【ch05】開放量子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)

高等量子力學(xué)開放量子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)第五章普通高等教育“十三五”規(guī)劃教材天津工業(yè)大學(xué)學(xué)位與研究生教育改革項(xiàng)目資助01開放量子系統(tǒng)由第1章知道，對(duì)于封閉或孤立的物理系統(tǒng)，若H是不依賴于時(shí)間的純態(tài)系統(tǒng)哈密頓算符，則系統(tǒng)的演化算符由式(1.27)給出。然而，對(duì)于哈密頓量依賴時(shí)間的系統(tǒng)，利用式(1.21),方程式(1.25)的解可以表示為時(shí)間序的指數(shù)，有式中，T表示時(shí)間序算符，“←”表示時(shí)間從右向左增加順序。如果系統(tǒng)初始處于混合態(tài)，即利用薛定諤方程，在任意時(shí)刻t,系統(tǒng)態(tài)為對(duì)上述方程進(jìn)行微分，立即可得密度矩陣的運(yùn)動(dòng)方程式(1.112)及劉維方程式(1.113)。劉維方程式(1.113)可以得到一個(gè)類似式(5.1)的形式解(已令h=1):01封閉系統(tǒng)及劉維-馮·諾依曼方程02開放系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)對(duì)于不依賴于時(shí)間的哈密頓量，劉維超算符也是不依賴于時(shí)間的，顯然有2.開放系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)一般來(lái)說(shuō)，開放系統(tǒng)是指一個(gè)量子系統(tǒng)S耦合到另一個(gè)稱作環(huán)境的量子系統(tǒng)B的系統(tǒng)。因此，它是復(fù)合系統(tǒng)S+B的子系統(tǒng)。多數(shù)情況下假設(shè)復(fù)合系統(tǒng)是封閉的，遵循哈密頓動(dòng)力學(xué)，然而，子系統(tǒng)S的狀態(tài)將隨其內(nèi)部動(dòng)力學(xué)和與環(huán)境的相互作用而改變。相互作用導(dǎo)致某種系統(tǒng)-環(huán)境關(guān)聯(lián)，以致一般情況下，S態(tài)的變化下不再是幺正的、哈密頓動(dòng)力學(xué)的變化，子系統(tǒng)S的動(dòng)力學(xué)由總系統(tǒng)哈密頓演化驅(qū)動(dòng)常稱作約化系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)，并且S也被稱作約化系統(tǒng)。設(shè)Hs是系統(tǒng)的希爾伯特空間，Hb是環(huán)境的希爾伯特空間?？傁到y(tǒng)S+B的希爾伯特空間由張量積

表示?？偣茴D量H(4)為其中，Hs是開放系統(tǒng)S的哈密頓量，HB是環(huán)境B的自由哈密頓量，HI(t)是系統(tǒng)和環(huán)境相互作用的哈密頓量。02開放系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)談到開放系統(tǒng)S,一般是指環(huán)境B與它耦合?！皫?kù)”是指由無(wú)限自由度構(gòu)成的環(huán)境，以至于庫(kù)模的頻率是連續(xù)的。這個(gè)性質(zhì)將導(dǎo)致開放的、量子系統(tǒng)的不可逆行為。后面我們將把熱平衡狀態(tài)下的庫(kù)稱為“浴”或“熱浴”。人們通常遇到的環(huán)境模式既不可精確獲知也不可控制，因此開放系統(tǒng)一般要用近似方法求解。我們知道，開放系統(tǒng)S的可觀測(cè)量的形式為

,其中A是作用在希爾伯特空間Hs上的算符，

上的單位算符。如果總系統(tǒng)的狀態(tài)為p,那么作用在開放系統(tǒng)希爾伯特空間上的可觀測(cè)量的期望值為其中約化密度矩陣Ps(t)在t時(shí)刻可表示為其運(yùn)動(dòng)方程為02量子馬爾科夫過(guò)程設(shè)初始時(shí)刻t=0時(shí)，總系統(tǒng)S+B處于不關(guān)聯(lián)的乘積態(tài)

,其中ps(0)是約化系統(tǒng)S的初態(tài)，Ps代表環(huán)境的狀態(tài)，描述約化系統(tǒng)狀態(tài)從t=0到t>0的變化可以寫為如果參考態(tài)PB及時(shí)間t固定，上述關(guān)系就確定了一個(gè)約化密度矩陣自身的映射，即這個(gè)映射描述了開放系統(tǒng)在時(shí)間t的狀態(tài)變化，叫作動(dòng)力學(xué)映射(見表5.1)。動(dòng)力學(xué)映射可以利用開放系統(tǒng)的希爾伯特空間Hs內(nèi)的算符完全表征。利用環(huán)境的密度矩陣PB的譜分解：

，其中

構(gòu)成一個(gè)HB的正交基，

為非負(fù)實(shí)數(shù)且滿足

,則得到式(5.11)的下列表示；01開放量子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)概述其中，

中的算符，定義為由式(5.13)容易看出，V(4)具有描述一般量子測(cè)量操作

(見式(2.28))的形式。再者，算符

滿足條件由此，可推導(dǎo)出因此，我們說(shuō)，一個(gè)動(dòng)力學(xué)映射V(t)是凸線性的、完全正和保跡的量子操作。01開放量子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)概述上面給出了t固定時(shí)的動(dòng)力學(xué)映射V(1)。如果讓t變化，即可得到動(dòng)力學(xué)映射的一個(gè)參數(shù)簇{V(t)}t≥0},其中V(0)為單位映射。這個(gè)簇描述了開放系統(tǒng)全部的時(shí)間演化。然而，如果庫(kù)關(guān)聯(lián)函數(shù)衰減的特征時(shí)間遠(yuǎn)小于系統(tǒng)演化的特征時(shí)間，則約化系統(tǒng)的記憶效應(yīng)可以忽略。因此，像經(jīng)典理論那樣可以獲得馬爾科夫型的行為。對(duì)于均勻情況這一理論將借助如下半群特征構(gòu)建。馬爾科夫量子主方程如果量子動(dòng)力學(xué)半群存在，在某種數(shù)學(xué)條件下(見下面),一個(gè)線性映射L,即半群的生成元，可以表示成如下指數(shù)形式：由此，立刻可以得到開放系統(tǒng)約化密度矩陣的一階微分方程02馬爾科夫量子主方程方程式(5.19)叫作馬爾科夫量子主方程。半群生成元L為超算符，它可以看成方程式(1.113)中劉維超算符的一般化。在有限維希爾伯特空間

,下形式(數(shù)學(xué)推導(dǎo)從略):可以構(gòu)造出一個(gè)量子動(dòng)力學(xué)半群的生成元L的如這是量子動(dòng)力學(xué)半群生成元的最一般形式。生成元的第一項(xiàng)表示由哈密頓量H產(chǎn)生的動(dòng)力學(xué)的幺正部分，算符A,通常稱作Lindblad算符，并且對(duì)應(yīng)的密度矩陣方程式(5.19)叫作Lindblad方程。我們注意到，如果A.取為無(wú)量綱的量，則非負(fù)的量x有反比于時(shí)間的量綱。后面將會(huì)看到，n由環(huán)境的關(guān)聯(lián)函數(shù)給出，并且對(duì)于開放系統(tǒng)的不同衰減模式起著弛豫率的作用。很多情況下為了方便，常引入耗散子因此，量子主方程式(5.19)可以寫為如下形式：02馬爾科夫量子主方程需要說(shuō)明的是，由于系統(tǒng)和環(huán)境的耦合，哈密頓量H可能含有約化系統(tǒng)S的自由哈密頓量Hs之外的項(xiàng)。另外，值得注意的是，生成元L并不是由唯一確定的哈密頓量H和Lindblad算符

