5平均指標(biāo)講解

平均指標(biāo)第一節(jié)

平均指標(biāo)的概念和種類

一、平均指標(biāo)的概念平均指標(biāo):同質(zhì)總體內(nèi)各單位數(shù)量標(biāo)志值在一定時(shí)間、地點(diǎn)條件下的一般水平或代表值。又稱平均數(shù)。二、平均指標(biāo)的特點(diǎn)

1.代表性

2.抽象性

集中趨勢1、一組數(shù)據(jù)向其中心值靠攏的傾向和程度；2、測度集中趨勢就是尋找數(shù)據(jù)水平的代表值或中心值；3、不同類型的數(shù)據(jù)用不同的集中趨勢測度值三、平均指標(biāo)的作用1.利用平均指標(biāo)，可以了解總體次數(shù)分布的集中趨勢2.利用平均指標(biāo)，可以對不同時(shí)間和空間的同類現(xiàn)象進(jìn)行比較研究3.利用平均指標(biāo)，可以研究某一總體某種數(shù)值的平均水平在時(shí)間上的變化，說明總體的開展過程和趨勢

4.利用平均指標(biāo)，可以分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系

5.利用平均指標(biāo)，可以為某些科學(xué)預(yù)測、決策和某些推算的依據(jù)四、統(tǒng)計(jì)平均數(shù)的種類

1.數(shù)值平均數(shù)：算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)

2.位置平均數(shù)：中位數(shù)、眾數(shù)

一.算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法1.算術(shù)平均數(shù)的根本公式(說明同質(zhì)總體各單位標(biāo)志值一般水平的平均數(shù))算術(shù)平均數(shù)=總體標(biāo)志總量/總體單位總量

第二節(jié)算術(shù)平均數(shù)

分子與分母要同屬一個(gè)總體;

分子與分母具有一一對應(yīng)的關(guān)系,即有一個(gè)總體單位必有一個(gè)標(biāo)志值與之對應(yīng).從這個(gè)根本公式可以看到：

2.簡單算術(shù)平均數(shù)3.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)例1：有6名學(xué)生的?英語?考試成績分別為：81、82、85、89、92、93分，那么平均考試成績?yōu)?〔81+82+85+89+92+93〕÷6=87〔分〕以公式表示：對于變量數(shù)列x1x2x3…xn有

例2：某廠金工車間20名工人加工某種零件的產(chǎn)量資料如下：

20名工人零件生產(chǎn)數(shù)量分組資料產(chǎn)量（件）人數(shù)（人）總產(chǎn)量（件）14151617182485128601288518合計(jì)20319以公式表示：對于變量數(shù)列x1x2x3…xn有

如果掌握的資料是組距式數(shù)列，應(yīng)先計(jì)算各組的組中值以代表該組內(nèi)各單位的一般水平，而后按上述方法計(jì)算其平均數(shù)

例3：某貿(mào)易公司60名員工月工資分組資料如下：

工資（元）組中值x人數(shù)（人）f工資總額（元）xf800以下800~10001000~12001200~15001500以上7009001100135016506142610442001260028600135006600合計(jì)—6065500二、算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)

〔1〕算術(shù)平均數(shù)與標(biāo)志值個(gè)數(shù)的乘積等于各標(biāo)志值的總和。簡單算術(shù)平均數(shù)：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：〔2〕各個(gè)標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)的離差之和等于零。簡單算術(shù)平均數(shù)：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：〔3〕各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差的平方和為最小值。第三節(jié)調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)一.調(diào)和平均數(shù):也稱倒數(shù)平均數(shù),是變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù).根據(jù)所掌握的資料不同，調(diào)和平均數(shù)有簡單和加權(quán)兩種。

原來只是計(jì)算時(shí)使用了不同的數(shù)據(jù)！1、簡單調(diào)和平均數(shù)例4：有一種蔬菜，早晨的價(jià)格每千克0.5元，中午0.2元，晚上0.1元。如果早、中、晚各買1元錢的蔬菜，那么當(dāng)天所買的蔬菜平均價(jià)格是多少？

