2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)-最優(yōu)方案問(wèn)題(解析版)

最優(yōu)方案問(wèn)題【典例1】某市繼2019年成功創(chuàng)建全國(guó)文明城市之后，又準(zhǔn)備爭(zhēng)創(chuàng)全國(guó)衛(wèi)生城市.某小區(qū)積極響應(yīng)，決定在小區(qū)內(nèi)安裝垃圾分類的溫馨提示牌和垃圾箱，若購(gòu)買2個(gè)溫馨提示牌和3個(gè)垃圾箱共需550元，且垃圾箱的單價(jià)是溫馨提示牌單價(jià)的3倍.求溫馨提示牌和垃圾箱的單價(jià)各是多少元？該小區(qū)至少需要安放48個(gè)垃圾箱，如果購(gòu)買溫馨提示牌和垃圾箱共100個(gè)，且費(fèi)用不超過(guò)10000元，請(qǐng)你列舉出所有購(gòu)買方案，并指出哪種方案所需資金最少？最少是多少元？【解題思路】根據(jù)“購(gòu)買2個(gè)溫馨提示牌和3個(gè)垃圾箱共需550元”，建立方程求解即可得出結(jié)論；根據(jù)“費(fèi)用不超過(guò)10000元和至少需要安放48個(gè)垃圾箱”，建立不等式即可得出結(jié)論.【解答過(guò)程】設(shè)溫馨提示牌的單價(jià)為x元，則垃圾箱的單價(jià)為3x元，根據(jù)題意，得2x+3X3x=550，/.x=50.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，3x=150元.即溫馨提示牌和垃圾箱的單價(jià)分別是50元和150元；設(shè)購(gòu)買溫馨提示牌y個(gè)(y為正整數(shù))，則垃圾箱為(100-y)個(gè)，根據(jù)題意，得100-￥>4850v+150(10D-v)^OOOD???50WyW52.???y為正整數(shù)，???y為50,51,52，共3種方案.即溫馨提示牌50個(gè)，垃圾箱50個(gè)；溫馨提示牌51個(gè)，垃圾箱49個(gè)；溫馨提示牌52個(gè)，垃圾箱48個(gè)．根據(jù)題意，費(fèi)用為50y+150(100—y)=—100y+15000,當(dāng)y=52時(shí)，所需資金最少，最少是9800元.【總結(jié)歸納】本例題屬于經(jīng)濟(jì)類方案設(shè)計(jì)問(wèn)題，用方程、不等式知識(shí)，是通過(guò)計(jì)算比較獲得解決問(wèn)題的方案的.此題主要考查了一元一次不等式組，一元一次方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)等知識(shí)，正確找出相等關(guān)系是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.【典例2】為拓寬學(xué)生視野，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)適應(yīng)社會(huì)，促進(jìn)書本知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)的深度融合，我市某中學(xué)決定組織部分班級(jí)去赤壁開展研學(xué)旅行活動(dòng)，在參加此次活動(dòng)的師生中，若每位老師帶17個(gè)學(xué)生，還剩12個(gè)學(xué)生沒(méi)人帶；若每位老師帶18個(gè)學(xué)生，就有一位老師少帶4個(gè)學(xué)生.現(xiàn)有甲、乙兩種大客車，它們的載客量和租金如表所示.甲種客車乙種客車載客量/(人/輛)3042租金/(元/輛)300400學(xué)校計(jì)劃此次研學(xué)旅行活動(dòng)的租車總費(fèi)用不超過(guò)3100元，為了安全，每輛客車上至少要有2名老師.參加此次研學(xué)旅行活動(dòng)的老師和學(xué)生各有多少人？既要保證所有師生都有車坐，又要保證每輛客車上至少要有2名老師，可知租用客車總數(shù)為輛；你能得出哪幾種不同的租車方案？其中哪種租車方案最省錢？請(qǐng)說(shuō)明理由.【解題思路】設(shè)出老師有X名，學(xué)生有y名，得出二元一次方程組，解出即可；根據(jù)汽車總數(shù)不能小于300/42=50/7(取整為8)輛，即可求出；⑶設(shè)租用x輛乙種客車，則甲種客車數(shù)為(8—x)輛，由題意，得400x+300(8—x)W3100，得x的取值范圍，分析得出即可.【解答過(guò)程】(1)設(shè)老師有x名，學(xué)生有y名.根據(jù)題意，列方程組為17丸=廠口■r17丸=廠口■r解得玄=1呂t=2S4故老師有故老師有16名，學(xué)生有284名.(2)J每輛客車上至少要有2名老師,???汽車總數(shù)不能大于8輛.又要保證300名師生有車坐，汽車總數(shù)不能小于又要保證300名師生有車坐，汽車總數(shù)不能小于30050"42=~7(取整為8)輛,綜上可知汽車總數(shù)為8輛.故答案為&設(shè)租用x輛乙種客車，則甲種客車數(shù)為(8—x)輛，???車總費(fèi)用不超過(guò)3100元，???400x+300(8—x)W3100，解得xW7.為使300名師生都有座，???42x+30(8—x)三300，解得x三5.5WxW7(x為整數(shù)).???