決定的。事實(shí)上，生成元在下列變換下是不變的。(1)Lindblad算符集的幺正變換。式中，Uy為幺正矩陣元。(2)非均勻變換。其中，

是復(fù)數(shù)，b是實(shí)數(shù)。由于第(2)個(gè)不變式性質(zhì)，所以總是可以去選取無(wú)跡的Lindblad算符。02馬爾科夫量子主方程對(duì)于受到與時(shí)間有關(guān)外場(chǎng)作用的開放系統(tǒng)，需要借助依賴于時(shí)間的生成元描述。將式(5.19)推廣到與時(shí)間相關(guān)的情形，其表達(dá)形式為對(duì)于固定的時(shí)間t≥0,式中L(t)是量子動(dòng)力學(xué)半群。下面引入相應(yīng)的傳播子式(5.26)滿足關(guān)系代入半群特性式(5.17),則有02馬爾科夫量子主方程類似于封閉量子系統(tǒng)，開放量子系統(tǒng)在薛定諤繪景中的每個(gè)系統(tǒng)算符A都可以在海森伯繪景中定義相應(yīng)的算符

。這可以借助下面的關(guān)系式做到：類似式(5.26),引入伴隨傳播子符號(hào)T→,定義了反時(shí)序算符，而伴隨生成元L

定義為＋伴隨傳播子V

(t,to)滿足如下微分方程：＋并且伴隨傳播子描述了海森伯繪景中算符的時(shí)間演化03伴隨量子主方程由此得到下列海森伯算符AH(t)的運(yùn)動(dòng)方程：式(5.34)稱為伴隨主方程，如同方程式(5.20)的情況，如果Lindblad生成元不解析地依賴于時(shí)間，則可以給出一個(gè)重要的特殊情況，此種情況下，伴隨Lindblad生成元與V(t,0)對(duì)易，并且伴隨主方程取如下簡(jiǎn)單形式：可以看到此時(shí)的伴隨主方程的右邊僅與在時(shí)間t的海森伯算符An(t)有關(guān)。03伴隨量子主方程03主方程的微觀推導(dǎo)設(shè)量子力學(xué)系統(tǒng)S弱耦合于庫(kù)B,則總系統(tǒng)哈密頓量為為了使推導(dǎo)量子馬爾科夫主方程更容易，我們將在相互作用繪景下進(jìn)行。相互作用繪景下的劉維-馮·諾依曼方程為由方程式(5.37)可得總密度矩陣的積分形式為將式(5.38)代入方程式(5.37)并對(duì)庫(kù)取跡，得到其中，我們已經(jīng)假設(shè)容易看到，方程式(5.39)仍然包含總系統(tǒng)的密度矩陣p(t)。為了從運(yùn)動(dòng)方程中消除p(t),我們進(jìn)行第一次近似處理，叫作玻恩近似。這個(gè)近似假設(shè)：系統(tǒng)和庫(kù)之間的耦合是弱的，以至于系統(tǒng)對(duì)庫(kù)的影響是小的(稱作弱耦合近似)。因此，庫(kù)的密度矩陣pg受相互作用的影響可忽路，并且總系統(tǒng)的態(tài)在t時(shí)刻可以近似表示為張量積形式：01弱耦合限需要強(qiáng)調(diào)的是，這并不意味約化系統(tǒng)下不引起庫(kù)的任何激發(fā)。將張量積式(5.41)代入精確的運(yùn)動(dòng)方程式(5.39),我們得到一個(gè)約化密度矩陣ps(4)的閉合的積分-微分方程：為了簡(jiǎn)化上述方程，進(jìn)一步進(jìn)行馬爾科夫近似，即用ps(t)代替被積函數(shù)ps(s),這樣，我們得到了關(guān)于ps(f)的運(yùn)動(dòng)方程：此方程叫作Redfield方程。進(jìn)一步以t-s代替積分函數(shù)中的s,并令積分上限為無(wú)窮大，則可得到如下馬爾科夫量子主方程：式(5.44)近似處理通常稱作玻恩-馬爾科夫近似，然而，一般情況下它并不能保證方程式(5.44)定義了動(dòng)力學(xué)半群的生成元。因此，下面做進(jìn)一步近似處理，即對(duì)主方程的快速振蕩項(xiàng)做平均，稱為旋波近似。為了解釋這個(gè)過(guò)程，現(xiàn)將薛定諤繪景下的相互作用哈密頓量H,寫為如下形式：01弱耦合限其中，

。是相互作用的最一般形式。如果把相互作用哈密頓量H,分解為系統(tǒng)哈密頓量H?的本征算符，則近似處理很容易進(jìn)行。下面假設(shè)Hs具有分立的本征值譜ε,并且被Ⅱ(s)投影在屬于本征值s的本征空間。那么，我們可以定義算符求和表示對(duì)所有H?的本征值ε'和ε并且具有固定能量差。進(jìn)行。這個(gè)定義的一個(gè)立刻的后果是下列關(guān)系式得到滿足(請(qǐng)讀者自行驗(yàn)證):因此，

分別被視為Hs的屬于頻率

的本征算符。關(guān)系式(5.47)和式(5.48)在相互作用繪景下對(duì)應(yīng)的算符取如下形式：最后，我們注意到01弱耦合限其中，

。將式(5.46)對(duì)所有能量差求和，并利用完備關(guān)系得到由此相互作用哈密頓量可以寫為如下形式：這正是所期望的，將相互作用分解為系統(tǒng)哈密頓量的本征算符形式。注意，一般來(lái)說(shuō)頻譜

是簡(jiǎn)并的，即對(duì)某一固定的φ,指標(biāo)α標(biāo)明了不同的算符

屬于相同的頻率。由于引入了本征算符分解式(5.53),因此在相互作用繪景下相互作用哈密頓量可以寫為特別簡(jiǎn)單的形式：其中式(5.55)是環(huán)境的相互作用繪景算符，我們也注意到條件式(5.40)成為01弱耦合限即

的庫(kù)平均消失。將式(5.54)代入主方程式(5.44),經(jīng)過(guò)運(yùn)算得到其中，式(5.57)已經(jīng)引入了單邊傅里葉變換式(5.58)是如下庫(kù)關(guān)聯(lián)函數(shù)的傅里葉變換：現(xiàn)在假設(shè)

是庫(kù)的定態(tài)，即

,那么，庫(kù)關(guān)聯(lián)函數(shù)對(duì)時(shí)間來(lái)說(shuō)是均勻的，則可得到這表明了

不依賴于時(shí)間。值得說(shuō)明的是，如果庫(kù)函數(shù)依賴于時(shí)間t,則會(huì)有有意義的情況發(fā)生。例如，如果庫(kù)是壓縮真空態(tài)的時(shí)候。對(duì)于很大的庫(kù)，相應(yīng)的頻率間隔很小時(shí)，式(5.57)中的

項(xiàng)可以忽略，這是典型的量子光學(xué)系統(tǒng)滿足的條件，稱作旋波近似。因此，我們有01弱耦合限將庫(kù)關(guān)聯(lián)函數(shù)的傅里葉變換分解為對(duì)固定的

,系數(shù)稱為厄密矩陣，并且矩陣是正的。利用這些矩陣，最后我們給出了相互作用繪景下的主方程厄密算符給出了動(dòng)力學(xué)的哈密頓量。這項(xiàng)常稱作蘭姆移動(dòng)哈密頓量。注意，借助式(5.51)可以得到01弱耦合限最后，主方程的耗散項(xiàng)取如下形式：需要說(shuō)明，通過(guò)加自由系統(tǒng)哈密頓量Hs到Hus即可得到薛定諤繪景主方程。借助本征算符的性質(zhì)(見式(5.47)、式(5.48)和式(5.51)),容易證明這一點(diǎn)?？偨Y(jié)上面用到的近似。第一個(gè)近似是弱耦合假設(shè)，這個(gè)假設(shè)允許將精確的運(yùn)動(dòng)方程展開到密度矩陣二階項(xiàng)，結(jié)合條件

