空間幾何中的向量方法

77空間幾何中的向量方法-2-知識梳理考點(diǎn)自診1直線的方向向量與平面的法向量1直線l上的非零向量e以及與的非零向量叫做直線l的方向向量

2如果表示非零向量n的有向線段所在直線平面α,那么稱向量n垂直于平面α,記作此時(shí)把叫做平面α的法向量

e共線垂直于n⊥α向量n-3-知識梳理考點(diǎn)自診2線面關(guān)系的判定設(shè)直線l1的方向向量為e1=a1,b1,c1,直線l2的方向向量為e2=a2,b2,c2,平面α的法向量為n1=1,y1,1,平面β的法向量為n2=2,y2,21若l1∥l2,則e1∥e2??2若l1⊥l2,則e1⊥e2??3若l1∥α,則e1⊥n1?e1·n1=0?

4若l1⊥α,則e1∥n1?e1=n1?

5若α∥β,則n1∥n2?n1=n2?

6若α⊥β,則n1⊥n2?n1·n2=0?

e2=λe1a2=λa1,b2=λb1,c2=λc1e1·e2=0a1a2b1b2c1c2=0a11b1y1c11=0a1=1,b1=y1,c1=11=2,y1=y2,1=212y1y212=0-4-知識梳理考點(diǎn)自診3利用空間向量求空間角1兩條異面直線所成的角①范圍:兩條異面直線所成的角θ的取值范圍是

②向量求法:設(shè)異面直線a,b的方向向量為a,b,直線a與b的夾角為θ,a與b的夾角為φ,則有cosθ=

2直線與平面所成的角①范圍:直線與平面所成的角θ的取值范圍是

②向量求法:設(shè)直線l的方向向量為a,平面α的法向量為u,直線l與平面α所成的角為θ,a與u的夾角為φ,則有sinθ=或cosθ=sinφ

|cosφ||cosφ|-5-知識梳理考點(diǎn)自診3二面角①范圍:二面角的取值范圍是

②向量求法:若AB,CD分別是二面角α-l-β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異面直線,則二面角的大小就是向量的夾角如圖①設(shè)n1,n2分別是二面角α-l-β的兩個(gè)半平面α,β的法向量,則圖②中向量n1與n2的夾角的補(bǔ)角的大小就是二面角的平面角的大小;而圖③中向量n1與n2的夾角的大小就是二面角的平面角的大小

-6-知識梳理考點(diǎn)自診4利用空間向量求距離1點(diǎn)到平面的距離如圖所示,已知AB為平面α的一條斜線段,n為平面α的法向量,則B到平面α的距離為2線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距進(jìn)行求解-7-知識梳理考點(diǎn)自診-8-知識梳理考點(diǎn)自診1判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”1直線的方向向量是唯一確定的2平面的單位法向量是唯一確定的3若兩條直線的方向向量不平行,則這兩條直線不平行4若空間向量a垂直于平面α,則a所在直線與平面α垂直5兩條直線的方向向量的夾角就是這兩條直線所成的角6已知向量m,n分別是直線l的方向向量和平面α的法向量,若cos<m,n>=,則直線l與平面α所成的角為120°7已知兩平面的法向量分別為m=0,1,0,n=0,1,1,則兩平面所成的二面角的大小為45°××√√×××-9-知識梳理考點(diǎn)自診2如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為a,M,N分別為A1B和AC上的點(diǎn),A1M=AN=,則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是A斜交 B平行C垂直 內(nèi)B-10-知識梳理考點(diǎn)自診-11-知識梳理考點(diǎn)自診1中,AB=AA1,則AC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為C-12-知識梳理考點(diǎn)自診42019安徽合肥模擬在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=3,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),點(diǎn)D,則PQ長度的最小值為C-13-知識梳理考點(diǎn)自診-14-知識梳理考點(diǎn)自診52019福建漳州二模,8如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中點(diǎn)分別為E,F,則直線EF與平面AA1D1D所成角的正弦值為C-15-知識梳理考點(diǎn)自診-16-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3利用空間向量證明平行、垂直例1如圖,在四棱錐在,∥平面PAD;2平面PAB⊥平面PAD-17-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3證明:以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以CB,CD,CP所在的直線為軸、y軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-y∵PC⊥平面ABCD,∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角∴∠PBC=30°-18-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-19-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-20-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3思考用向量方法證明平行和垂直有哪些基本方法解題心得1用向量證明平行的方法1線線平行:證明兩直線的方向向量共線2線面平行:①證明直線的方向向量與平面的某一法向量垂直;②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行3面面平行:①證明兩平面的法向量為共線向量;②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題2用向量證明垂直的方法1線線垂直:證明兩直線的方向向量互相垂直,即證它們的數(shù)量積為零2線面垂直:證明直線的方向向量與平面的法向量共線3面面垂直:證明兩個(gè)平面的法向量垂直-21-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對點(diǎn)訓(xùn)練1如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1C1C和側(cè)面AA1-B1B都是正方形且互相垂直,M為AA1的中點(diǎn),N為BC1的中點(diǎn)求證:1MN∥平面A1B1C1;2平面MBC1⊥平面BB1C1C-22-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3證明:由題意知AA1,AB,AC兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系不妨設(shè)正方形AA1C1C的邊長為2,則A0,0,0,A12,0,0,B0,2,0,B12,2,0,C0,0,2,C12,0,2,M1,0,0,N1,1,11因?yàn)閹缀误w是直三棱柱,所以側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1-23-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)32設(shè)平面MBC1與平面BB1C1C的法向量分別為n1=1,y1,1,n2=2,y2,2令1=2,則平面MBC1的一個(gè)法向量為n1=2,1,-1同理可得平面BB1C1C的一個(gè)法向量為n2=0,1,1因?yàn)閚1·n2=2×01×1-1×1=0,所以n1⊥n2,所以平面MBC1⊥平面BB1C1C-24-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3利用空間向量求空間角多考向考向1求異面直線所成的角例22019河北衡水中學(xué)四調(diào),14已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為

