立體幾何中的向量方法(課時(shí))

32立體幾何中的向量方法第一課時(shí)向量方法的基本原理問題提出1立體幾何研究的主要問題有共點(diǎn)，共線，共面，平行，垂直，夾角，距離等，這些問題都與空間向量有著密切的內(nèi)在聯(lián)系，從而可以用向量方法解決立體幾何問題2立體幾何研究的基本對(duì)象是點(diǎn)、直線、平面以及由它們組成的空間圖形為了用空間向量解決立體幾何問題，首先必須把點(diǎn)、直線、平面的位置用向量表示出來，然后再建立相應(yīng)的解題原理3上一節(jié)所學(xué)習(xí)的內(nèi)容是空間向量的基礎(chǔ)知識(shí)，如何利用這些基礎(chǔ)知識(shí)解決立體幾何中的實(shí)際問題，是本節(jié)學(xué)習(xí)的主體內(nèi)容教材自學(xué)教材內(nèi)容：P102～P1041空間點(diǎn)、線、面的位置用向量分別如何表示？2如何用直線的方向向量和平面的法向量，表示空間直線、平面間的平行與垂直關(guān)系？1空間點(diǎn)、線、面的位置用向量分別如何表示？（1）點(diǎn)的向量表示：取定點(diǎn)O作為基點(diǎn)，則空間中任意一點(diǎn)P的位置可以用向量表示(點(diǎn)P的位置向量).（2）直線的向量表示：①若直線l過點(diǎn)A，其方向向量為a，則l＝{P|ta，t∈R}；②若直線l過兩點(diǎn)A，B，則l＝{P|，t∈R}alAP（3）平面的向量表示：①若平面α過點(diǎn)O，a，b為平面α內(nèi)兩個(gè)不共線向量，則α＝{P|＝xa＋yb，x，y∈R}②若平面α過點(diǎn)O，l⊥α，a為直線l的方向向量(平面α的法向量)，則α＝{P|·a＝0}aOPα2如何用直線的方向向量和平面的法向量，表示空間直線、平面間的平行與垂直關(guān)系？設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為u，v，則（1）l//ma//ba＝kb；（2）l//αa⊥ua·u＝0；（3）α∥βu//vu＝kv；（4）l⊥ma⊥ba·b＝0；（5）l⊥αa//ua＝ku；（6）α⊥βu⊥vu·v＝0.拓展探究2如何用向量法求空間兩直線，直線與平面，平面與平面的夾角？1如何用向量法求點(diǎn)到平面的距離？設(shè)平面α的法向量為u，點(diǎn)A在平面α內(nèi)，則點(diǎn)P到平面α的距離OAαduP設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為u，v，則（1）直線l和m所成的角：（2）直線l和平面α所成的角：（3）平面α和平面β所成的角：aOAαBuθvOAαBuθPβ例1如圖所示,長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)為2，E為AA1中點(diǎn)直線AC1的一個(gè)方向向量坐標(biāo)為___________平面ABCD的一個(gè)法向量坐標(biāo)為___________平面BDE1的一個(gè)法向量的坐標(biāo)典例展示E因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直、夾角、距離等位置關(guān)系用向量方法解決立體問題2空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1,l2的方向向量分別為n1,n2l1∥l2n1∥n2?_______l1⊥l2n1⊥n2?________直線l的方向向量為n,平面α的法向量為ml∥αn⊥m?_______l⊥αn∥m?______平面α,β的法向量分別為n,mα∥βn∥m?______α⊥βn⊥m?_______n1=λn2n1·n2=0n·m=0n=λmn=λmn·m=0平行垂直平行四、題目練習(xí)1、根據(jù)方向向量確定兩直線的位置關(guān)系設(shè)分別是不重合的兩直線l1,l2的方向向量,根據(jù)下列條件,判斷l(xiāng)1,l2的位置關(guān)系.設(shè)是平面的法向量，是直線的方向向量,根據(jù)下列條件,判斷直線和平面的位置關(guān)系垂直平行2、根據(jù)直線的方向向量和平面的法向量確定線面的位置關(guān)系設(shè)分別是不重合的兩個(gè)平面α,β的法向量,根據(jù)下列條件,判斷α,β的位置關(guān)系垂直平行相交3、根據(jù)平面的法向量確定兩平面的位置關(guān)系例1如圖所示,長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)為2，E為AA1中點(diǎn)直線A1C的一個(gè)方向向量坐標(biāo)為___________平面ABCD的一個(gè)法向量坐標(biāo)為___________平面BDE的一個(gè)法向量的坐標(biāo)典例展示E求證：（1）A1C∥平面BDE（2）A1C⊥平面BDC1（3）平面BDE⊥平面BDC1例2四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，求證：PA//平面EDBABCDPEXYZG解1立體幾何法證明：連結(jié)AC,AC交BD于點(diǎn)G,連結(jié)EG在中，E，G分別為PC，AC的中點(diǎn)ABCDPEXYZG解2：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1證明：連結(jié)AC,AC交BD于點(diǎn)G,連結(jié)EGABCDPEXYZ解3：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