第六節(jié)二元一次不等式(組)與線性規(guī)劃

第六節(jié)二元一次不等式組與線性規(guī)劃學(xué)習(xí)要求:1了解二元一次不等式的幾何意義,能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組2會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題,并能解決1二元一次不等式表示的平面區(qū)域一般地,二元一次不等式AByC>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線AByC

=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域我們把直線畫(huà)成①虛線

以表示區(qū)域不

ByC≥0所表示的平面區(qū)域

時(shí),此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線,則把邊界直線畫(huà)成②實(shí)線

對(duì)于直線AByC=0同一側(cè)的所有點(diǎn),把其坐標(biāo),y代入AByC,所得到實(shí)

數(shù)的符號(hào)都相同,所以只需在此直線的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)0,y0,由A0By0

C的正負(fù)即可判斷AByC>0或<0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域必備知識(shí)

·

整合

2線性規(guī)劃的有關(guān)概念名稱(chēng)意義線性約束條件由關(guān)于x,y的③一次

不等式組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的函數(shù)解析式,如z=x+2y線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的④一次函數(shù)

解析式可行解滿足線性約束條件的解⑤(x,y)

可行域所有⑥可行解

組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得⑦最大值或最小值

的可行

解線性規(guī)劃問(wèn)題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或

最小值問(wèn)題?提醒

如果目標(biāo)函數(shù)存在一個(gè)最優(yōu)解,那么最優(yōu)解通常在可行域的頂點(diǎn)處

取得;如果目標(biāo)函數(shù)存在多個(gè)最優(yōu)解,那么最優(yōu)解一般在可行域的邊界上取得知識(shí)拓展1利用“同號(hào)上,異號(hào)下”判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域?qū)τ贏ByC>0或AByC<0A>0,C>0,有:1當(dāng)BAByC>0時(shí),區(qū)域?yàn)橹本€AByC=0的上方;2當(dāng)BAByC<0時(shí),區(qū)域?yàn)橹本€AByC=0的下方2最優(yōu)解和可行解的關(guān)系最優(yōu)解必定是可行解,但可行解不一定是最優(yōu)解最優(yōu)解不一定唯一,有時(shí)唯

一,有時(shí)有多個(gè)1判斷正誤正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“?”1不等式AByC>0A>0,B>0表示的平面區(qū)域一定在直線AByC=0的右

上方?2使目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)一定在可行域的頂點(diǎn)或邊界上3在目標(biāo)函數(shù)=abyb≠0中,的幾何意義是直線aby-=0在y軸上的截

距?4在目標(biāo)函數(shù)=?中,的幾何意義是過(guò)點(diǎn)1,2和,y的直線的斜率?

5在目標(biāo)函數(shù)=-12y-22中,的幾何意義是點(diǎn)1,2到點(diǎn),y的距離

√????6<0表示的區(qū)域在直線-2y6=0的?A右上方

B右下方

C左上方

D左下方C解析

畫(huà)出-2y6<0的圖象如圖中陰影部分所示,可知該區(qū)域在直線-2y

6=

3不等式組?所表示的平面區(qū)域的面積為

,y滿足不等式組?目標(biāo)函數(shù)=y-aa∈R若取最大值時(shí)的唯一解是1,3,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

1,∞

角度一平面區(qū)域的面積問(wèn)題典例11不等式組?表示的平面區(qū)域的面積為A4

B1

C5

D無(wú)窮大2不等式組?表示的平面區(qū)域的面積是A12

B24C36

D48

考點(diǎn)一二元一次不等式組表示的平面區(qū)域關(guān)鍵能力

·

突破

BB解析1不等式組?表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,△ABC的面積即為所求

易得A1,2,B2,2,C3,0,則△ABC的面積S=?×2-1×2=12不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分:

所求面積=?=典例21若不等式組?表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形,則a的取值范圍是

2已知約束條件?,表示面積為1的直角三角形區(qū)域,則實(shí)數(shù)的值為

角度二平面區(qū)域的形狀問(wèn)題10,1]∪?解析1不等式組?表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示

解?得A?;解?得B1,0若原不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形,則直線y=a中的a的取值范圍是0<a≤1或a≥?2作出約束條件表示的可行域,如圖中陰影部分所示,要使陰影部分為直角

三角形,則≥=0時(shí),此三角形的面積為?×3×3=?≠1,所以不符合題意所以>0,則必有BC⊥y-4=0的斜率為-1,所以直線-y=0的斜率

為1,即=1規(guī)律總結(jié)1確定二元一次不等式組表示的平面區(qū)域的方法1直線定界,特殊點(diǎn)定域即先作直線,再取特殊點(diǎn)并代入不等式組若滿足

不等式組,則不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)橹本€與特殊點(diǎn)同側(cè)的那部分區(qū)

域;否則就對(duì)應(yīng)與特殊點(diǎn)異側(cè)的平面區(qū)域;2當(dāng)不等式中帶等號(hào)時(shí),邊界為實(shí)線,不帶等號(hào)時(shí),邊界應(yīng)畫(huà)為虛線,特殊點(diǎn)常

取原點(diǎn)2求平面區(qū)域面積的方法1首先畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域,若不能直接畫(huà)出,則應(yīng)利用題目中的

已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組問(wèn)題,從而作出平面區(qū)域;2對(duì)平面區(qū)域進(jìn)行分析,若為三角形,則應(yīng)確定底與高若為規(guī)則的四邊形如

