數(shù)學(xué)物理方程-分離變量法

第二章分離變量法

齊次發(fā)展（演化）問題的求解齊次穩(wěn)定場問題的求解非齊次問題的求解多變量推廣本章小結(jié)§2.1齊次發(fā)展方程的分離變量法一分離變量法簡介研究兩端固定的理想弦的自由振動(dòng)，即定解問題

設(shè)代入上述波動(dòng)方程和邊界條件得

方程、邊界條件均齊次用遍除

兩邊相等顯然是不可能的，除非兩邊實(shí)際上是同一個(gè)常數(shù)，把這個(gè)常數(shù)記作------

這可以分離為關(guān)于X的常微分方程和關(guān)于T的常微分方程，且邊界條件也同樣進(jìn)行分離稱為固有值（本征值）問題

1、在λ<0時(shí)，方程的解是

積分常數(shù)和由邊界條件確定

由此解出=0,=0，從而

2、λ=0

時(shí)方程的解是則仍然解出

3、λ>0的情況

方程的解是

只有才能保證，方程有非零解

此時(shí)再看關(guān)于T的方程

于是或

稱為固有值，

稱為固有函數(shù)

這個(gè)方程的解

分離變量的形式解

(n=1,2,3,…)

由疊加原理，一般解為：

現(xiàn)在要求出疊加系數(shù)和

滿足初始條件

方程左邊是傅里葉正弦級數(shù),這就提示我們把右邊的展開為傅里葉正弦級數(shù)，然后比較傅里葉系數(shù)，得，則可得原問題的解：

按上述公式計(jì)算出系數(shù)和注：該解稱為古典解，在求解中我們假設(shè)無窮級數(shù)是收斂的。

如上的方法稱為分離變量法，是齊次發(fā)展方程求解的一個(gè)有效方法。下面對該方法的步驟進(jìn)行總結(jié)。

分離變量流程圖固有值（特征值）問題偏微分方程

【例題1】

磁致伸縮換能器、魚群探測換能器等器件的核心是兩端自由的均勻桿，它作縱振動(dòng)。研究兩端自由棒的自由縱振動(dòng),即定解問題【解】設(shè)并代入方程得

分析：方程與邊界條件均為齊次，用分離變量法，根據(jù)分離變量法流程，分析如下分離變量流程圖固有值（特征值）問題現(xiàn)用遍除各項(xiàng)即得

經(jīng)討論，當(dāng)時(shí)有解

于是得固有值問題當(dāng)時(shí)有解

由定解條件得任意，于是有固有值和固有函數(shù)現(xiàn)確定積分常數(shù)，由條件知

由第一式可得

而只有

，因此第二式變?yōu)橛谑怯泄逃兄岛凸逃泻瘮?shù)現(xiàn)在需要求解綜上所述，該問題的固有值和固有函數(shù)分別為當(dāng)時(shí)有解

當(dāng)時(shí)有解其中均為獨(dú)立的任意常數(shù)。由初始條件得

把右邊的函數(shù)展成傅里葉余弦級數(shù),比較兩邊的系數(shù)，得

由疊加原理，一般解為【解】桿上溫度滿足下列泛定方程和定解條件

試探解

代入方程和邊界條件得固有值問題

【例題2】研究細(xì)桿導(dǎo)熱問題,初始時(shí)刻桿的一端溫度為零度,另一端跟外界絕熱，桿上初始溫度為,試求無熱源時(shí)細(xì)桿上溫度的變化。和常微分方程分析：方程與邊界條件均為齊次，用分離變量法，根據(jù)分離變量法流程，分析如下分離變量流程圖固有值（特征值）問題經(jīng)討論知，僅時(shí)有非零解，且只有由得由得于是得固有值和固有函數(shù)為由此得下面求解得由疊加原理，得確定系數(shù),由初值條件知

于是如取，則

從而下列問題

的解為圖形如下:(程序:my1)(a)精確解圖(b)瀑布圖

思考題：如何求解下面的波動(dòng)問題

習(xí)題：習(xí)題1（1）、（3）；習(xí)題2；習(xí)題3（2）；§2.2穩(wěn)定場齊次問題的分離變量法1矩形區(qū)域上拉普拉斯方程

【例題1】散熱片的橫截面為矩形。它的一邊處于較高溫度，邊處于冷卻介質(zhì)中而保持較低的溫度,其他兩邊，溫度保持為零，求解這橫截面上的穩(wěn)定溫度分布.【解】先寫出定解問題定解問題

