖的正頻率部分中只能看到一個譜峰。3.4.2信號譜分析044.補零處理假設(shè)序列x（n）的長度為N，n=0，1，…，N-1，則序列x（n）的DTFT變換為若在序列x（n）的尾部補M個零，得到序列x'（n），即3.4.2信號譜分析044.補零處理則序列x'（n）的DTFT變換為05快速傅里葉變換3.5快速傅里葉變換05對于N點有限長序列，其DFT變換為其中，Wy=e-2jπ/N

。將DFT變換寫為矩陣形式，得到3.5快速傅里葉變換05若定義DFT變換矩陣衛(wèi)為并定義輸入序列向量x，以及DFT變換的輸出結(jié)果向量y為感謝觀看，再見！離散時間信號處理與MATLAB仿真離散時間信號處理與MATLAB仿真數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)第四章01數(shù)字濾波器的分類及表示方法4.1數(shù)字濾波器的分類及表示方法01已知一個離散時間系統(tǒng)可用如下的常系數(shù)差分方程表示即系統(tǒng)在n時刻的輸出既與系統(tǒng)在n時刻之前的輸出有關(guān)，也與當(dāng)前n時刻的輸入及n時刻之前的輸入有關(guān)。假設(shè)某離散時間系統(tǒng)對應(yīng)的常系數(shù)差分方程為y（n）-ay（n-1）=x（n），初始狀態(tài)y（-1）=0，則當(dāng)輸入x（n）=δ（n）時，有4.1數(shù)字濾波器的分類及表示方法01依次類推，可得該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h（n）=anu（n），該式表明：該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的長度是無限長的。通常把這種類型的離散時間系統(tǒng)稱為無限長脈沖響應(yīng)離散時間系統(tǒng)，或無限長脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器，簡稱IIR濾波器。若系統(tǒng)在n時刻的輸出僅與當(dāng)前n時刻的輸入及n時刻之前的輸入有關(guān)，對應(yīng)的常系數(shù)差分方程表示為假設(shè)某離散時間系統(tǒng)對應(yīng)的常系數(shù)差分方程為y（n）=x（n）+ax（n-1），初始狀態(tài)y（-1）=0，則當(dāng)輸入x（n）=δ（n）時，有4.1數(shù)字濾波器的分類及表示方法01依次類推，可得該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h（n）=δ（n）+aδ（n-1），該式表明：該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的長度是有限長的。通常把這種類型的離散時間系統(tǒng)稱為有限長脈沖響應(yīng)離散時間系統(tǒng)，或有限長脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器，簡稱FIR濾波器。對IIR濾波器的常系數(shù)差分方程，即兩邊進(jìn)行z變換，并簡單整理后得到系統(tǒng)函數(shù)為例如，某FIR濾波器對應(yīng)的常系數(shù)差分方程為y（n）=x（n）+ax（n-1）+bx（n-2），則該FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

。因此，該IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的極點為z=a，零點為z=-b。4.1數(shù)字濾波器的分類及表示方法01對FIR濾波器的常系數(shù)差分方程，即兩邊進(jìn)行z變換并簡單整理后得到系統(tǒng)函數(shù)等于例如，某FIR濾波器對應(yīng)的常系數(shù)差分方程為y（n）=x（n）+ax（n-1）+bx（n-2），則該FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

。因此，該FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的極點為z=0（二階），零點為4.1數(shù)字濾波器的分類及表示方法01總結(jié)上述分析得到：①IIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)是無限長的，而FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)是有限長的；②IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)在有限z平面（0<|z|<∞）上存在極點，而FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)在有限z平面（0<|z|<∞）上只有零點，而全部極點都在z=0處。觀察一個數(shù)字濾波器對應(yīng)的常系數(shù)差分方程，即可見，為了實現(xiàn)該數(shù)字濾波器，需要三種基本的運算單元，即加法器、單位延遲器及常數(shù)乘法器。