,導(dǎo)致對(duì)主方程的玻恩近似。第二個(gè)近似是馬爾科夫近似，將密度矩陣Ps(s)用當(dāng)前時(shí)刻的密度矩陣Ps(t)代替。再者，將積分限推至無(wú)窮大得到主方程的玻恩-馬爾科夫近似。玻恩-馬爾科夫近似相關(guān)的物理?xiàng)l件是，系統(tǒng)和庫(kù)的關(guān)聯(lián)時(shí)間m比系統(tǒng)的弛豫時(shí)間

小很多，即

。最后，在旋波近似中，對(duì)于比例于exp[i(w'-)(]的快速振蕩項(xiàng)中的

部分可忽略，這使得量子主方程為L(zhǎng)indblad形式。相應(yīng)的物理?xiàng)l件是，問(wèn)題中涉及頻率差的倒數(shù)

。01弱耦合限在前面一般性討論的基礎(chǔ)上，下面具體考慮一個(gè)奇異耦合情況。從前面的討論了解到，在弱耦合限條件下，由系統(tǒng)和環(huán)境相互作用引起的擾動(dòng)假設(shè)是小的。結(jié)果，環(huán)境的自由度快速變化并且可以被有效地消除。對(duì)于某些合適的時(shí)間范圍，一定條件下對(duì)強(qiáng)耦合情況可以推導(dǎo)線性量子主方程。在這個(gè)所謂奇異限下，考慮如下形式的總哈密頓量：其中，相互作用哈密頓量再次被寫作其中，

。我們的目的是在ε→0的條件下推導(dǎo)約化密度矩陣的運(yùn)動(dòng)方程。為了得到哈密頓量式(5.69)的形式，首先注意到式(5.59)中的庫(kù)關(guān)聯(lián)函數(shù)的衰減時(shí)間通過(guò)標(biāo)度關(guān)系

因子關(guān)系減小。相互作用哈密頓的標(biāo)度關(guān)系

，確保庫(kù)關(guān)聯(lián)函數(shù)的傅里葉變換在ε→0極限下保持有限。在這個(gè)模型下推導(dǎo)量子主方程與弱耦合情況類似，差別僅在于此時(shí)不需要進(jìn)行旋波近似，結(jié)果得到下列薛定諤繪景下的主方程：02奇異耦合限其中，蘭姆移動(dòng)哈密頓量為這里

的定義類似于式(5.63),并且同樣，

是厄密的并且是正的。實(shí)際上，主方程式(5.71)是討論量子Zeno效應(yīng)時(shí)遇到過(guò)的。02奇異耦合限04量子光學(xué)主方程考慮一個(gè)束縛的量子系統(tǒng)，如一個(gè)原子或分子，與一個(gè)量子化輻射場(chǎng)相互作用，輻射場(chǎng)代表一個(gè)無(wú)窮自由度的庫(kù)，束縛系統(tǒng)是我們感興趣的約化系統(tǒng)，Hs表示自由原子或分子的哈密頓量，而自由量子化輻射場(chǎng)的哈密頓量為01處于量子化輻射場(chǎng)中的物質(zhì)為簡(jiǎn)單起見，我們將輻射場(chǎng)分解為在體積為V的盒子中的傅里葉模式，并施加周期性邊界條件。這些模式用波矢

來(lái)標(biāo)記，并且用極化矢量

表示兩個(gè)橫向、單位極化矢量，因此有色散關(guān)系是

場(chǎng)算符

分別表示具有波矢

和極化矢量

所謂光子的湮滅和產(chǎn)生算符。它們服從如下對(duì)易關(guān)系：01處于量子化輻射場(chǎng)中的物質(zhì)最后，我們假設(shè)相互作用哈密頓量由偶極近似給出：其中，

是系統(tǒng)的偶極算符，

是電場(chǎng)算符，其在薛定諤繪景下可以表示為式中的系數(shù)不同于第4章的式(4.26)是由于本章采用了不同于第4章的高斯單位制的緣故。利用上述定義，給出總系統(tǒng)哈密頓量下面我們進(jìn)行玻恩-馬爾科夫近似處理。為了將偶極算符

分解為Hs的本征算符形式，取如下算符(見方程式(5.46)):注意，偶極算符分量表示為Di(=1,2,3),這里i對(duì)應(yīng)前面的指標(biāo)α。按照方程式(5.47)、式(5.48)及

,有01處于量子化輻射場(chǎng)中的物質(zhì)和因此，相互作用繪景下，偶極算符

分解為本征算符，有并且相互作用繪景下，相互作用哈密頓量可以寫為類似于方程式(5.54)的形式：其中，

定義了相互作用繪景下的電場(chǎng)算符如方程式(5.56)的形式：由此可以寫出類似于式(5.57)的運(yùn)動(dòng)方程：01處于量子化輻射場(chǎng)中的物質(zhì)電場(chǎng)算符的關(guān)聯(lián)函數(shù)定義為并且其單邊傅里葉變換由下式給出：矩陣

稱作譜關(guān)聯(lián)張量。一般地，它依賴于時(shí)間t。事實(shí)上，它有如下形式：根據(jù)庫(kù)所處的具體狀態(tài)，式(5.92)可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)。下面首先來(lái)看熱庫(kù)狀態(tài)的情況。假設(shè)輻射庫(kù)的模式處于溫度為T的平衡狀態(tài)，即01處于量子化輻射場(chǎng)中的物質(zhì)注意，容易知道

,并且譜關(guān)聯(lián)張量

與時(shí)間t無(wú)關(guān)。隨后在旋波近似下，方程式(5.89)化為式(5.94)中的譜關(guān)聯(lián)張量待定。為了給出譜關(guān)聯(lián)張量，我們利用下列關(guān)系：其中定義了普朗克分布，它是頻率為

的模上的光子的平均數(shù)，為計(jì)算簡(jiǎn)單起見，取連續(xù)限對(duì)波矢

的立體角dΩ積分，利用如下關(guān)系：01處于量子化輻射場(chǎng)中的物質(zhì)式(5.92)化為利用公式其中，P定義了哥西主值。最后，我們得到式中我們引入了如下量值：注意，普朗克分布滿足

有01處于量子化輻射場(chǎng)中的物質(zhì)總結(jié)以上結(jié)果，得到可以寫為所謂Lindblad形式的量子光學(xué)主方程：式中，哈密頓量在輻射場(chǎng)的真空漲落(蘭姆移動(dòng))和熱驅(qū)動(dòng)(斯塔克移動(dòng))下，導(dǎo)致系統(tǒng)哈密頓量Hs重新歸一化。量子主方程的耗散子取如下形式：注意，式(5.110)在求和中我們已經(jīng)利用式(5.85)將負(fù)的頻率變?yōu)榱苏l率?？梢钥吹?，主方程的耗散子描述自發(fā)和熱驅(qū)動(dòng)過(guò)程。利用方程式(5.41)可知，Lindblad算符

使原子能級(jí)下降

能量，即如果

具有能量ε的本征態(tài)，則

是Hs的屬于本征值

的本征態(tài)。01處于量子化輻射場(chǎng)中的物質(zhì)相應(yīng)地，算符

使原子能級(jí)上升

的量值。因此，

描述自發(fā)和熱驅(qū)動(dòng)發(fā)射過(guò)程，發(fā)射率為

;而4(o)描述熱驅(qū)動(dòng)吸收過(guò)程，吸收率為

。最后，我們來(lái)看量子光學(xué)主方程的有效范圍。弛豫時(shí)間

由典型的弛豫率的倒數(shù)