共有3種租車方案：方案一：租用甲種客車3輛，乙種客車5輛，租車費(fèi)用為2900元;方案二：租用甲種客車2輛，乙種客車6輛，租車費(fèi)用為3000元；方案三：租用甲種客車1輛，乙種客車7輛，租車費(fèi)用為3100元；故最節(jié)省費(fèi)用的租車方案是：租用甲種客車3輛，乙種客車5輛.【典例3】有一張邊長(zhǎng)為a厘米的正方形桌面，因?yàn)閷?shí)際需要，需將正方形邊長(zhǎng)增加b厘米，木工師傅設(shè)計(jì)了如圖所示的三種方案：萬(wàn)案一方案二小紅發(fā)現(xiàn)這三種方案都能驗(yàn)證公式:a2+2ab+b2=(a+b)2對(duì)于方案一，小明是這樣驗(yàn)證的:a2+ab+ab+b2二a2+2ab+b2=(a+b))請(qǐng)你根據(jù)方案二、方案三，寫出公式的驗(yàn)證過(guò)程.【解題思路】根據(jù)題目中的圖形面積可以分別寫出方案二和方案三的推導(dǎo)過(guò)程，來(lái)解決問(wèn)題.【解答過(guò)程】根據(jù)由題意，得萬(wàn)案二:a2+ab+(a+b)b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b))〉一方案三:屮I［住+@+占妙|［空+仗+巧0=a*+ab+—b;+ab+—b222=a2+2ab+b2=(a+b)2【總結(jié)歸納】本例題考查完全平方公式的幾何背景，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫出相應(yīng)的推導(dǎo)過(guò)程.【典例4】已知某種水果的批發(fā)單價(jià)與批發(fā)量的函數(shù)關(guān)系如下圖4-1所示.排撓單橋(元)02060批好(血)4-1請(qǐng)說(shuō)明圖中①、②兩段函數(shù)圖象的實(shí)際意義；寫出批發(fā)該種水果的資金金額w(元)與批發(fā)量n(kg)之間的函數(shù)關(guān)系式；在圖4-2的坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)圖象；指出金額在什么范圍內(nèi)，以同樣的資金可以批發(fā)到較多數(shù)量的該種水果；圭UW〔元)100fW呃如也巻「心4-2經(jīng)調(diào)查，某經(jīng)銷商銷售該種水果的日最高銷量與零售價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系如圖4-3所示.該經(jīng)銷商擬每日售出60kg以上該種水果，且當(dāng)日零售價(jià)不變，請(qǐng)你幫助該經(jīng)銷商設(shè)計(jì)進(jìn)貨和銷售的方案，使得當(dāng)日獲得的利潤(rùn)最大?E■斗塢暫ci￡)4-3【解答過(guò)程】圖①表示批發(fā)量不少于20kg且不多于60kg的該種水果，可按5元/kg批發(fā)；圖②表示批發(fā)量高于60kg的該種水果，可按4元/kg批發(fā).根據(jù)題意，得切(20^60)w=■4??(川乂0}函數(shù)圖象如圖4-4所示.■僉曲*畑□mg呦O1?i4-4由函數(shù)圖象可知，資金金額滿足240<wW300時(shí)，以同樣的資金可批發(fā)到較多數(shù)量的該種水果?(3)解法一：設(shè)當(dāng)日零售價(jià)為x元，由函數(shù)圖象可得日最高銷量

n=320—40x,當(dāng)n>60時(shí)，x<6.5.根據(jù)題意，銷售利潤(rùn)為y=(x-4)(320-40x)=40(x-4)(8-x)=40[-(x-6)2+4]從而x=6時(shí)，y最大值二160，此時(shí)n二80.即銷售商應(yīng)批發(fā)80kg該種水果，日零售價(jià)定為6元/kg，當(dāng)日可得最大利潤(rùn)160元?解法二：設(shè)日最高銷售量為xkg(x>60).則由圖4-3可知日零售價(jià)p滿足x=320-40p.則p=(320-x)/40.銷售利潤(rùn)320-x320-x401=-40(：x-80)2+160從而x=80時(shí)，y最大值二160，此時(shí)p=6?即銷售商應(yīng)批發(fā)80kg該種水果，日零售價(jià)定為6元/kg，當(dāng)日可得最大利潤(rùn)160元?【典例5】某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元.當(dāng)售價(jià)為每件60元時(shí)，每星期可賣出300件,現(xiàn)需降價(jià)處理，且經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查：每降價(jià)1元，每星期可多賣出20件.在確保盈利的前提下，解答下列問(wèn)題：若設(shè)每件降價(jià)x元、每星期售出商品的利潤(rùn)為y元，請(qǐng)寫出y與X的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量X的取值范圍；當(dāng)降價(jià)多少元時(shí)，每星期的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