思考如何利用向量法求異面直線所成的角-25-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析:以垂直于BC的方向?yàn)檩S,BC為y軸,BB1為軸建立空間直角坐標(biāo)系-26-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考向2求直線與平面所成的角例3如圖,四棱錐為線段AD上一點(diǎn),AM=2MD,所成角的正弦值為

思考如何利用向量法求直線與平面所成的角-27-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-28-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-29-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考向3求二面角的大小例42019四川成都二模,18如圖①,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分別為AB,CD的中點(diǎn),CD=2AB=2EF=4,折起,使平面BEFC⊥平面AEFD,得到如圖②所示的多面體1略;2求二面角M-AB-D的余弦值思考如何利用向量法求二面角-30-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解:2∵平面BEFC⊥平面AEFD,平面BEFC∩平面AEFD=EF,且EF⊥DF,∴DF⊥平面BEFC,∴DF⊥CF,∴DF,CF,EF兩兩垂直,以F為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以FD,FC,FE所在直線為,y,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,-31-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-32-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得1利用向量法求異面直線所成的角時(shí),是通過兩條直線的方向向量的夾角來求解,而兩異面直線所成角θ的范圍是兩向量的夾角α的范圍是,所以要注意二者的區(qū)別與聯(lián)系,應(yīng)有cosθ=|cosα|2利用向量法求線面角的方法①分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量,轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角或其補(bǔ)角;②通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角,取其余角就是斜線和平面所成的角-33-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)33利用空間向量求二面角的方法①分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個(gè)向量,則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大小;②通過平面的法向量來求,即設(shè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為n1和n2,則二面角的大小等于<n1,n2>或π-<n1,n2>應(yīng)注意結(jié)合圖形判斷二面角是銳角還是鈍角-34-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對點(diǎn)訓(xùn)練212019陜西寶雞中學(xué)模擬,10已知正三棱柱ABC-A1B1C1,AB=AA1=2,則異面直線AB1與CA1所成角的余弦值為C-35-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)322019黑龍江哈爾濱三中一模,19如圖所示,在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,四邊形ABCD為菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2①略;②求直線DD1與平面A1BD所成角的正弦值-36-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解:②∵四邊形ABCD為菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2,得DM=1,AM=,∴∠AMD=∠BAM=90°又∵AA1⊥底面ABCD,分別以AB,AM,AA1為軸、y軸、軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-y,-37-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)332019四川廣安診斷一,19如圖,在棱長為2的正方體ACBD-A1C1B1D1中,M是線段AB上的動點(diǎn)①略;②若點(diǎn)M是AB中點(diǎn),求二面角M-A1B1-C的余弦值;③略-38-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)33解:②∵在正方體ACBD-A1C1B1D1中,CB,CA,CC1兩兩互相垂直,則建立空間直角坐標(biāo)系C-y,如圖所示,則M1,1,0,A10,2,2,B12,0,2,C0,0,0,-39-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3求空間距離例5已知三棱錐P-ABC中,PA,PB,PC兩兩垂直,且PA=1,PB=2,PC=3,則點(diǎn)P到平面ABC的距離為

-40-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析:如圖所示,∵三棱錐P-ABC中,PA,PB,PC兩兩垂直,∴以P為原點(diǎn),PA為軸,PB為y軸,PC為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,∵PA=1,PB=2,PC=3,∴P0,0,0,A1,0,0,B0,2,0,C0,0,3,-41-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得利用空間向量求距離的基本方法:1兩點(diǎn)間的距離2點(diǎn)到平面的距離如圖所示,已知AB為平面α的一條斜線段,n為平面α的法向量,則B到平面α的距離為-42-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對點(diǎn)訓(xùn)練3在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中點(diǎn),則點(diǎn)A1到平面MBD的距離是A-43-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-44-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)31用向量知識證明立體幾何問題有兩種基本思路:一種是用向量表示幾何量,利用向量的運(yùn)算進(jìn)行判斷另一種是用向量的坐標(biāo)表示幾何量,共分三步:1建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系,用空間向量或坐標(biāo)