給出。后者由電偶極轉(zhuǎn)換的轉(zhuǎn)換率

的典型值定義，其中

是偶極算符對(duì)應(yīng)的矩陣元。另一方面，庫(kù)自由度的真空關(guān)聯(lián)時(shí)間

由典型轉(zhuǎn)換頻率

的倒數(shù)給出。因此，由玻恩-馬爾科夫近似的條件

,這明顯為弱耦合條件。這個(gè)條件在量子光學(xué)范圍內(nèi)一般能夠得到很好的滿足。例如，典型的輻射反比于原子壽命，其數(shù)量級(jí)為

,而光學(xué)頻率在

數(shù)量級(jí)。再者，必須注意，如果主方程含有大量不同轉(zhuǎn)換頻率，需要條件

成立。這個(gè)條件使人們能夠進(jìn)行旋波近似，并且屬于不同頻率的轉(zhuǎn)換可以被描述為分離的衰減通道，用不同Lindblad算符。02一個(gè)兩能級(jí)系統(tǒng)的衰減兩能級(jí)系統(tǒng)的希爾伯特空間等價(jià)于一個(gè)自旋一1/2系統(tǒng)的希爾伯特空間?，F(xiàn)在設(shè)這個(gè)系統(tǒng)的兩個(gè)態(tài)分別為激發(fā)態(tài)

,則對(duì)應(yīng)的泡利算符可表示為01處于量子化輻射場(chǎng)中的物質(zhì)為了計(jì)算方便，常定義算符我們?nèi)∠到y(tǒng)的自由哈密頓量在基矢

上為對(duì)角的，對(duì)于合適的基態(tài)能級(jí)，則有其中，

為轉(zhuǎn)換頻率，并已取

。下面我們將在相互作用繪景下討論問(wèn)題。為了具體起見，考慮一個(gè)在光學(xué)范圍內(nèi)轉(zhuǎn)變頻率為a,的兩能級(jí)原子。我們注意到，算符代表原子哈密頓量的本征算符，有因此，

使原子的能量改變

,分別對(duì)應(yīng)于吸收和發(fā)射過(guò)程。所以，有如下兩個(gè)Lindblad算符：其中，

是偶極算符的轉(zhuǎn)換矩陣元(這里假設(shè)偶極算符的對(duì)角項(xiàng)消失)。在兩能級(jí)近似下，原子耦合算符在相互作用繪景中可以寫為02一個(gè)兩能級(jí)系統(tǒng)的衰減忽略蘭姆和斯塔克移動(dòng)的貢獻(xiàn)，可以給出量子光學(xué)主方程為(為簡(jiǎn)單起見，用p代替ps)式中，自發(fā)發(fā)射率為主方程的耗散項(xiàng)描述了自發(fā)發(fā)射(發(fā)射率為γo)、熱發(fā)射和吸收(發(fā)射和吸收率為γoN)過(guò)程。總轉(zhuǎn)換率由下式定義：其中，

定義了轉(zhuǎn)換頻率處的普朗克分布。為了求解主方程式(5.117),將密度矩陣寫為如下形式：02一個(gè)兩能級(jí)系統(tǒng)的衰減式中，矢量即為著名的布洛赫(Bloch)矢量。它滿足條件

,其等價(jià)于要求p(t)必須為正。

對(duì)應(yīng)于密度矩陣描述一個(gè)真正的統(tǒng)計(jì)混合，而布洛赫矢量滿足

代表一個(gè)純態(tài)。由此可見，兩能級(jí)系統(tǒng)的密度矩陣的集合與被稱為布洛赫單位球的幾何體同構(gòu)，它的表面等價(jià)于純態(tài)的集合。矩陣元

分別是激發(fā)態(tài)和基態(tài)能級(jí)的布居。非對(duì)角元

表示相干，由原子上升和下降算符

的期望值給出。利用泡利矩陣的代數(shù)關(guān)系，容易得到下列微分方程：容易看到，布洛赫矢量的z分量以指數(shù)率γ衰減，而

衰減。上述方程的定態(tài)解為02一個(gè)兩能級(jí)系統(tǒng)的衰減并且上能級(jí)的定態(tài)布居為實(shí)際上，主方程的定態(tài)解等于熱平衡態(tài)的解。例如，如果取初態(tài)

,賴時(shí)間的解為解析地表明了以指數(shù)規(guī)律趨于熱平衡的值。03系統(tǒng)在壓縮真空?qǐng)鲋械乃p前面考慮的庫(kù)對(duì)于浴動(dòng)力學(xué)來(lái)說(shuō)是定態(tài)。為了給出非定態(tài)環(huán)境的例子，下面我們考慮一個(gè)兩能級(jí)系統(tǒng)相互作用于庫(kù)的狀態(tài)

,這里

是壓縮真空態(tài)。02一個(gè)兩能級(jí)系統(tǒng)的衰減其中，壓縮算符

由下式給出：式中，取

。利用壓縮算符關(guān)系式(3.59)和式(3.60)可得到如下期望值(與方程式(5.95)~式(5.97)比較):式中已經(jīng)定義了我們注意到，這些關(guān)系式與場(chǎng)算符的對(duì)易關(guān)系，即式(5.78)和式(5.79)相互兼容，并有對(duì)于熱庫(kù)，有

。然而，因?yàn)镻B不是不變的態(tài)，電場(chǎng)算符的關(guān)聯(lián)函數(shù)式(5.90)在時(shí)間上不再是均勻的。結(jié)果，譜關(guān)聯(lián)張量明確地依賴于時(shí)間t。對(duì)于壓縮真空態(tài)，譜關(guān)聯(lián)張量利用式(5.92)可以寫為03系統(tǒng)在壓縮真空?qǐng)鲋械乃p式(5.237)已經(jīng)假設(shè)壓縮均勻覆蓋總的4π立體角。我們看到，譜關(guān)聯(lián)張量由兩部分組成：第一部分

與時(shí)間t無(wú)關(guān)，而第二部分

涉及快速振蕩指數(shù)

。相應(yīng)地，主方程的耗散子由兩部分組成，有其中，

決定。因此，形式上它有與方程式(5.117)右邊熱耗散子相同的結(jié)構(gòu)，其中N是Nk在共振頻率

時(shí)的值。它由共振壓縮參數(shù)r給出，有如果忽略蘭姆和斯塔克移動(dòng)的貢獻(xiàn)，我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于譜關(guān)聯(lián)張量與時(shí)間有關(guān)的部分為03系統(tǒng)在壓縮真空?qǐng)鲋械乃p和再者，式中M和Mk取共振頻率時(shí)的值，即具有共振壓縮參數(shù)r和共振相角θ。為了決定主方程的耗散子D(2),將

代入方程式(5.89)的右邊并進(jìn)行旋波近似。因?yàn)?/p>

振蕩，旋波近似從雙頻率求和中精確地選取兩個(gè)共振項(xiàng)，即對(duì)應(yīng)于

情況的項(xiàng)，第一種情況被看到導(dǎo)致如下貢獻(xiàn)：而第二種情況導(dǎo)致將偶極矩陣元吸收到壓縮相位θ中，則得到03系統(tǒng)在壓縮真空?qǐng)鲋械乃p最后，我們得到密度矩陣方程為這正是描述兩能級(jí)系統(tǒng)在壓縮真空中的主方程，值得注意，它可以被寫為L(zhǎng)indblad形式。引入Lindblad算符：

,容易發(fā)現(xiàn)引入泡利矩陣代數(shù)，得到如下運(yùn)動(dòng)方程：這些方程描述了相干弛豫的相應(yīng)依賴關(guān)系和布洛赫矢量的三個(gè)分量的弛豫。設(shè)θ=0,則布洛赫矢量的運(yùn)動(dòng)方程取如下形式：03系統(tǒng)在壓縮真空?qǐng)鲋械乃p最后，我們得到密度矩陣方程為在極限r(nóng)→0下，上述方程轉(zhuǎn)化為真空布洛赫方程(方程式(5.222)～式(5.224),

