二次函數(shù)與一元二次方程1

二次函數(shù)與一元二次方程1第一頁，共44頁。學習目標1.通過探索，理解二次函數(shù)與一元二次方程(不等式）之間的聯(lián)系.(難點）2.能運用二次函數(shù)及其圖象、性質(zhì)確定方程的解或不等式的解集.（重點）3.了解用圖象法求一元二次方程的近似根.第一頁第二頁，共44頁。導入新課情境引入問題如圖，以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時，球的飛行路線將是一條拋物線，如果不考慮空氣的阻力，球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有關系：

h=20t-5t2，考慮以下問題：第二頁第三頁，共44頁。講授新課二次函數(shù)與一元二次方程的關系一（1）球的飛行高度能否達到15m？如果能，需要多少飛行時間？Oht1513∴當球飛行1s或3s時，它的高度為15m.解：解方程15=20t-5t2,

t2-4t+3=0,

t1=1,t2=3.你能結合上圖，指出為什么在兩個時間求的高度為15m嗎？h=20t-5t2第三頁第四頁，共44頁。（2）球的飛行高度能否達到20m？如果能，需要多少飛行時間？你能結合圖形指出為什么只在一個時間球的高度為20m？Oht202解方程：20=20t-5t2,t2-4t+4=0,t1=t2=2.當球飛行2秒時，它的高度為20米.h=20t-5t2第四頁第五頁，共44頁。（3）球的飛行高度能否達到20.5m？如果能，需要多少飛行時間？Oht你能結合圖形指出為什么球不能達到20.5m的高度?20.5解方程：20.5=20t-5t2,t2-4t+4.1=0,因為(-4)2-4×4.1<0,所以方程無解.即球的飛行高度達不到20.5米.h=20t-5t2第五頁第六頁，共44頁。（4）球從飛出到落地要用多少時間？Oht0=20t-5t2,t2-4t=0,t1=0,t2=4.當球飛行0秒和4秒時，它的高度為0米.即0秒時球地面飛出，4秒時球落回地面.h=20t-5t2第六頁第七頁，共44頁。（3）球的飛行高度能否達到20.5m？如果能，需要多少飛行時間？Oht你能結合圖形指出為什么球不能達到20.5m的高度?20.5解方程：20.5=20t-5t2,t2-4t+4.1=0,因為(-4)2-4×4.1<0,所以方程無解.即球的飛行高度達不到20.5米.h=20t-5t2第七頁第八頁，共44頁。

從上面發(fā)現(xiàn)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c何時為一元二次方程?

一般地，當y取定值且a≠0時，二次函數(shù)為一元二次方程.如：y=5時，則5=ax2+bx+c就是一個一元二次方程.為一個常數(shù)（定值）第八頁第九頁，共44頁。所以二次函數(shù)與一元二次方程關系密切．例如，已知二次函數(shù)y=－x2＋4x的值為3，求自變量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反過來，解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函數(shù)y=x2－4x+3的值為0，求自變量x的值．第九頁第十頁，共44頁。利用二次函數(shù)深入討論一元二次方程二思考觀察思考下列二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點嗎？如果有，公共點的橫坐標是多少？當x取公共點的橫坐標時，函數(shù)的值是多少？由此你能得出相應的一元二次方程的根嗎？（1）y=x2+x-2；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2-x+1.第十頁第十一頁，共44頁。1xyOy=x2－6x＋9y=x2－x＋1y=x2＋x－2觀察圖象，完成下表：拋物線與x軸公共點個數(shù)公共點橫坐標相應的一元二次方程的根y=x2－x＋1y=x2－6x＋9y=x2＋x－20個1個2個x2-x+1=0無解0x2-6x+9=0，x1=x2=3-2,1x2+x-2=0，x1=-2,x2=1第十一頁第十二頁，共44頁。知識要點二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac有兩個交點有兩個不相等的實數(shù)根b2-4ac>0有兩個重合的交點有兩個相等的實數(shù)根b2-4ac