這些基本單元有兩種表示方法，即方框圖法和信號流圖法。加法器、單位延遲器及常數(shù)乘法器的方框圖如圖4-1所示。加法器、單位延遲器及常數(shù)乘法器的信號流圖如圖4-2所示。方框圖表示方法較明顯直觀，而信號流圖表示方法更加簡單方便，但兩種表示方法在本質(zhì)上是等價的，只是符號上有差異。02IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)4.2IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)024.2.1直接I型假設(shè)IIR濾波器的常系數(shù)差分方程為直接根據(jù)上述差分方程，可得到IR濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)如圖4-5所示，該型結(jié)構(gòu)稱為IIR濾波器的直接I型結(jié)構(gòu)。4.2IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)024.2.2直接II型IIR濾波器的直接I型結(jié)構(gòu)可看作是兩個子系統(tǒng)的級聯(lián)，而對于一個線性移不變系統(tǒng)，交換其級聯(lián)子系統(tǒng)的順序，不改變其最終的系統(tǒng)函數(shù)。對IIR濾波器的直接I型結(jié)構(gòu)交換前后兩個子系統(tǒng)的順序后如圖4-6所示。4.2IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)024.2.2直接II型合并圖4-6中重復(fù)的延遲單元后得到IIR濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)如圖4-7所示，該型結(jié)構(gòu)稱為IIR濾波器的直接II型結(jié)構(gòu)。4.2IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)024.2.3級聯(lián)型由于IIR濾波器的常系數(shù)差分方程為，則IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為接著，對系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母分別作因式分解，得到4.2IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)024.2.3級聯(lián)型可見，復(fù)雜的系統(tǒng)函數(shù)可以由若干個一階子系統(tǒng)和二階子系統(tǒng)的級聯(lián)組合而成，其中一階子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖4-8所示，二階子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖4-9所示。最終，整個濾波器是上述一階子系統(tǒng)和二階子系統(tǒng)的級聯(lián)，其具體結(jié)構(gòu)如圖4-10所示。級聯(lián)型結(jié)構(gòu)的特點是，若改變某一子系統(tǒng)的系數(shù)僅影響該子系統(tǒng)的零點或極點，而對其他的子系統(tǒng)沒有影響。因此，級聯(lián)型結(jié)構(gòu)便于準(zhǔn)確實現(xiàn)濾波器的零點和極點，因而便于調(diào)整濾波器的頻率響應(yīng)特性。4.2IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)024.2.4并聯(lián)型對IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行部分分式分解，可得到可見，復(fù)雜的系統(tǒng)函數(shù)可以由若干個一階子系統(tǒng)和二階子系統(tǒng)的并聯(lián)組合而成，其中一階子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖4-11所示，二階子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖4-12所示。最終，整個濾波器是上述一階子系統(tǒng)和二階子系統(tǒng)的并聯(lián)，其具體結(jié)構(gòu)如圖4-13所示。4.2IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)024.2.4并聯(lián)型03FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)4.3FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)034.3.1直接型在FIR濾波器中，n時刻的輸出僅與當(dāng)前n時刻的輸入及n時刻之前的輸入有關(guān)，對應(yīng)的常系數(shù)差分方程為令輸入x（n）=δ（n），得到FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)為容易知道，h（k）=bk，k=0，1，…，N-1。