)?？梢钥吹?，在壓縮真空條件下，布洛赫矢量的分量

以不同的弛豫率衰減。特別注意到，與真空情況比弛豫率在一個(gè)方向被增強(qiáng)，同時(shí)在另一個(gè)方向被減弱，布洛赫矢量的z分量接近于定態(tài)，有它與方程式(5.225)有相同的形式，其中這里N=sinh2r起著普朗克分布的作用。04阻尼諧振子03系統(tǒng)在壓縮真空?qǐng)鲋械乃p下面我們研究主方程的另一個(gè)有代表性的例子——阻尼諧振子。該系統(tǒng)自由演化的哈密頓量為

,描述了頻率為

的諸振子。其薛定諤繪景下的方程為此方程可以用于描述電磁場(chǎng)模在一個(gè)腔中的阻尼，此時(shí)a+和a定義了腔模的產(chǎn)生和湮滅算符。環(huán)境由腔外的模式給出，并且導(dǎo)致腔模具有γo的阻尼，其中熱庫(kù)中頻率為

模的量子平均數(shù)為1.泡利主方程和定態(tài)解設(shè)

(n=0,1,2…)為第n個(gè)振子的本征態(tài)，即

。主方程式(5.254)導(dǎo)致第n個(gè)能級(jí)布居，

,形成一個(gè)閉合方程，稱為泡利主方程，有04阻尼諧振子這個(gè)方程的定態(tài)解為利用方程式(5.255),式(5.257)可重新寫為由上式看出，式(5.258)是振子本征態(tài)的玻爾茲曼分布。在這個(gè)模上量子的平均數(shù)的定態(tài)值等于熱平均數(shù)，有2.伴隨主方程為了研究上述問(wèn)題的動(dòng)力學(xué)，可以直接從主方程推出系統(tǒng)算符期望值的運(yùn)動(dòng)方程。另外，也可以利用伴隨主方程式(5.35),即04阻尼諧振子決定海森伯算符

的動(dòng)力學(xué)。用海森伯算符在t=0時(shí)和薛定諤算符一致作為初態(tài)條件，則有從這些方程立刻可以推出振子的平均振幅為和平均量子數(shù)因此，振子平均振幅在復(fù)平面按指數(shù)變化，當(dāng)rot>1時(shí)趨近于初始值。量子的平均數(shù)從初值

開始，趨近于與初始值無(wú)關(guān)的熱平均值N。3.相干態(tài)表象在量子光學(xué)的應(yīng)用中，人們經(jīng)常借助相空間方法研究主方程。下面以相干態(tài)或P表象為例來(lái)研究主方程。系統(tǒng)密度矩陣的相干態(tài)表象的定義可以追溯到Glauber(1963)和Sudarshan(1963)給出的定義：04阻尼諧振子因此，Ps(t)代表具有相應(yīng)權(quán)重函數(shù)

的相干態(tài)

的混合。然而，應(yīng)該注意到，P只是某種準(zhǔn)概率，一般它不是正的分布函數(shù)。由密度矩陣的歸一化導(dǎo)致如下歸一化條件：在產(chǎn)生和湮滅算符

的乘積中，如果所有產(chǎn)生算符置于湮滅算符的左邊，則這個(gè)乘積被稱作正規(guī)序積。對(duì)于這樣一個(gè)正規(guī)序積，有這是P表象的一個(gè)重要性質(zhì)。由此可以將任何產(chǎn)生和湮滅算符正規(guī)序積的期望值轉(zhuǎn)變?yōu)橥瑫r(shí)刻的

分布。為了推導(dǎo)關(guān)于

的方程，將量子主方程式(5.254)用下列特性替換到P表象：04阻尼諧振子上述關(guān)系很容易由相干態(tài)的定義推導(dǎo)出來(lái)。經(jīng)過(guò)整理，上面的特性顯示出下列對(duì)應(yīng)關(guān)系：利用這些關(guān)系，容易導(dǎo)出P表象的?？?普朗克型運(yùn)動(dòng)方程：04阻尼諧振子這個(gè)方程與經(jīng)典?？?普朗克方程類似。下面就來(lái)求解方程式(5.277)。設(shè)初始值為這意味著初始為相干態(tài)

。相應(yīng)的解可以通過(guò)將式(5.279)代入方程式(5.277)并且推導(dǎo)時(shí)間相關(guān)函數(shù)

的微分方程來(lái)獲得。然而，通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的方法將會(huì)看到，β(t)等于平均振幅，有相應(yīng)地，可以得到因此，當(dāng)振子和周圍的庫(kù)達(dá)到平衡時(shí)，寬度σ2(t)從零增加到熱平均值N。我們注意到，在零溫(N=0)時(shí)，隨著時(shí)間的演化初始相干態(tài)保持相干態(tài)。04阻尼諧振子05量子布朗運(yùn)動(dòng)這個(gè)模型描述了一個(gè)質(zhì)量為m,位于坐標(biāo)x處，在勢(shì)能為V(x)的場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的布朗粒子。因此，粒子的自由哈密頓量取如下形式：式中，p為粒子動(dòng)量。假設(shè)粒子被耦合到一個(gè)由大量質(zhì)量為Mn和頻率為

的諧振子浴中，其哈密頓量為式中，

分別是浴模的湮滅、產(chǎn)生算符；而Xn和Pn是對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)和正則共軛動(dòng)量。模型中，假設(shè)布朗粒子的坐標(biāo)x線性耦合于浴振子的坐標(biāo)Xn。相應(yīng)地，相互作用哈密頓量Hi

取如下形式：式中，浴算符為后面會(huì)看到，這種類型的相互作用給出了布朗粒子勢(shì)場(chǎng)V(x)的重整化。為了補(bǔ)償這種重整化，在相互作用哈密頓量中加入如下項(xiàng)是方便的：01Caldeira-Leggett模型該項(xiàng)稱作抵消項(xiàng)(counter-term),僅作用在布朗粒子的希爾伯特空間Hs上。它確保勢(shì)場(chǎng)V(x)包含布朗粒子運(yùn)動(dòng)的物理頻率。因此，總系統(tǒng)S+B的哈密頓量為02高溫主方程下面我們討論一個(gè)最簡(jiǎn)單的情況，即布朗粒子在弱耦合和高溫度限下的運(yùn)動(dòng)，在這種情況下推導(dǎo)出的粒子的約化密度矩陣馬爾科夫主方程，稱作Caldeira-Leggett主方程。01Caldeira-Leggett模型1.主方程的推導(dǎo)以玻恩-馬爾科夫近似為出發(fā)點(diǎn)，布朗粒子的約化密度矩陣在薛定諤繪景下給出：其中，我們已經(jīng)引入了超算符這個(gè)方程很容易通過(guò)式(5.44)變換回薛定諤繪景而得出。注意，抵消項(xiàng)Hc在耦合中必須被作為二階項(xiàng)，而HI是一階項(xiàng)，由此式(5.289)給出了運(yùn)動(dòng)方程在耦合中的二階展開。這里我們假設(shè)因子化初始條件和浴處于溫度為

的熱平衡狀態(tài)ps,即為了討論方便，我們引入如下關(guān)聯(lián)函數(shù)：02高溫主方程下面我們會(huì)清楚地看到，函數(shù)

經(jīng)常分別被稱作耗散和噪聲核。利用譜密度定義可以將浴關(guān)聯(lián)函數(shù)表示為由此，超算符x可以寫為生成元x的性質(zhì)強(qiáng)烈地依賴于由密度J(

)所決定的耗散和噪聲核的行為。為了獲得真正的不可逆動(dòng)力學(xué)，人們引入了浴模的連續(xù)分布，并且用浴模頻率

的光滑函數(shù)代替譜密度。在唯象模型中，人們經(jīng)常引入一個(gè)不依賴于頻率的阻尼常數(shù)

