橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程省賽一等獎

211橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程一、橢圓的定義：平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距。M幾點說明：1、F1、F2是兩個不同的定點；2、M是橢圓上任意一點，且|MF1||MF2|=常數(shù)；3、通常這個常數(shù)記為2a，焦距記為2c，且2a>2c（？）；4、如果2a=2c，則M點的軌跡是線段F1F25、如果2a<2c，則M點的軌跡不存在（由三角形的性質(zhì)知）下面我們來求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程?探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案OxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyM二、求橢圓的方程：原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單；一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標(biāo)軸對稱、“簡潔”O(jiān)YF1F2M如圖所示：F1、F2為兩定點,且|F1F2|=2c,求平面內(nèi)到兩定點F1、F2距離之和為定值2a（2a>2c的動點M的軌跡方程。解：以F1F2所在直線為軸,F1F2的中點為原點建立平面直角坐標(biāo)系,則焦點F1、F2的坐標(biāo)分別為-c,0、c,0。-c,0c,0,y設(shè)M（,y為所求軌跡上的任意一點，則:|MF1||MF2|=2aOYF1F2M-c,0c,0,y兩邊平方得：a4-2a2cc22=a22-2a2ca2c2a2y2即：a2-c22a2y2=a2a2-c2因為2a>2c，即a>c，所以a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中b>0，代入上式可得：b22a2y2=a2b2兩邊同時除以a2b2得：a>b>0這個方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它所表示的橢圓的焦點在軸上。aA1yOF1F2B2B1A2cb三、橢圓方程的兩種形式：如果橢圓的焦點在y軸上，焦點是F1o,-c、F20,c方程是怎樣呢？1oFyx2FM

圖形方程焦點F±c，0在Ｘ軸上F0，±c在Ｙ軸上a,b,c之間的關(guān)系c2=a2-b2||MF1||MF2|=2a｝2a>2c>0定義12yoFFMx1oFyx2FM四、兩類標(biāo)準(zhǔn)方程的對照表：（2）哪個分母大,焦點就在相應(yīng)的哪條坐標(biāo)軸上?。?）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個分式的平方和,右邊是1（3）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個參數(shù)a、b、c滿足a2=b2c2。（4）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個參數(shù)a、b、c的值。注意：5433,0、-3,06練習(xí)716(1)已知橢圓的方程為：，則a=_____，b=_______，c=_______，焦點坐標(biāo)為：____________焦距等于______;曲線上一點P到左焦點F1的距離為3，則點P到另一個焦點F2的距離等于_______，則三角形F1PF2的周長為___________F1F2XYPo2已知橢圓的方程為：，則a=_____，b=_______，c=_______，焦點坐標(biāo)為：___________焦距等于__________;若CD為過上焦點F2的弦，則F1CD的周長為________210,-1、0,12YOF2F1CD例１寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1a=4，b=1，焦點在軸上；2a=4，b=1，焦點在坐標(biāo)軸上；

或五、應(yīng)用舉例：例2求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：1兩焦點的坐標(biāo)分別是-4,0、4,0,橢圓上一點P到兩焦點距離之和等于10。2兩焦點的坐標(biāo)分別是-2,0、2,0,且橢圓經(jīng)過點P。課堂練習(xí)1：1口答：下列方程哪些表示橢圓？

若是,則判定其焦點在何軸？并指明，寫出焦點坐標(biāo).1、方程，分別求方程滿足下列條件的m的取值范圍：①表示一個圓；探究與互動：析：方程表示圓需要滿足的條件：1、方程，分別求方程滿足下列條件的m的取值范圍：①表示一個圓；②表示一個橢圓；探究與互動：析：方程表示一個橢圓需要滿足的條件：1、方程，分別求方程滿足下列條件的m的取值范圍：①表示一個圓；②表示一個橢圓；③表示焦點在軸上的橢圓。探究與互動：析：表示焦點在軸上的橢圓需要滿足的條件：解題感悟：方程表示橢圓時要看清楚限制條件,焦點在哪個軸上。練習(xí)2：若方程42y2=1表示的曲線是焦點在y軸上的橢圓，求的取值范圍。例（1）求焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過兩點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。2求與橢圓2/5＋y2/4＝1有公共焦點，且過點3,0的橢圓的