以公式表示

2、加權(quán)調(diào)和平均數(shù)例5前進(jìn)化工廠2004年11月購進(jìn)三批A原料，每批的價(jià)格及金額如下,那么這三批原料的平均價(jià)格是:批次價(jià)格（元/公斤）x金額（元）m購進(jìn)數(shù)量（公斤）m/x第一批第二批第三批505560110002750018000220500300合計(jì)—565001020A原料的購入價(jià)格和金額資料二.幾何平均數(shù)它是計(jì)算平均比率或平均速度最適用的一種方法。因?yàn)閹缀纹骄鶖?shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)與社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象開展的平均比率和平均速度形成的客觀過程是一致的。但凡變量值的連乘積等于總比率或總速度的場合都適宜用幾何平均法計(jì)算平均比率或平均速度。幾何平均數(shù)也分簡單幾何平均數(shù)和加權(quán)幾何平均數(shù)兩種.1、簡單幾何平均數(shù)

簡單幾何平均數(shù)是N個(gè)變量值〔比率〕連乘積的N次方根，計(jì)算公式為：2、加權(quán)幾何平均數(shù)當(dāng)計(jì)算幾何平均數(shù)的每個(gè)變量值〔比率〕的次數(shù)不相同時(shí)，那么應(yīng)用加權(quán)幾何平均法，其計(jì)算公式為：幾何平均數(shù)(簡單)某企業(yè)95年的產(chǎn)量為100萬噸，96年與95年相比增長率為9％，97年與96年相比增長率為16％，98年與97年相比增長率為20％。求各年的平均增長率。平均收益率＝114.91%-100％=14.91%幾何平均數(shù)(加權(quán))一筆存款存入銀行十年，前兩年的年利率為6%，第三年至第五年的年利率為5%，后五年的年利率為3%。如果按照復(fù)利計(jì)算，這筆存款的年平均利率為多少？1.042-1=4.2%，即年平均利率為4.2%第四節(jié)中位數(shù)和眾數(shù)一、中位數(shù):把現(xiàn)象總體中各單位標(biāo)志值按大小順序排列,位于中間位置的標(biāo)志值.(一)中位數(shù)的意義(二)中位數(shù)的計(jì)算方法1.由未分組資料確定中位數(shù)總體單位數(shù)為奇數(shù)時(shí)：中位數(shù)是處在第(n+1)/2項(xiàng)位置的標(biāo)志值例6一個(gè)科室有9人，年齡分別為24、25、25、26、26、27、28、29、55歲，那么中位數(shù)為26歲總體單位數(shù)為偶數(shù)時(shí)：中位數(shù)是第n/2項(xiàng)和第〔n+2〕/2項(xiàng)兩個(gè)標(biāo)志值的平均數(shù)如例6去掉24，那么中位數(shù)是第4項(xiàng)和第5項(xiàng)標(biāo)志值26和27的平均數(shù)(26+27)÷2=26.5歲2.由已分組資料確定中位數(shù)單項(xiàng)數(shù)列：首先確定中位數(shù)位次，∑f/2；然后確定中位數(shù)組，該組的變量值就是中位數(shù)組距數(shù)列：首先確定中位數(shù)位次，∑f/2；然后按照公式計(jì)算中位數(shù)下限公式上限公式例7.某車間工人日產(chǎn)量資料如下日產(chǎn)量工人數(shù)較小累計(jì)制17221846193920211合計(jì)11--

例82004年某地大學(xué)生消費(fèi)支出調(diào)查資料月消費(fèi)額組中值（元）調(diào)查人數(shù)（人）累計(jì)人數(shù)（人）300以下300~400400~500500~600600~700700以上250350450550650750801804302207020802606909109801000合計(jì)——1000——

中位數(shù)的位置為1000/2=500，可知月消費(fèi)金額位居第500位的學(xué)生在月消費(fèi)額400—500元這個(gè)組，中位數(shù)為：二.眾數(shù)