并且對(duì)于很小的

取譜密度正比于頻率02高溫主方程下面將會(huì)看到，這種稱作Ohmic的譜密度將引起具有比率為y的獨(dú)立于頻率的阻尼。另一方面，環(huán)境的高頻模導(dǎo)致粒子勢(shì)場(chǎng)中的物理參數(shù)的重整化。為了解釋粒子哈密度量的這種重整化，人們將高頻截?cái)?/p>

引入譜密度中。下面我們?nèi)в蠰orentz-Drude截?cái)嗪瘮?shù)的Ohmic譜密度：對(duì)這種類型的譜密度，浴關(guān)聯(lián)可以被解析地確定為這里，噪聲核

用下列公式計(jì)算：其中，

稱作Matsubara頻率。我們看到，當(dāng)n≠0時(shí)，關(guān)聯(lián)函數(shù)含有關(guān)聯(lián)時(shí)間

和

。因此，最大關(guān)聯(lián)時(shí)間為02高溫主方程并且玻恩-馬爾科夫近似應(yīng)用的條件為此條件對(duì)應(yīng)于推導(dǎo)弱耦合和量子光學(xué)主方程時(shí)的條件

然而，量子光學(xué)情況下，旋波近似要求約化系統(tǒng)的演化比典型弛豫時(shí)間快，即

。而這里我們研究的情況是系統(tǒng)的演化比浴關(guān)聯(lián)時(shí)間慢。如果我們定義

為系統(tǒng)演化的典型頻率，則有量子光學(xué)和量子布朗運(yùn)動(dòng)情況的基本差別見表5.2。為了化簡(jiǎn)生成元x的表達(dá)式，我們通過(guò)自由動(dòng)力學(xué)給出

的近似結(jié)果：02高溫主方程將式(5.306)代入式(5.297),可以看到生成元由四項(xiàng)組成：此方程右邊的第一項(xiàng)可以由下式?jīng)Q定：因此，我們有另外，由于

,方程式(5.307)右邊第一項(xiàng)可以寫為如下形式：顯然，這項(xiàng)補(bǔ)償了方程式(5.289)中哈密頓量抵消項(xiàng)的貢獻(xiàn)。因此，和浴的相互作用使得自由粒子哈密頓量Hs重整化，這正好被抵消項(xiàng)Hc消除。02高溫主方程為了決定式(5.307)右邊的第二項(xiàng)，我們用如下關(guān)系式：得到并且允許第二項(xiàng)寫為相應(yīng)地，我們發(fā)現(xiàn)因此，方程式(5.307)的第三項(xiàng)計(jì)算得到02高溫主方程最后，式(5.307)中的第四項(xiàng)依賴于頻率截?cái)唳?并且將由具有Lorentz-Drude截?cái)嗟腛hmic譜密度的解析表達(dá)式(5.301)決定。在高溫限，即

,我們得到因此，第四項(xiàng)化為為了估計(jì)這項(xiàng)的重要程度，我們把它與第三項(xiàng)(見式(5.315))做比較。因?yàn)閯?dòng)量的數(shù)量級(jí)為

,可以看到式(5.317)與式(5.315)的不同在于相差一個(gè)

因子，而從假設(shè)可知這個(gè)因子很小。因此，我們可以忽略主方程中的第四項(xiàng)?？偨Y(jié)以上結(jié)果，最后得到Caldeira-Leggett主方程為主方程右手邊第一項(xiàng)描述系統(tǒng)自由相干動(dòng)力學(xué)；第二項(xiàng)正比于弛豫時(shí)間

,是耗散項(xiàng)，這項(xiàng)源于耗散核D(

)的貢獻(xiàn)；最后一項(xiàng)正比于溫度，描述熱漲落。后面將會(huì)看到，它對(duì)理論描述退相干現(xiàn)象起著重要的作用。02高溫主方程容易想到這樣的問(wèn)題，布朗運(yùn)動(dòng)主方程的生成元可以寫成Lindblad形式嗎?回答是否定的。2.近似定態(tài)解在坐標(biāo)表象，主方程式(5.318)將取如下形式：通過(guò)以下定義引入新的變量從而獲得關(guān)于函數(shù)

的如下方程：在如下近似條件下定態(tài)解為02高溫主方程因此，主方程式(5.318)的近似定態(tài)解為式中，歸一化因子為由以上結(jié)果看到，坐標(biāo)空間密度矩陣的對(duì)角項(xiàng)表示一個(gè)正比于

的平衡分布，與統(tǒng)計(jì)力學(xué)結(jié)果一致。非對(duì)角元以與對(duì)角元為|x-x|的距離指數(shù)衰減，其中關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度由熱波長(zhǎng)

給出。將式(5.322)左邊展開到二階項(xiàng)，可以看到，只要熱波長(zhǎng)小于

則式(5.322)即給出了一個(gè)很好的近似。我們注意到，對(duì)于勢(shì)場(chǎng)

,式(5.322)成為了等式。此時(shí)定態(tài)矩陣可以表示為高斯函數(shù)02高溫主方程式中，坐標(biāo)和動(dòng)量的方差為因此，坐標(biāo)和動(dòng)量不確定性的乘積為所以在高溫近似下，不確定性的積遠(yuǎn)大于不確定關(guān)系所允許的最小可能值。3.平均值和方差的運(yùn)動(dòng)方程利用主方程式(5.318),我們?nèi)菀撰@得布朗粒子坐標(biāo)和動(dòng)量的一階矩和二階矩的下列方程：02高溫主方程這些是阻尼粒子坐標(biāo)和動(dòng)量的一階和二階矩的厄倫費(fèi)斯特(Ehrenfest)方程，它們包括摩擦力-2rp。下面針對(duì)自由布朗粒子(V=0)來(lái)求解上述運(yùn)動(dòng)方程。對(duì)一階矩，其解為因此，初始動(dòng)量在

時(shí)間范圍內(nèi)指數(shù)弛豫到零，而平均位置漸近地移動(dòng)

距離，我們定義02高溫主方程則可表示二階矩的解如下：因此，在長(zhǎng)時(shí)限下

可以得到漸近表達(dá)式顯然，長(zhǎng)時(shí)限下不是定態(tài)，動(dòng)量不確定值與熱平衡時(shí)的值相等(見方程式(5.327))。然而，位置不確定性隨著時(shí)間的平方根增加，與經(jīng)典布朗運(yùn)動(dòng)一致。對(duì)于純高斯初始態(tài)(最小不確定性),可知

這導(dǎo)致如下結(jié)果：02高溫主方程其中，第二個(gè)等式在yt<1時(shí)成立。第二個(gè)等式的第二項(xiàng)描述了高斯波包按照自由薛定諤方程擴(kuò)散。對(duì)于短時(shí)限，可以看到環(huán)境的影響對(duì)擴(kuò)散產(chǎn)生了一個(gè)正比于時(shí)間t的三次方的貢獻(xiàn)。03精確的海森伯運(yùn)動(dòng)方程在許多應(yīng)用中，并不總是需要尋求一個(gè)約化密度矩陣的近似主方程，而可以用系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的海森伯方程討論問(wèn)題。因?yàn)樵贑aldeira-Leggett模型中，浴是諧振子集合，并且和約化系統(tǒng)的耦合是線性的，所以可以完全從海森伯運(yùn)動(dòng)方程中消除浴變量的動(dòng)力學(xué)。1.海森伯方程的推導(dǎo)完全Caldeira-Leggett模型導(dǎo)致下列布朗粒子和環(huán)境振子的精確的海森伯運(yùn)動(dòng)方程：02高溫主方程因此，相應(yīng)的布朗粒子坐標(biāo)的方程為浴振子的坐標(biāo)方程為方程式(5.349)表明，第n個(gè)浴振子被線性依賴于布朗粒子坐標(biāo)的力