因此，不妨將FIR濾波器的差分方程重新寫為4.3FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)034.3.1直接型根據(jù)上式，可畫出FIR濾波器的直接型結(jié)構(gòu)如圖4-21所示，該型結(jié)構(gòu)也稱為橫截型或卷積型結(jié)構(gòu)。4.3FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)034.3.2級聯(lián)型對FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)求z變換，得到其系統(tǒng)函數(shù)為進(jìn)一步地，還可以將系統(tǒng)函數(shù)分解為若干個一階子系統(tǒng)和二階子系統(tǒng)的乘積，即4.3FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)034.3.2級聯(lián)型其中，一階子系統(tǒng)和二階子系統(tǒng)的的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)分別如圖4-22（a）、（b）所示。最終，F(xiàn)IR濾波器是上述一階子系統(tǒng)和二階子系統(tǒng)的級聯(lián)，其結(jié)構(gòu)如圖4-23所示。級聯(lián)型結(jié)構(gòu)的特點是，若改變某一子系統(tǒng)的系數(shù)僅影響該子系統(tǒng)的零點，而對其他的子系統(tǒng)沒有影響，但是級聯(lián)型結(jié)構(gòu)相對于直接型結(jié)構(gòu)需要更多的乘法運算。4.3FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)034.3.3頻率采樣型已知FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為單位脈沖響應(yīng)h（n）的z變換，即另外，F(xiàn)IR濾波器的頻率響應(yīng)為單位脈沖響應(yīng)h（n）的DTFT變換，即因此，頻率響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)的關(guān)系是H（e3?）=H（z），將頻率響應(yīng)在頻率［0，2π］上均勻采樣N點，得到

即4.3FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)034.3.3頻率采樣型式中，給出了由系統(tǒng)函數(shù)得到頻域采樣點H（k）的具體過程。下面我們希望由頻域采樣點H（k）構(gòu)造出系統(tǒng)函數(shù)H（z），為此，首先根據(jù)DFT逆變換得到然后，利用上式計算單位脈沖響應(yīng)h（n）的z變換，得到4.3FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)034.3.3頻率采樣型交換求和順序，得到整理后，得到4.3FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)034.3.3頻率采樣型于是，根據(jù)上式可以畫出FIR濾波器的頻率采樣型結(jié)構(gòu)如圖4-24所示。4.3FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)034.3.3頻率采樣型FIR濾波器的頻率采樣型結(jié)構(gòu)的特點是，結(jié)構(gòu)圖中的系數(shù)直接來源于對頻率響應(yīng)的采樣，因此控制濾波器的頻率響應(yīng)很方便。但缺點是其極點均位于單位圓上，當(dāng)存在系統(tǒng)誤差時可能導(dǎo)致濾波器不穩(wěn)定。針對該缺點，一般使用以下的修正后的頻率采樣結(jié)構(gòu)表達(dá)式，即4.3FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)034.3.3頻率采樣型其中r<1，用于保證所有極點均位于單位圓之內(nèi)。FIR濾波器修正后的頻率采樣型結(jié)構(gòu)如圖4-25所示。4.3FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)034.3.3頻率采樣型IR濾波器的線性相位特性將在后續(xù)章節(jié)進(jìn)行詳細(xì)介紹，這里直接給出關(guān)于線性相位的結(jié)論。如果FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h（n）為實數(shù)，0≤n≤N-1，且滿足以下條件即單位脈沖響應(yīng)h（n）關(guān)于n=（N-1）/2處為奇對稱或偶對稱，則該FIR濾波器具有線性相位特性。