方程齊次這組邊界條件齊次用分離變量法分離變量流程圖固有值（特征值）問題設(shè)形式解為：

代入上述泛定方程,得到得到固有值問題和常微分方程得固有值：

固有函數(shù)：

而于是有疊加得為確定疊加系數(shù)，將代入非齊次邊界條件

將等式右邊展開為傅里葉正弦級數(shù),并兩邊比較系數(shù)，得

聯(lián)立求解得故原問題的解為小結(jié)：對矩形域上拉普拉斯方程，只要一組邊界條件是齊次的，則可使用分離變量法求解。圖形如下：（程序：my2）(a)精確解圖(b)瀑布圖【例2】求解下列問題特點(diǎn)：邊界條件均非齊次

讓和分別滿足拉普拉斯方程,并各有一組齊次邊界條件，即則，而上面兩個(gè)定解問題分別用例1的方法求解。稱為定解問題的分拆。

【例題3】帶電的云跟大地之間的靜電場近似是勻強(qiáng)的，水平架設(shè)的輸電線處在這個(gè)靜電場之中，導(dǎo)線看成圓柱型，求導(dǎo)線外電場的電勢。

【解】先將物理問題表為定解問題。取圓柱的軸為z軸，物理問題與Z軸無關(guān)。圓柱面在平面的剖口是圓柱外的空間中沒有電荷，故滿足拉普拉斯方程

（在柱外）

可以看出，邊界條件無法分離變量，只能另辟蹊徑。在極坐標(biāo)下研究該問題，在極坐標(biāo)下，上述問題可表示成2圓形區(qū)域問題設(shè)分離變數(shù)形式的試探解為

代入拉普拉斯方程，得令此條件是根據(jù)電學(xué)原理加上的移項(xiàng)、整理后得：分離為兩個(gè)常微分方程

（自然邊界條件，附加）得固有值和固有函數(shù)為和固有值問題解得將本征值代入常微分方程，得到歐拉型常微分方程

作代換則，方程化為：

于是通解是

解得即一個(gè)傅里葉級數(shù)等于零,意味著所有傅里葉系數(shù)為零,即：

由此得：

由條件得主要部分是項(xiàng),可見在表達(dá)式中不應(yīng)出現(xiàn)高次冪，于是

最后得柱外的靜電勢為：由知結(jié)合前面系數(shù)關(guān)系，有習(xí)題6、8

§2.3非齊次方程的求解

設(shè)該問題的解為：例1求解有界弦的受迫振動(dòng)問題（Ⅰ）我們已經(jīng)知道，對應(yīng)齊次問題的固有函數(shù)系為又設(shè)因已知，所以

固有函數(shù)展開法（又稱傅立葉級數(shù)法）代入非齊次方程和初始條件得：用Laplace變換求解得：∴

方法總結(jié)：將未知函數(shù)和非齊次項(xiàng)按照對應(yīng)的齊次問題的固有函數(shù)展開，其展開系數(shù)為另一變量的未知函數(shù)，代入非齊次方程和初始條件確定該未知函數(shù)。設(shè)：【解】對應(yīng)齊次問題的固有函數(shù)系為代入泛定方程，得于是有例2求解有界弦的受迫振動(dòng)問題（Ⅱ）代入初始條件

于是：

當(dāng)時(shí)：

的解為

解釋推導(dǎo)：對應(yīng)齊次方程的通解為

設(shè)非齊次方程的特解為，解得

于是非齊次方程的通解為由定解條件得代入整理即得。故原問題的解為解釋【例題3】均勻細(xì)導(dǎo)線，每單位長的電阻為R通以恒定的電流I，導(dǎo)線表面跟周圍溫度為零度的介質(zhì)進(jìn)行熱量交換。設(shè)導(dǎo)線的初始溫度和兩端溫度都是零度，試求導(dǎo)線的溫度變化?！窘狻吭O(shè)導(dǎo)線的熱傳導(dǎo)系數(shù)、熱交換系數(shù)、比熱和密度分別為

，由熱量守恒定律其定解問題為：

對應(yīng)的齊次問題的固有函數(shù)為：，故令而其中代入方程，比較系數(shù)得：由常微分方程的知識(shí)：的解為知其中代入初始條件得：

于是：

從而原問題的解為習(xí)題10（2）、（3）

§2.4非齊次邊界條件問題

上一節(jié)研究了非齊次偏微分方程，齊次邊界條件的情況?，F(xiàn)在討論非齊次邊界條件下的情況?！纠?】長為、側(cè)面絕熱的均勻細(xì)桿，在的一端保持恒溫，另一端有熱流為的定常熱流進(jìn)入。設(shè)桿的初始溫度分布是，求桿上的溫度變化.【解】物理問題的定解問題按照疊加原理，將的定解問題分解為兩部分之和，滿足定解問題即解得滿足定解問題解釋為什么？由分離變量法知，其解為由初值條件知故與t無關(guān)，設(shè)v=v(x)小結(jié)：滿足定解問題即可邊界