所驅(qū)動(dòng)。為了得到x(t)的閉合運(yùn)動(dòng)方程，我們用x()和浴模的初始條件解方程式(5.349)并將結(jié)果代入方程式(5.348)中。為此目的，用產(chǎn)生和湮滅算符

來(lái)表示浴振子的坐標(biāo)，即03精確的海森伯運(yùn)動(dòng)方程則方程式(5.349)的解可如下給出：將式(5.351)代入方程式(5.348)得到式中，B(t)是相互作用繪景算符，有式(5.353)對(duì)應(yīng)于薛定諤繪景算符

。借助耗散核，可以將布朗粒子坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程寫為在量子布朗運(yùn)動(dòng)的理論中，將耗散核用另一個(gè)被稱作阻尼核的量表示是很有用的，即03精確的海森伯運(yùn)動(dòng)方程式(5.355)滿足并且用耗散核我們可以把方程式(5.354)中的耗散項(xiàng)寫為利用方程式(5.357)可以看到，式(5.358)最后一項(xiàng)

消除了勢(shì)場(chǎng)

中的抵消項(xiàng)的貢獻(xiàn)。因此，最后得到了如下精確的海森伯運(yùn)動(dòng)方程：方程式(5.359)正是期望得到的布朗粒子坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程。在環(huán)境處于Ohmic譜密度具有無(wú)限截?cái)唳浮鷒的情況下，我們得到阻尼核為(見方程式(5.299)和式(5.355))則海森伯運(yùn)動(dòng)方程取如下形式：03精確的海森伯運(yùn)動(dòng)方程方程式(5.359)中B(t)的統(tǒng)計(jì)由量子關(guān)聯(lián)函數(shù)

描述。需要強(qiáng)調(diào)的是，由于是在海森伯繪景，所以平均是對(duì)總系統(tǒng)的初始分布p(0)進(jìn)行的。如果我們用非關(guān)聯(lián)的初態(tài)

,則這個(gè)關(guān)聯(lián)函數(shù)等于方程式(5.293)引入的噪聲核

對(duì)Ohmic譜密度，結(jié)果為在高溫限下可以假設(shè)，當(dāng)

時(shí)，對(duì)所有相關(guān)頻率

給出式(5.364)表明，關(guān)聯(lián)函數(shù)消除了h。2.二次勢(shì)對(duì)于二次勢(shì)03精確的海森伯運(yùn)動(dòng)方程海森伯方程式(5.359)化為為了求解上述方程，令式(5.366)的右邊為0,則得到兩個(gè)特解分別為G?(t)和G?(t)。這兩個(gè)特解的初始條件為引入拉普拉斯變換則兩個(gè)特解的拉普拉斯變換分別為式中，

為阻尼核的拉普拉斯變換。因此，海森伯方程式(5.366)的解為03精確的海森伯運(yùn)動(dòng)方程利用此解，所有渴望得到的布朗粒子的平均值、方差和關(guān)聯(lián)函數(shù)都可以由總系統(tǒng)的初始值p(0)進(jìn)行平均得到。3.自由布朗運(yùn)動(dòng)下面我們以自由布朗運(yùn)動(dòng)(即V=0)為例來(lái)考察上述討論。取Ohmic譜密度，對(duì)于無(wú)限截?cái)?，特解取如下形式：?duì)于因子化初始態(tài)

,布朗粒子和浴振子的初始坐標(biāo)是非關(guān)聯(lián)的，并且平均值

消失。例如，利用式(5.375),布朗粒子的平均動(dòng)能為03精確的海森伯運(yùn)動(dòng)方程其中，我們用到了噪聲核式(5.363)。如果取極限,則平均動(dòng)能的漸近值為其中，動(dòng)能的熱分布為在高溫限

下，上述表達(dá)式將導(dǎo)致著名的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)結(jié)果，

。另一方面，真空分布

為03精確的海森伯運(yùn)動(dòng)方程因此，由布朗粒子與環(huán)境的高頻模的真空漲落的相互作用得到了它的平均動(dòng)能的對(duì)數(shù)發(fā)散分布。進(jìn)一步，我們來(lái)決定粒子的平均平方位移：這是布朗運(yùn)動(dòng)理論中的一個(gè)非常重要的量。利用方程式(5.374)和式(5.363)可以得到上述平方模內(nèi)第二項(xiàng)導(dǎo)致積分在無(wú)限截?cái)嘞尴掳l(fā)散。事實(shí)上，平均平方位移為這表明

導(dǎo)致相應(yīng)的平均平方位移發(fā)散貢獻(xiàn)，意味著布朗粒子能夠從環(huán)境高頻模中吸收任意的能量，并且在有限時(shí)間內(nèi)移動(dòng)任意距離。這種奇異行為被稱作初始搖擺(initialjolte),很清楚是因?yàn)榧僭O(shè)非關(guān)聯(lián)初始態(tài)的結(jié)果。也就是說(shuō)，如果我們讓時(shí)間t和t'趨向無(wú)窮大，而保持它們之差

固定，則所有的瞬時(shí)項(xiàng)消失并且平均平方位移成為r的函數(shù)，積分給出03精確的海森伯運(yùn)動(dòng)方程因此，由布朗粒子與環(huán)境的高頻模的真空漲落的相互作用得到了它的平均動(dòng)能的對(duì)數(shù)發(fā)散分布。進(jìn)一步，我們來(lái)決定粒子的平均平方位移：對(duì)任意有限溫度，可以用

代替上述積分中的第二個(gè)因子，則有如下漸近表達(dá)式：可知，對(duì)于經(jīng)典布朗粒子有同樣的結(jié)果。另一方面，對(duì)于零溫度，積分項(xiàng)中

代替，則可得如下漸近表達(dá)式：式(5.385)成立的條件是

。我們看到，平均平方位移僅微弱地隨時(shí)間的對(duì)數(shù)增加，量子彌散的關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度量級(jí)為

。4.響應(yīng)函數(shù)、平衡關(guān)聯(lián)函數(shù)和漲落-耗散定理為了確定總系統(tǒng)的平衡漲落，需要引入漲落-耗散定理(FDT)。漲落-耗散定理和海森伯運(yùn)動(dòng)方程的精確解一起決定了布朗粒子的所有平衡關(guān)聯(lián)。為了構(gòu)造FDT,我們引入總系統(tǒng)海森伯繪景算符z(t)的對(duì)稱自相關(guān)函數(shù)：03精確的海森伯運(yùn)動(dòng)方程為簡(jiǎn)單起見，假設(shè)

。這里需要強(qiáng)調(diào)的是，平均是對(duì)總系統(tǒng)的如下平衡分布進(jìn)行的：式中，H是復(fù)合系統(tǒng)S+B的哈密頓量。由于時(shí)間的均勻性，自相關(guān)僅依賴于

,并且滿足。平衡漲落譜由自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換給出，有注意到，譜有如下特性：關(guān)于變量z(t)的響應(yīng)函數(shù)定義為它描述了系統(tǒng)對(duì)外力F()(t>0)的線性響應(yīng)，并且由總系統(tǒng)的哈密頓量中依賴于時(shí)間的擾動(dòng)

表示。然后由一階微擾理論得到系統(tǒng)的線性響應(yīng)為03精確的海森伯運(yùn)動(dòng)方程式中，

是對(duì)應(yīng)擾動(dòng)哈密頓量H+V(t)的海森伯算符。式(5.391)中響應(yīng)函數(shù)的傅里葉變換可以寫為式中，我們已經(jīng)將元