假設(shè)N=9，即N為奇數(shù)，且h（n）關(guān)于n=（N-1）/2處偶對稱，下面給出FIR濾波器的線性相位型結(jié)構(gòu)。由于FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為單位脈沖響應(yīng)h（n）的z變換，即4.3FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)034.3.3頻率采樣型將上式展開得到由于h（n）=h（N-1-n），即h（n）=h（8-n），因此于是，系統(tǒng)函數(shù)可以重新寫為4.3FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)034.3.3頻率采樣型此時，得到FIR濾波器的線性相位型結(jié)構(gòu)如圖4-26所示。感謝觀看，再見！離散時間信號處理與MATLAB仿真離散時間信號處理與MATLAB仿真IIR濾波器設(shè)計方法第五章01數(shù)字濾波器的基本概念5.1數(shù)字濾波器的基本概念01濾波器是去除信號中噪聲的基本信號處理手段。經(jīng)典濾波器按實現(xiàn)形式可分為模擬濾波器和數(shù)字濾波器；按功能可分為低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器以及帶阻濾波器。理想情況下低通模擬濾波器的幅頻特性曲線如圖5-1所示。數(shù)字濾波器的幅頻特性以2π為周期，因此數(shù)字低通濾波器的幅頻特性曲線如圖5-2所示。5.1數(shù)字濾波器的基本概念01理想數(shù)字低通濾波器的頻率響應(yīng)為對理想低通濾波器的頻率響應(yīng)求DTFT逆變換，得到5.1數(shù)字濾波器的基本概念01假設(shè)a.=0.1π，此時理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)如圖5-3所示。從圖5-3可以看出，當(dāng)n<0時，h（n）≠0，因此理想低通濾波器是非因果系統(tǒng)，也就是不可物理實現(xiàn)的系統(tǒng)。實際中，一個物理可實現(xiàn)的數(shù)字低通濾波器的幅頻特性曲線一般如圖5-4所示，為簡化起見，圖5-4中只畫出了［0，π］范圍內(nèi)的幅頻特性曲線。

5.1數(shù)字濾波器的基本概念01在圖5-4中，?，表示數(shù)字低通濾波器的通帶截止頻率或通帶上限頻率，ωS表示數(shù)字低通濾波器的阻帶截止頻率。δ1及δ2分別表示通帶、阻帶的容限，與其對應(yīng)的具體技術(shù)指標(biāo)分別為通帶允許最大衰減a，，阻帶允許最小衰減aP，它們的定義如下當(dāng)數(shù)字低通濾波器的幅頻特性曲線如圖5-4所示時，通帶允許最大衰減αP，及阻帶允許最小衰減αS的具體大小為02模擬濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器的設(shè)計025.2.1巴特沃斯模擬濾波器設(shè)計原理對巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)為關(guān)，N越大，通帶越平坦，過渡帶越窄，過渡帶與阻帶幅度下降的速度越快，總的頻響特性越趨近于理想低通濾波器?？梢姡槍ι鲜霭吞匚炙沟屯V波器的幅度平方函數(shù)，選擇合適的濾波器階數(shù)N和3dB截止頻率Ω就能實現(xiàn)所需的模擬低通濾波器。5.2模擬濾波器的設(shè)計025.2.1巴特沃斯模擬濾波器設(shè)計原理5.2模擬濾波器的設(shè)計025.2.1巴特沃斯模擬濾波器設(shè)計原理為了實現(xiàn)巴特沃斯低通濾波器，還需要將上述幅度平方函數(shù)|Ha（jΩ）|2轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)函數(shù)Ha（s），下面簡要分析該轉(zhuǎn)換過程。假設(shè)巴特沃斯低通濾波器的單位沖激響應(yīng)為ha（t），則其傅里葉變換為而且，單位沖激響應(yīng)ha(t)的拉普拉斯變換為5.2模擬濾波器的設(shè)計025.2.1巴特沃斯模擬濾波器設(shè)計原理可見，單位沖激響應(yīng)ha（t）的拉普拉斯變換與傅里葉變換之間的關(guān)系為若單位沖激響應(yīng)ha(t)為實函數(shù)，則單位沖激響應(yīng)ha（t）的傅里葉變換的共軛等于可見，單位沖激響應(yīng)ha（t）的傅里葉變換的共軛與系統(tǒng)函數(shù)的關(guān)系是5.2模擬濾波器的設(shè)計025.2.1巴特沃斯模擬濾波器設(shè)計原理最終得到上式左邊正好等于幅度平方函數(shù)|Ha（jΩ)|2，因此，幅度平方函數(shù)|Ha（jΩ）|2與系統(tǒng)函數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下5.2模擬濾波器的設(shè)計025.2.1巴特沃斯模擬濾波器設(shè)計原理下面，我們可以認(rèn)為巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)是這樣得到的，即對比上述結(jié)果，得到由于Ha（s）與Ha（-s）必然具有相同的階數(shù)，因此不妨假設(shè)5.2模擬濾波器的設(shè)計025.2.1巴特沃斯模擬濾波器設(shè)計原理式中，A為待定系數(shù)，sk（k=0，1，…，N-1）為系統(tǒng)函數(shù)Ha（s）的極點。