1證明：設(shè)平面EDB的法向量為知能檢測(cè)1證明：如果平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線與這個(gè)平面平行l(wèi)mαaua·u＝0－A1B1C1D1中，E、F分別是AC、A1D上的點(diǎn)，且EF⊥AC，EF⊥A1D，求證：EF//BD1A1B1C1ABCD1DEFzxya小結(jié)作業(yè)1直線的方向向量和平面的法向量都不是惟一的，其方向有兩種可能，其模可以為任意正數(shù)，對(duì)平面α內(nèi)的任一向量p，若a·p＝0，則l⊥α3用向量方法研究與平面有關(guān)的問題時(shí)，一般利用平面的法向量進(jìn)行運(yùn)算作業(yè)：《自主學(xué)習(xí)冊(cè)》P105～P107第6課時(shí)32立體幾何中的向量方法第二課時(shí)向量方法的實(shí)際應(yīng)用問題提出1用向量法求空間角有哪些基本原理：設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為u，v，則（1）直線l和m所成的角：（2）直線l和平面α所成的角：（3）平面α和平面β所成的角：2用向量法求空間距離有哪些基本原理：（1）若＝a1＋a2＋…＋an，則＝(a1＋a2＋…＋an)2（2）若點(diǎn)A(x1，y1，z1)，點(diǎn)B(x2，y2，z2)，則（3）設(shè)平面α的法向量為u，點(diǎn)A在平面α內(nèi)，則點(diǎn)P到平面α的距離3用空間向量表示點(diǎn)、直線和平面，其意義在于空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，可以通過向量運(yùn)算來解決，從而為立體幾何提供了一種高效的解題方法——向量法教材自學(xué)教材內(nèi)容：P105～P1061利用向量法解決立體幾何問題的“三步曲”有什么含義？幾何問題向量化→向量問題數(shù)量化→數(shù)量結(jié)果幾何化2例1的本質(zhì)是求空間兩點(diǎn)間的距離，解法中利用了哪個(gè)向量原理？若＝a1＋a2＋…＋an，則＝(a1＋a2＋…＋an)23例2的解法中利用了哪個(gè)向量原理？運(yùn)用了什么數(shù)學(xué)思想？原理同上；方程思想拓展探究1的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)系？2例1中設(shè)六面體的棱長(zhǎng)都為1，則上、下兩底面之間的距離如何計(jì)算？－A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等，且它們彼此之間的夾角都為θ，對(duì)角線AC1的長(zhǎng)為a，則平行六面體的棱長(zhǎng)如何計(jì)算？－A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都等于a，且它們彼此之間的夾角都為θ，則二面角A1―AB―C的余弦值如何計(jì)算？知能檢測(cè)例如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝1，∠BAC＝90°（1）求點(diǎn)C1到平面AB1C的距離；（2）求二面角A1－B1C－A的大小ABCA1B1C1xyz60°小結(jié)作業(yè)1用向量法求二面角大小有兩種算法，一種是求二面角的兩個(gè)面內(nèi)分別與棱垂直的兩直線的方向向量的夾角，另一種是求二面角的兩個(gè)面的法向量的夾角向量的夾角與二面角的平面角相等或互補(bǔ)2平面的法向量就是平面的垂線的方向向量，若不能在圖形中直接找到平面的垂線，則可用待定系數(shù)法求法向量的坐標(biāo)3數(shù)量積運(yùn)算是向量法的核心內(nèi)容，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)圖形特征與題設(shè)條件，選擇幾何法或坐標(biāo)法計(jì)算作業(yè)：《自主學(xué)習(xí)冊(cè)》P108～P111第7課時(shí)32立體幾何中的向量方法第三課時(shí)向量方法的實(shí)際應(yīng)用問題提出1用向量法解決立體幾何問題的核心思想是轉(zhuǎn)化，其解題“三步曲”可概述為哪“三化”？幾何問題向量化→向量問題數(shù)量化→數(shù)量結(jié)果幾何化2空間距離有多種形態(tài)，其中兩點(diǎn)距是基礎(chǔ)，用向量法求空間距離的實(shí)質(zhì)是什么？求向量的模3空間角有三種形態(tài)，即線線角，線面角和二面角，其中相交直線的夾角是基礎(chǔ)，用向量法求二面角大小有哪兩種算法？（1）求垂棱線的方向向量的夾角；（2）求兩個(gè)面的法向量的夾角4物理中的力，速度，位移等也是向量，運(yùn)用向量方法可以解決物理中的矢量問題教材自學(xué)教材內(nèi)容：P107～P1101在例3中，向量法的解題目標(biāo)是什么？求三個(gè)向量的和向量的模2在例4第（3）問中，求點(diǎn)F的坐標(biāo)運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？方程思想，待定系數(shù)法3解決立體幾何問題有兩種方法，即幾何法和向量法，二者各有什么特點(diǎn)？幾何法：以幾何原理為依據(jù)，邏輯推理為工具解決問題向量法：以向量原理為依據(jù)，向量運(yùn)算為工具解決問題拓展探究1不建立坐標(biāo)系，如何求例3中三個(gè)力的合力？DABCOEP