分解成了實(shí)部和虛部。漲落-耗散定理提供了一個(gè)系統(tǒng)對(duì)外力的線性響應(yīng)和平衡漲落之間的關(guān)系。用頻率的語(yǔ)言給出這個(gè)關(guān)系：它用響應(yīng)函數(shù)傅里葉變換的虛部表示平衡漲落的譜。對(duì)于一般的熱平衡系統(tǒng)和任何海森伯繪景可觀測(cè)量z(t),漲落-耗散定理均成立?，F(xiàn)在我們把這個(gè)定理應(yīng)用到處于諧振子勢(shì)的布朗粒子的坐標(biāo)x(t)上。因?yàn)閷?duì)易子

是c數(shù)，我們立刻能夠用海森伯運(yùn)動(dòng)方程式(5.366)的精確解(見式(5.372))決定響應(yīng)函數(shù)，有03精確的海森伯運(yùn)動(dòng)方程上述關(guān)系式(5.394)也可以直接由式(5.372)推出。即在系統(tǒng)的總哈密頓量上加上擾動(dòng)-xF(t),相當(dāng)于用B(t)+F(t)代替運(yùn)動(dòng)方程式(5.366)中的B(t)。這樣的替代使得方程式(5.372)右手邊有了附加項(xiàng)

,事實(shí)上還表明了響應(yīng)函數(shù)通過(guò)式(5.394)與特解

相關(guān)聯(lián)。響應(yīng)函數(shù)的傅里葉變換為因此，響應(yīng)函數(shù)傅里葉變換的虛部為由式(5.396)和漲落-耗散定理式(5.393)立刻推導(dǎo)出布朗粒子坐標(biāo)的關(guān)聯(lián)函數(shù)為借助方程式(5.397)和式(5.396)可以決定精確的平衡關(guān)聯(lián)。例如，由自相關(guān)函數(shù)的定義有03精確的海森伯運(yùn)動(dòng)方程因此作為一個(gè)例子，考慮帶有Lorentz-Drude截?cái)嗟腛hmic譜密度(見式(5.299))。按照定義式(5.355)可以求得阻尼核為其拉普拉斯變換為因此，我們有其中，在無(wú)限截?cái)鄺l件下，Ω→

,阻尼核的拉普拉斯變換成為實(shí)的，并且漲落譜取如下形式：03精確的海森伯運(yùn)動(dòng)方程對(duì)于

,譜成為與熱平衡條件下阻尼諧振子的經(jīng)典漲落譜一致。03精確的海森伯運(yùn)動(dòng)方程06量子軌道我們用如下兩步計(jì)算波函數(shù)

的變化。第一步，由波函數(shù)

用下面的非厄密哈密頓量計(jì)算得到

01蒙特卡羅波函數(shù)方法對(duì)于很小的δt,有因?yàn)镠是非厄密的，所以

不是歸一化的，因此式中01蒙特卡羅波函數(shù)方法且有我們總是可以通過(guò)調(diào)節(jié)δt,使得δp<1。第二步，考慮量子跳躍測(cè)量過(guò)程。為了決定量子跳躍是否已經(jīng)發(fā)生，我們定義一個(gè)均勻分布于0和1之間并且與δp可比較的隨機(jī)數(shù)ε。有兩種情況：(1)ε≥8p,這是大多數(shù)情況，因?yàn)棣膒<<1。這種情況沒(méi)有跳躍，并且2)ε<δp,狀態(tài)Cm|d())之一在各種可能的跳躍中按照相對(duì)概率Pm=δPm/δp(注意，

發(fā)生一次量子跳躍。所以02蒙特卡羅方法在平均上等價(jià)于主方程我們定義

,其中Av為在時(shí)刻t對(duì)多次蒙特卡羅結(jié)果的平均，所有都起始于

。下面我們將表明

一致?，F(xiàn)在來(lái)計(jì)算

。01蒙特卡羅波函數(shù)方法式(5.420)可以改寫為最后，如果對(duì)大量軌道取平均，即可得到主方程式(5.409)。類似于主方程方法，人們感興趣的是計(jì)算可觀測(cè)量的平均值。這里，對(duì)每條軌道可得

。因此02蒙特卡羅方法在平均上等價(jià)于主方程并且有03隨機(jī)薛定諤方程(SSE)和耗散系統(tǒng)可以證明蒙特卡羅方法和主方程在一定條件下等價(jià)。如果一個(gè)具有密度算符p的開放系統(tǒng)初始為純態(tài)，由于和庫(kù)的相互作用而演化為混合態(tài)，則不可能有對(duì)于

的決定方程，但是可以像期望的那樣，定義一個(gè)給出和環(huán)境相互作用概率性質(zhì)的隨機(jī)方程。我們已經(jīng)知道，一大類描述耗散量子系統(tǒng)的主方程可以被寫為L(zhǎng)indblad形式：02蒙特卡羅方法在平均上等價(jià)于主方程式中，Ps是系統(tǒng)的約化密度算符。上述方程的一個(gè)例子是場(chǎng)在溫度為T的有損腔中的主方程，在相互作用繪景下這個(gè)方程寫為式中，a和a+分別為光子的湮滅和產(chǎn)生算符，

是由普朗克分布給出的熱光子平均值，

這里

是阻尼時(shí)間。這里假設(shè)方程式(5.424)的形式解為定義則有03隨機(jī)薛定諤方程(SSE)和耗散系統(tǒng)注意到利用Dyson展開，則式(5.432)可表示為式中方程式(5.434)可以被重新寫為上面求和號(hào)中的每一項(xiàng)可以看作量子軌道，求和號(hào)中時(shí)刻t的約化密度算符包括了所有可能的量子軌道。對(duì)于這些軌道的每一條，式(5.436)表明，系統(tǒng)的演化可以被看成一系列與算符Jn相聯(lián)系的量子跳躍。算符J,隨時(shí)間演化與算符S(t)相聯(lián)系。每條軌道的概率通過(guò)對(duì)式(5.436)相應(yīng)的項(xiàng)求跡給出由式(5.433)和式(5.435),可以寫出03隨機(jī)薛定諤方程(SSE)和耗散系統(tǒng)式中因此，如果p是純態(tài)，則S(t)p也是純態(tài)。同樣，對(duì)于Jnp也是如此。這意味著，當(dāng)考慮單個(gè)量子軌道時(shí)，純態(tài)保持為純。也注意到，跳躍之間的演化由非幺正算符N(t)給出。由式(5.432)可知，跳躍算符可以有不同的選擇。這些不同的選擇對(duì)應(yīng)于利用密度算符Ps時(shí)間演化量子軌道的不同分解，并且對(duì)不同的實(shí)驗(yàn)方法，最終導(dǎo)致對(duì)系統(tǒng)演化的連續(xù)監(jiān)測(cè)。由于這種連續(xù)監(jiān)測(cè)，初始純態(tài)保持為純，因?yàn)檫@種情況下沒(méi)有信息損失。例如，對(duì)于腔中的場(chǎng)，連續(xù)監(jiān)測(cè)意味著場(chǎng)由于與庫(kù)相互作用而導(dǎo)致獲得或失去光子。04一個(gè)蒙特卡羅SSE模擬03隨機(jī)薛定諤方程(SSE)和耗散系統(tǒng)下面來(lái)看一個(gè)蒙特卡羅方法量子跳躍軌道的物理實(shí)現(xiàn)。設(shè)一束兩能級(jí)原子穿過(guò)無(wú)損腔并與某個(gè)電磁場(chǎng)發(fā)生相互作用，設(shè)原子束起著庫(kù)R的作用，腔模起著系統(tǒng)S的作用。原子被制備在上態(tài)

,兩態(tài)的轉(zhuǎn)換頻率w與腔模共振。原子從腔出來(lái)時(shí)由檢測(cè)器測(cè)量其狀態(tài)。在原子進(jìn)入腔之前處于上態(tài)和下態(tài)原子的比率為式中，

的能級(jí)差，T是庫(kù)溫度。我們現(xiàn)在分析在原子離開腔后的連續(xù)測(cè)量下，S的態(tài)矢量

的時(shí)間演化。假設(shè)人們知道