【答案】：當(dāng)降價(jià)2.5元時(shí)，每星期的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是6125元.【分析】：這是一道與商品銷售有關(guān)的最優(yōu)化問(wèn)題．首先根據(jù)“利潤(rùn)=(售價(jià)－進(jìn)價(jià))X銷售量”構(gòu)建二次函數(shù)，然后通過(guò)配方或用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出最值.【解析】：(1)y=(60－x－40)(300+20x)=6000+400x—300x—20x2=—20x2+100x+6000自變量x的取值范圍是0WXW20.(2)Ta=—20〈0,???函數(shù)有最大值,b100b1002a2x(-20)_2.5，24x(-20)x6000-10024ac-b2__612544X(-20)??.當(dāng)x=2.5時(shí)，y的最大值是6125.?當(dāng)降價(jià)2.5元時(shí)，每星期的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是6125元.【典例6】現(xiàn)有一塊矩形場(chǎng)地，如圖1所示，長(zhǎng)為40m,寬為30m，要將這塊地劃分為四塊分別種植：A?蘭花；B?菊花；C?月季；D?牽?；?求出這塊場(chǎng)地中種植B菊花的面積y與B場(chǎng)地的長(zhǎng)X之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自為量的取值范圍．當(dāng)x是多少時(shí)，種植菊花的面積最大？最大面積是多少？【答案】：當(dāng)x_15m時(shí)，種植菊米的面積最大，最大面積為225m2.【分析】：這是花草種植面積的最優(yōu)化問(wèn)題，先根據(jù)矩形的面積公式列出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再利用配方法或公式法求得最大值.【解析】:(1)由題意知，B場(chǎng)地寬為(30—x)my_x(30一x)_-x2+30x，自變量x的取值范圍為0<x<30(2)y_-x2+30x_-(x-15)2+225當(dāng)x_15m時(shí)，種植菊米的面積最大，最大面積為225m2.

點(diǎn)評(píng)：求解與二次函數(shù)有關(guān)的最優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，首先要根據(jù)題意構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式，然后再利用配方法或公式法求得最大值．有一點(diǎn)大家一定要注意：頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在自變量的取值范圍內(nèi)時(shí)，二次函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最值；頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不在自變量的取值范圍內(nèi)時(shí)，要根據(jù)題目條件，具體分析，才能求出符合題意的最值．【典例7】某人定制了一批地磚，每塊地磚(如圖1(1)所示)是邊長(zhǎng)為0.4米的正方形ABCD,點(diǎn)E、F分別在邊BC和CD上，△CFE’AABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成△CFE、△ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價(jià)格依次為30元、20元、10元，若將此種地磚按圖1(2)所示的形式鋪設(shè)，且能使中間的陰影部分組成四邊形EFGH.(1)判斷圖⑵中四邊形EFGH是何形狀，并說(shuō)明理由；⑵E、F在什么位置時(shí)，定制這批地磚所需的材料費(fèi)用最省?ADFBEC(1)(2)圖1【答案】(1)四邊形EFGH是正方形.(2)當(dāng)CE=CF=0.1米時(shí)總費(fèi)用最省.ADFBEC(1)(2)圖1【分析】：(1)通過(guò)觀察圖形，可猜想四邊形EFGH是正方形。要注意圖形中隱含的條件,由圖1⑵可得△CEF是等腰直角三角形,即可說(shuō)明四邊形EFGH是正方形;(2)設(shè)CE=x，則BE=0.4—x,每塊地磚的費(fèi)用為y,分別求出厶CFE、AABE和四邊形AEFD的面積，再根據(jù)價(jià)格列出y與x的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而借助最值公式求得最小值。【解析】：(1)四邊形EFGH是正方形.圖1(2)可以看作是由四塊圖1(1)所示地磚繞C點(diǎn)按順(逆)時(shí)針?lè)较蛞来涡D(zhuǎn)90°后得到的，故CE=CF=CG=CH..?.△CEF、ACFG、ACGH、△CHE是四個(gè)全等的等腰直角三角形.因此EF=FG=GH=HE,ZFEH=ZEFG=ZGHE=ZFGH=90°，因此四邊形EFGH是正方形.⑵設(shè)CE=x,貝yBE=0.4—x,每塊地磚的費(fèi)用為y,那么y=1x2X30+1X0.4X(0.4-x)X