于是，Ha（-s）的表達(dá)式為5.2模擬濾波器的設(shè)計025.2.1巴特沃斯模擬濾波器設(shè)計原理可見，待定系數(shù)A應(yīng)該等于（Ω）3，而且Ha（-s）的極點為-sk=0，1，…，N-1，即Ha（-s）的極點正好與系統(tǒng)函數(shù)Ha（s）的極點關(guān)于復(fù)平面的原點對稱。圖5-6（a）、（c）圖給出了Ha（s）的極點分布示例，圖5-6（b）、（d）則為H，（-s）的極點分布情況。5.2模擬濾波器的設(shè)計025.2.1巴特沃斯模擬濾波器設(shè)計原理需要說明的是，所設(shè)計的巴特沃斯低通濾波器必須是因果穩(wěn)定的。因此，系統(tǒng)函數(shù)Ha（s）的極點全部位于復(fù)平面的左半平面，即圖5-6（a）的極點分布情況。此時，Ha（s）的極點全部位于復(fù)平面的左半平面，而Ha（-s）的極點則位于復(fù)平面的右半平面。根據(jù)已有的結(jié)果，即

?？芍琀a（s）Ha（-s）的全部極點為(s)2N+（jΩ）2N=0的根，5.2模擬濾波器的設(shè)計025.2.1巴特沃斯模擬濾波器設(shè)計原理若N=6，Ωc=1，則當(dāng)k=0，1，…，N-1時，sk的分布情況如圖5-7（a）所示。當(dāng)k=N，N+1，…，2N-1時，sk的分布情況如圖5-7（b）所示。5.2模擬濾波器的設(shè)計025.2.1巴特沃斯模擬濾波器設(shè)計原理可見，我們應(yīng)該選擇作為H，（s）的極點。因此，得到系統(tǒng)函數(shù)的表達(dá)式為最后，將已選擇的濾波器階數(shù)N和3dB截止頻率Ω代入上面的系統(tǒng)函數(shù)表達(dá)式，就實現(xiàn)了巴特沃斯模擬低通濾波器的設(shè)計。5.2模擬濾波器的設(shè)計02已知一個離散時間系統(tǒng)可用如下的常系數(shù)差分方程表示即系統(tǒng)在n時刻的輸出既與系統(tǒng)在n時刻之前的輸出有關(guān)，也與當(dāng)前n時刻的輸入及n時刻之前的輸入有關(guān)。假設(shè)某離散時間系統(tǒng)對應(yīng)的常系數(shù)差分方程為y（n）-ay（n-1）=x（n），初始狀態(tài)y（-1）=0，則當(dāng)輸入x（n）=δ（n）時，有5.2.1巴特沃斯模擬濾波器設(shè)計原理5.2模擬濾波器的設(shè)計025.2.1巴特沃斯模擬濾波器設(shè)計原理巴特沃斯模擬濾波器的特點是，其幅度平方函數(shù)在通帶和阻帶都是頻率的單調(diào)遞減函數(shù)。不同的是，切比雪夫模擬濾波器的幅度平方函數(shù)在通帶或阻帶具有等波紋特性。下面簡要介紹切比雪夫I型模擬濾波器的設(shè)計原理，切比雪夫I型模擬濾波器的幅度平方函數(shù)在通帶內(nèi)是等波紋的，在阻帶內(nèi)是單調(diào)下降的。切比雪夫I型模擬濾波器的幅度平方函數(shù)為式中，ε為小于1的正數(shù)，Ωp稱為通帶截止頻率，ΩN（x）為N階切比雪夫多項式，其定義為式中，符號ch表示雙曲余弦函數(shù)，符號arch表示反雙曲余弦函數(shù)。5.2模擬濾波器的設(shè)計025.2.1巴特沃斯模擬濾波器設(shè)計原理若給定Ωp=100Hz，ε=02，N=6，則切比雪夫I型模擬濾波器的幅度平方函數(shù)如圖5-8（a）所示。若給定Ωp=100Hz，ε=0.5，N=6，則切比雪夫I型模擬濾波器的幅度平方函數(shù)如圖5-8（b）所示。可見，ε的作用是控制通帶內(nèi)幅度波動的程度，ε越大，波動幅度也越大。5.2模擬濾波器的設(shè)計025.2.1巴特沃斯模擬濾波器設(shè)計原理若給定Ωp=100Hz，ε=0.3，N=5，則切比雪夫I型模擬濾波器的幅度平方函數(shù)如圖5-9（a）所示。若給定Ωp=100Hz，ε=0.3，N=10，則切比雪夫I型模擬濾波器的幅度平方函數(shù)如圖5-9（b）所示?？梢姡琋的作用是控制過渡帶的寬度，N越大，過渡帶的寬度也越小。同時，N也影響通帶內(nèi)波動的疏密，N越大，通帶內(nèi)波動越密。03沖激響應(yīng)不變法5.3沖激響應(yīng)不變法03沖激響應(yīng)不變法是一種將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的方法，它的主要思想是使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h（n）等于模擬濾波器單位沖激響應(yīng)h（t的等間隔采樣，即式中，T為等間隔采樣的周期。