〔1〕根據(jù)單項(xiàng)數(shù)列確定眾數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值即為眾數(shù)例9：佳美超市2004年3月各種包裝的味精銷售情況：按包裝分組（克）銷售量（袋）102550751005001000305235714643172眾數(shù)為50克〔2〕由組距數(shù)列計(jì)算眾數(shù)先根據(jù)各組次數(shù)確定眾數(shù)所在的組，然后利用以下公式計(jì)算眾數(shù)。下限公式

L：眾數(shù)組的下限Δ1

：眾數(shù)組次數(shù)與相鄰前一組次數(shù)之差Δ2

：眾數(shù)組次數(shù)與相鄰后一組次數(shù)之差

I：眾數(shù)組的組距上限公式

根據(jù)例8資料計(jì)算三.各種平均數(shù)之間的關(guān)系1、算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)的關(guān)系如果根據(jù)同一資料計(jì)算，那么調(diào)和平均數(shù)最小，幾何平均數(shù)居中，算術(shù)平均數(shù)最大，即：算術(shù)平均數(shù)≥幾何平均數(shù)≥調(diào)和平均數(shù)例10：有1、3、6、7、9五個(gè)數(shù)，計(jì)算：

2.算術(shù)平均數(shù)和中位數(shù)、眾數(shù)的關(guān)系

(1)當(dāng)總體分布呈對稱狀態(tài)時(shí),算術(shù)平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)

(2)當(dāng)總體分布呈右偏時(shí),眾數(shù)<中位數(shù)<算術(shù)平均數(shù)

(3)當(dāng)總體分布呈左偏時(shí),算術(shù)平均數(shù)<中位數(shù)<眾數(shù)四.計(jì)算和應(yīng)用平均指標(biāo)應(yīng)注意的問題

1、

同質(zhì)性

2、

總平均數(shù)與組平均數(shù)結(jié)合

3、

總平均數(shù)與分布數(shù)列結(jié)合

4、

平均數(shù)與典型事例結(jié)合

5、

平均數(shù)與變異分析相結(jié)合離中趨勢數(shù)據(jù)分布的另一個(gè)重要特征；反映各變量值遠(yuǎn)離其中心值的程度(離散程度)；從另一個(gè)側(cè)面說明了集中趨勢測度值的代表程度；第五節(jié)標(biāo)志變異指標(biāo)一、標(biāo)志變異指標(biāo)的概念和作用1、概念2、作用〔1〕標(biāo)志變異指標(biāo)是衡量平均數(shù)代表性大小的尺度〔2〕標(biāo)志變異指標(biāo)可以反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)過程的節(jié)奏性、均衡性和穩(wěn)定性〔3〕標(biāo)志變異指標(biāo)是科學(xué)地確定必要的抽樣單位數(shù)應(yīng)考慮的重要因素二、標(biāo)志變異測定指標(biāo)1、全距：總體各單位變量值中最大值與最小值之差極差=最大變量值–最小變量值例11某生產(chǎn)班組26名工人的日產(chǎn)量資料

日產(chǎn)量（件）

工人數(shù)（人）121416182022248732

合計(jì)26極差為22–12=10〔件〕對于組距數(shù)列：極差=最高一組的上限值–最低一組的下限值特點(diǎn)：是描述數(shù)據(jù)離散程度最簡單的測度值，計(jì)算簡單，易于理解。在實(shí)際工作中適用于度量變化比較穩(wěn)定的現(xiàn)象的離中趨勢，常用于檢查工業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量。只反映兩個(gè)極端變量值的差距，未考慮中間數(shù)據(jù)的變異情況。對于開口組那么無法計(jì)算，不能準(zhǔn)確描述數(shù)據(jù)的離散程度。2、平均差：總體各單位的標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)離差絕對值的算術(shù)平均數(shù)。根據(jù)掌握的資料不同，計(jì)算可分為簡單和加權(quán)兩種。簡單平均式——在資料未分組時(shí)采用