=0沒有交點沒有實數(shù)根b2-4ac<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的坐標與一元二次方程ax2+bx+c=0根的關系第十二頁第十三頁，共44頁。例1：已知關于x的二次函數(shù)y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求證：此拋物線與x軸總有兩個交點；(2)若此拋物線與x軸總有兩個交點，且它們的橫坐標都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值．(1)證明：∵m≠0，∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0，∴Δ≥0，∴此拋物線與x軸總有兩個交點；第十三頁第十四頁，共44頁。（3）球的飛行高度能否達到20.5m？如果能，需要多少飛行時間？Oht你能結合圖形指出為什么球不能達到20.5m的高度?20.5解方程：20.5=20t-5t2,t2-4t+4.1=0,因為(-4)2-4×4.1<0,所以方程無解.即球的飛行高度達不到20.5米.h=20t-5t2第十四頁第十五頁，共44頁。(2)解：令y＝0，則(x－1)(mx－2)＝0，所以x－1＝0或mx－2＝0，解得x1＝1，x2＝.當m為正整數(shù)1或2時，x2為整數(shù)，即拋物線與x軸總有兩個交點，且它們的橫坐標都是整數(shù)．所以正整數(shù)m的值為1或2.例1：已知關于x的二次函數(shù)y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求證：此拋物線與x軸總有兩個交點；(2)若此拋物線與x軸總有兩個交點，且它們的橫坐標都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值．第十五頁第十六頁，共44頁。變式：已知：拋物線y＝x2＋ax＋a－2.(1)求證：不論a取何值時，拋物線y＝x2＋ax＋a－2與x軸都有兩個不同的交點；(2)設這個二次函數(shù)的圖象與x軸相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和為3，求a的值．(1)證明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴不論a取何值時，拋物線y＝x2＋ax＋a－2與x軸都有兩個不同的交點；(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，∴x1(2)＋x2(2)＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，∴a＝1.第十六頁第十七頁，共44頁。例2如圖，丁丁在扔鉛球時，鉛球沿拋物線

運行，其中x是鉛球離初始位置的水平距離，y是鉛球離地面的高度.（1）當鉛球離地面的高度為2.1m時，它離初始位置的水平距離是多少？（2）鉛球離地面的高度能否達到2.5m，它離初始位置的水平距離是多少？（3）鉛球離地面的高度能否達到3m？為什么？第十七頁第十八頁，共44頁。解

（1）由拋物線的表達式得即解得即當鉛球離地面的高度為2.1m時，它離初始位置的水平距離是1m或5m.（1）當鉛球離地面的高度為2.1m時，它離初始位置的水平距離是多少？第十八頁第十九頁，共44頁。（2）鉛球離地面的高度能否達到2.5m，它離初始位置的水平距離是多少？（2）由拋物線的表達式得

即解得即當鉛球離地面的高度為2.5m時，它離初始位置的水平距離是3m.第十九頁第二十頁，共44頁。（3）由拋物線的表達式得即因為所以方程無實根.所以鉛球離地面的高度不能達到3m.（3）鉛球離地面的高度能否達到3m？為什么？第二十頁第二十一頁，共44頁。一元二次方程與二次函數(shù)緊密地聯(lián)系起來了.

第二十一頁第二十二頁，共44頁。例3：求一元二次方程的根的近似值（精確到0.1）.分析：一元二次方程x2-2x-1=0的根就是拋物線y=x2-2x-1與x軸的交點的橫坐標，因此我們可以先畫出這條拋物線，然后從圖上找出它與x軸的交點的橫坐標，這種解一元二次方程的方法叫作圖象法.利用二次函數(shù)求一元二次方程的近似解三第二十二頁第二十三頁，共44頁。解：畫出函數(shù)y=x2-2x-1的圖象（如下圖），由圖象可知，方程有兩個實數(shù)根，一個在-1與0之間,另一個在2與3之間.第二十三頁第二十四頁，共44頁。

先求位于-1到0之間的根，由圖象可估計這個根是-0.4或-0.5，利用計算器進行探索，見下表：x…-0.4-0.5…y…-0.040.25…觀察上表可以發(fā)現(xiàn)，當x分別取-0.4和-0.5時，對應的y由負變正，可見在-0.5與-0.4之間肯定有一個x使y=0，即有y=x2-2x-1的一個根，題目只要求精確到0.1，這時取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但當x=-0.4時更為接近0.故x1≈-0.4.同理可得另一近似值為x2≈2.4.第二十四頁第二十五頁，共44頁。一元二次方程的圖象解法利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.(1)用描點法作二次函數(shù)y=2x2+x-15的圖象；(2)觀察估計二次函數(shù)

y=2x2+x-15的圖象與x軸的交點的橫坐標；由圖象可知,圖象與x軸有兩個交點,其橫坐標一個是-3,另一個在2與3之間,分別約為-3和2.5(可將單位長再十等分,借助計算器確定其近似值);(3)確定方程2x2+x-15=0的解;由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根為:x1≈-3,x2≈2.5.方法歸納第二十五頁第二十六頁，共44頁。例4:已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根為(

)A．x1≈－2.1，x2≈0.1B．x1≈－2.5，x2≈0.5C．x1≈－2.9，x2≈0.9D．x1≈－3，x2≈1解析：由圖象可得二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的對稱軸為x＝－1，而對稱軸右側(cè)圖象與x軸交點到原點的距離約為0.5，∴x2≈0.5；又∵對稱軸為x＝－1，則

＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故選B.B第二十六頁第二十七頁，共44頁。

解答本題首先需要根據(jù)圖象估計出一個根，再根據(jù)對稱性計算出另一個根，估計值的精確程度，直接關系到計算的準確性，故估計盡量要準確．方法總結第二十七頁第二十八頁，共44頁。二次函數(shù)與一元二次不等式的關系(拓展)四問題1函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖，那么方程ax2+bx+c=0的根是_____

_____;不等式ax2+bx+c>0的解集是___________;不等式ax2+bx+c<0的解集是_________.

3-1Oxyx1=-1，x2=3x<-1或x>3-1<x<3合作探究第二十八頁第二十九頁，共44頁。拓廣探索：函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖，那么方程ax2+bx+c=2的根是______________;不等式ax2+bx+c>2的解集是___________;不等式ax2+bx+c<2的解集是_________.

3-1Ox2(4,2)(-2,2)x1=-2，x2=4x<-2或x>4-2<x<4y第二十九頁第三十頁，共44頁。問題2：如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠2的一切實數(shù)，那么函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有____個交點，坐標是______.方程ax2+bx+c=0的根是______.1(2,0)x=22Ox第三十頁第三十一頁，共44頁。問題3：如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）沒有實數(shù)根，那么函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有______個交點；不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？0解：（1）當a>0時,ax2+bx+c<0無解；（2）當a＜0時,ax2+bx+c<0的解集是一切實數(shù).3-1Ox第三十一頁第三十二頁，共44頁。試一試：利用函數(shù)圖象解下列方程和不等式:(1)①-x2+x+2=0;②-x2+x+2>0;③-x2+x+2<0.(2)①x2-4x+4=0;②x2-4x+4>0;③x2-4x+4<0.(3)①-x2+x-2=0;②-x2+x-2>0;③-x2+x-2<0.xy020xy-12xy0y=-x2+x+2x1=-1,x2=21＜x＜2x1＜-1,x2＞2x2-4x+4=0

x=2

x≠2的一切實數(shù)

x無解-x2+x-2=0

x無解

x無解

x為全體實數(shù)第三十二頁第三十三頁，共44頁。知識要點二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點a＞0a＜0

有兩個交點x1,x2（x1＜x2）有一個交點x0沒有交點二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的坐標與一元二次不等式的關系y＜0，x1＜x＜x2.y＞0，x2＜x或x＜x2.y＞0，x1＜x＜x2.y＜0，x2＜x或x＜x2.y＞0.x0之外的所有實數(shù)；y＜0，無解y＜0.x0之外的所有實數(shù)；y＞0，無解.y＞0，所有實數(shù)；y＜0，無解y＜0，所有實數(shù)；y＞0，無解第三十三頁第三十四頁，共44頁。

判斷方程

ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c為常數(shù))一個解x的范圍是（）

A.3<x<3.23B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26

x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09C1.根據(jù)下列表格的對應值:當堂練習第三十四頁第三十五頁，共44頁。2．若二次函數(shù)y=-x2+2x+k的部分圖象如圖所示，且關于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一個解x1=3，則另一個解x2=

；-1yOx133.一元二次方程3x2+x－10=0的兩個根是x1=－2，x2=，那么二次函數(shù)y=3x2+x－10與x軸的交點坐標是

.(-2，0)(，0)第三十五頁第三十六頁，共44頁。4.若一元二次方程無實根，則拋物線圖象位于（）A.x軸上方B.第一、二、三象限C.x軸下方D.第二、三、四象限A5.二次函數(shù)y＝kx2－6x＋3的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是(

)A．k<3B．k<3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠0D第三十六頁第三十七頁，共44頁。6.已知函數(shù)y＝(k－3)x2＋2x＋1的圖象與x軸有交點，求k的取值范圍．解：當k＝3時，函數(shù)y＝2x＋1是一次函數(shù)．∵一次函數(shù)y＝2x＋1與x軸有一個交點，∴k＝3；當k≠3時，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函數(shù)．∵二次函數(shù)y＝(k－3)x2＋2x＋1的圖象與x軸有交點，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.綜上所述，k的取值范圍是k≤4.第三十七頁第三十八頁，共44頁。7.某學校初三年級的一場籃球比賽中，如圖，隊員甲正在投籃，已知球出手時距地面

米，與籃框中心的水平距離為7米，當球出手后水平距離為4米時到達最大高度4米，設籃球運行軌跡為拋物線，籃框距地面3米．

(1)建立如圖所示的平面直角坐標系，問