假設(shè)某模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為現(xiàn)在希望將該模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。為此，首先，對模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行部分分式分解，得到5.3沖激響應(yīng)不變法03現(xiàn)在希望將該模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。為此，首先，對模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行部分分式分解，得到于是，該模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha（t）等于

ha（t）=（e-t+e-3t）u（t）5.3沖激響應(yīng)不變法03因此，單位沖激響應(yīng)ha（t）的波形如圖5-10（a）所示。若選擇等間隔采樣的周期T=0.1秒，則單位沖激響應(yīng)ha（t的等間隔采樣如圖5-10（b）所示。5.3沖激響應(yīng)不變法03按照沖激響應(yīng)不變法的思想，即數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h（n）等于模擬濾波器單位沖激響應(yīng)ht）的等間隔采樣，于是對單位脈沖響應(yīng)序列h（n）計算DTFT變換，得到數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為若采樣周期T=0.1秒，則數(shù)字濾波器的幅頻曲線如圖5-11（a）所示。為了驗證沖激響應(yīng)不變法的實現(xiàn)效果，對模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)計算傅里葉變換，得到模擬濾波器的頻率響應(yīng)為5.3沖激響應(yīng)不變法03模擬濾波器的幅頻曲線如圖5-11（b）所示。。5.3沖激響應(yīng)不變法03比較數(shù)字濾波器與模擬濾波器的幅頻曲線，可以發(fā)現(xiàn)兩者雖并不完全相同，但在形狀上是比較相似的，而且都實現(xiàn)了低通濾波的效果。為了實現(xiàn)數(shù)字濾波器，最后還需要根據(jù)數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h（n）求出相應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)H（z），即從模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，可以直接得到模擬濾波器的極點為s1=-1，s2=-3；同時，從數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，可以直接得到數(shù)字濾波器的極點為z1=e-T，z2=e-3T。可見，模擬濾波器的極點均位于復(fù)平面的左半平面，因此模擬濾波器是穩(wěn)定的；同時，數(shù)字濾波器的極點均位于單位圓之內(nèi)，因此得到的數(shù)字濾波器也同樣是穩(wěn)定的。當(dāng)選擇采樣周期T=1秒時，模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)h2（t）以及數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h（n）分別如圖5-12（a）、（b）所示。此時，模擬濾波器的幅頻曲線以及數(shù)字濾波器的幅頻曲線分別如圖5-12（c）、（d）所示。對比圖5-11以及圖5-12可以看出，隨著采樣周期T的增大，得到的數(shù)字濾波器的幅頻曲線變得更加趨于平坦，與實際期望的濾波器的幅頻曲線特性更加不符。5.3沖激響應(yīng)不變法03下面詳細(xì)分析產(chǎn)生上述現(xiàn)象的原因。假設(shè)λt）是模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)h（t）的理想采樣信號，即令為單位沖激序列函數(shù)，其傅里葉變換為理想采樣信號可以表示為單位沖激響應(yīng)h（t）與單位沖激序列函數(shù)的乘積，即5.3沖激響應(yīng)不變法03根據(jù)傅里葉變換的卷積定理，理想采樣信號的傅里葉變換等于單位沖激響應(yīng)h（t）的傅里葉變換與單位沖激序列函數(shù)的傅里葉變換（即P，（jΩ））的卷積，即5.3沖激響應(yīng)不變法03利用沖激函數(shù)的卷積運算性質(zhì)，得到可見，理想采樣信號的傅里葉變換等于模擬濾波器的頻率響應(yīng)以2π/T為周期進(jìn)行周期延拓后乘以1/T的結(jié)果。另外，根據(jù)理想采樣信號

，

直接計算理想采樣信號

的傅里葉變換，得到對上式簡化后得到5.3沖激響應(yīng)不變法03令h（n）=ha（nT），ω=ΩT，于是上式表明，當(dāng)h（n）=ha（nT），ω=ΩT時，理想采樣信號