平行四邊形或梯形,則利用面積公式直接求解若為不規(guī)則圖形,則分割成幾

個(gè)規(guī)則圖形分別求解再求和即可1不等式組?所表示的平面區(qū)域的面積為

8解析

如圖,不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)橹苯翘菪侮幱安糠?易得A0,2,B

2,2,C2,7,D0,5,所以AD=3,AB=2,BC==?×35×2=8

2若不等式組?表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?且其面積等于?,則m的值為

1解析點(diǎn)縱坐標(biāo)

yA=1m,B點(diǎn)縱坐標(biāo)yB=?,C點(diǎn)橫坐標(biāo)C=-2m,所以S△ABD=S△ACD-S△BCD=?×22m×1m-?×22m×?=?=?,所以m=1或m=-3,因?yàn)楫?dāng)m=-3時(shí),不滿足題意,應(yīng)舍去,所以m=1

3不等式|-2||y-2|≤2所表示的平面區(qū)域的面積是

,周長(zhǎng)是

88?解析原不等式等價(jià)于?畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中正方形ABCD的內(nèi)部及邊界,正方形的

邊長(zhǎng)為2?,故面積為2?×2?=8,周長(zhǎng)為4×2?=8?

角度一求線性目標(biāo)函數(shù)的最值范圍典例3

2020課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,13,5分若,y滿足約束條件?則=7y的最大值為

考點(diǎn)二求線性目標(biāo)函數(shù)的最值范圍1解析作出可行域如圖,由=7y得y=-??,易知當(dāng)直線y=-??經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1,0時(shí),取得最大值,ma=17×0=1

典例4設(shè),y滿足條件?1求u=2y2的最大值與最小值;2求v=?的最大值與最小值;3求=|2y4|的最大值與最小值角度二求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值范圍解析畫(huà)出滿足條件的可行域,如圖中陰影部分所示包含邊界

12y2=u表示一組同心圓圓心為原點(diǎn)O,且同一圓上的點(diǎn),2y2的值都

相同,由圖象可知,當(dāng),y在可行域內(nèi)取值時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)圓O過(guò)C點(diǎn)時(shí),u最大,過(guò)點(diǎn)0,0時(shí),u最小,又C3,8,所以u(píng)ma=73,umin=02v=?表示可行域內(nèi)的點(diǎn)a=?=?,vmin=?=-43因?yàn)?|2y4|=?×?表示可行域內(nèi)的點(diǎn)P,y到直線2y4=0的距離的?倍,由圖象知點(diǎn)A到直線2y4=0的距離最小,點(diǎn)C到直線2y4=?,C3,8,所以當(dāng)=-?,y=?時(shí),min=?×?=?當(dāng)=3,y=8時(shí),ma=?×?=18角度三含參的線性規(guī)劃問(wèn)題典例51已知,y滿足約束條件?且=3y的最小值為2,則常數(shù)=

2若,y滿足約束條件?且目標(biāo)函數(shù)=a2y僅在點(diǎn)1,0處取得最小值,則a的取值范圍是

-2-4,2解析1?所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示包含邊界,由=3y得y=-??,結(jié)合圖形可知,當(dāng)直線y=-??過(guò)點(diǎn)A時(shí),最小,由?解得A2,-2-,此時(shí)min=23-2-=2,解得=-22作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示,直線=a2y的斜率

=-?,從圖中可看出,當(dāng)-1<-?<2,即-4<a<2時(shí),目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)1,0處取得最小值

名師點(diǎn)評(píng)1求目標(biāo)函數(shù)最值的方法1求目標(biāo)函數(shù)=abyab≠0的最值,將=aby轉(zhuǎn)化為直線的斜截式y(tǒng)=-??,通過(guò)求直線的截距?的最值間接求出的最值2?表示點(diǎn),y與原點(diǎn)0,0的距離,?表示點(diǎn),y與點(diǎn)a,b的距離3?表示點(diǎn),y與原點(diǎn)0,0連線的斜率,?表示點(diǎn),y與點(diǎn)a,b連線的斜率2由目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)的方法求解線性規(guī)劃中含參問(wèn)題的基本方法有兩種:一是把參數(shù)當(dāng)成常數(shù)用,根據(jù)線

性規(guī)劃問(wèn)題的求解方法求出最優(yōu)解,代入目標(biāo)函數(shù)確定最值,通過(guò)構(gòu)造方程或

不等式求參數(shù)的值或取值范圍;二是先分離含有參數(shù)的式子,再通過(guò)觀察的方

法確定含參的式子所滿足的條件,確定最優(yōu)解的位置,從而求出參數(shù),y滿足約束條件?若=ay的最大值為4,則a等于?A3

B2

C-2

D-3B解析

不等式組?表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示包含邊界

易知A2,0,由?得B1,1由=ay,得y=-a,所以當(dāng)a=-2或a=-3時(shí),=ay在點(diǎn)O0,0處取得最大值,最大值為0,不滿足題意,排除C,D;當(dāng)a=2或a=3

時(shí),=ay在點(diǎn)A2,0處取得最大值,所以2a=4,所以a=2,故選B、y滿足約束條件?1求目標(biāo)函數(shù)=32y的最大值與最小值;2求目標(biāo)函數(shù)u=2y2的取值范圍;3求目標(biāo)函數(shù)v=?的取值范圍解析不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)椤鰽BC含邊界1由圖可知,當(dāng)直線=32y,即直線y=-??過(guò)點(diǎn)B時(shí),該直線在軸上的截距