加權(quán)平均式——當(dāng)掌握的資料是經(jīng)過加工整理的分布數(shù)列，應(yīng)采用加權(quán)平均式。

如果是組距數(shù)列，計(jì)算平均差的方法與上述相同，只是先計(jì)算組中值，以組中值代表各組變量值。例12根據(jù)例11某地大學(xué)生2002年消費(fèi)情況計(jì)算人月消費(fèi)額的平均差〔算術(shù)平均數(shù)458元〕月消費(fèi)額（元）組中值x人數(shù)f300以下300~400400~500500~600600~700700以上2503504505506507508018043022070202081088921922921664019440344020420134405840合計(jì)——1000——79040

3、方差和標(biāo)準(zhǔn)差〔均方差〕：方差與標(biāo)準(zhǔn)差用于測度數(shù)據(jù)的離散程度作用是一致的，但標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)量單位與變量值的計(jì)量單位相同，其實(shí)際意義比方差清楚，所以通常在對社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行分析時(shí)，更多使用標(biāo)準(zhǔn)差來測度統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的差異程度。方差是總體中各單位標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方的算術(shù)平均數(shù)。通常以б2表示根據(jù)掌握的資料不同，方差的計(jì)算分為簡單和加權(quán)兩種簡單平均式加權(quán)平均式

方差的平方根就是標(biāo)準(zhǔn)差，一般用б

表示，其計(jì)算公式為：

簡單平均式加權(quán)平均式例13根據(jù)例11某地大學(xué)生2002年消費(fèi)情況計(jì)算人月消費(fèi)額的方差和標(biāo)準(zhǔn)差〔平均458元〕月消費(fèi)額（元）組中值x人數(shù)f300以下300~400400~500500~600600~700700以上250350450550650750801804302207020-208-108-892192292432641166464846436864852643461120209952027520186208025804801705280合計(jì)—1000——117360004、標(biāo)志變異系數(shù)〔離散系數(shù)〕為了消除變量值平均水平和計(jì)量單位不同對離散程度的測度值的影響，需要計(jì)算離散系數(shù)離散系數(shù)通常是就標(biāo)準(zhǔn)差來計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)

離散系數(shù)大，說明數(shù)據(jù)的離散程度大，其平均數(shù)的代表性就差；離散系數(shù)小，說明數(shù)據(jù)的離散程度小，其平均數(shù)的代表性就大

例14：有兩組不同水平的工人日產(chǎn)量資料如下：

甲組：6065707580

乙組：257912

試比較兩組工人的平均日產(chǎn)量的代表性

解：5、是非標(biāo)志的方差與標(biāo)準(zhǔn)差品質(zhì)標(biāo)志標(biāo)志值(xi)次數(shù)fi是1n1非0n0合計(jì)-n2、是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差練習(xí)：1、標(biāo)志變異指標(biāo)數(shù)值的大小與平均數(shù)代表性的大小存在著〔〕A、正比關(guān)系B、反比關(guān)系C、恒等關(guān)系D、倒數(shù)關(guān)系2、兩個(gè)總體的平均數(shù)不等，但標(biāo)準(zhǔn)差相等，那么()A、平均數(shù)小代表性大B、平均數(shù)大代表性大C、平均數(shù)小代表性小D、平均數(shù)大代表性小3、比較兩個(gè)單位的資料，甲的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙的標(biāo)準(zhǔn)差，那么〔〕A、兩個(gè)單位的平均數(shù)代表性相同B、甲單位平均數(shù)代表性大于乙單位C、乙單位平均數(shù)代表性大于甲單位D、不能確定哪個(gè)單位的平均數(shù)代表性大4、某地區(qū)2300戶家庭年收入：人均年收入〔元〕戶數(shù)〔戶〕500元以下30500—1000112100020004202000—25004802500—30007803000—35002503500元以上100合計(jì)2300求中位數(shù)和眾數(shù)。5、甲商店職工的平均工資為705元，其標(biāo)準(zhǔn)差為120元；乙商店職工工資的資料如下：要求：試比較兩商店職工平均工資代表性的強(qiáng)弱。按月工資額分組〔元〕職工人數(shù)〔人〕400以下4400—500