八上數(shù)學(xué)三角形邊角關(guān)系拔高題型

-.z.八上數(shù)學(xué)------三角形邊角關(guān)系拔高題型一．選擇題（共3小題）1．（2015?模擬）如圖，△ABC中，BO，CO分別是∠ABC，∠ACB的平分線，∠A=50°，則∠BOC等于（）A．110° B．115°C．120° D．130°2．（2015?）如圖，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，則外角∠ABD的度數(shù)是（）A．110° B．120° C．130° D．140°3．（2013?）一個(gè)正方形和兩個(gè)等邊三角形的位置如圖所示，若∠3=50°，則∠1+∠2=（）A．90° B．100° C．130° D．180°二．解答題（共9小題）4．（2016春?期中）在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分線，∠A=20°，∠B=60°．求∠BCD和∠ECD的度數(shù)．5．（2014秋?富順縣校級(jí)期末）如圖所示，已知P是△ABC一點(diǎn)，試說明PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．6．（2016春?故城縣期末）已知：a、b、c為三角形的三邊長(zhǎng)化簡(jiǎn)：|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|﹣|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|7．（2013秋?鯉城區(qū)校級(jí)期末）一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為36cm，三邊之比a：b：c=2：3：4，求a，b，c的值．8．（2015秋?校級(jí)期中）若三角形三條邊的長(zhǎng)度依次為*，*﹣2，*+2，則*的取值圍是多少？9．（2016春?遷安市月考）將紙片△ABC沿DE折疊使點(diǎn)A落在A′處的位置．（1）如果A′落在四邊形BCDE的部（如圖1），∠A′與∠1+∠2之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．（2）如果A′落在四邊形BCDE的BE邊上，這時(shí)圖1中的∠1變?yōu)?°角，則∠A′與∠2之間的關(guān)系是．（3）如果A′落在四邊形BCDE的外部（如圖2），這時(shí)∠A′與∠1、∠2之間又存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．10．（2006?）已知：如圖，AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，∠BEF的平分線與∠DFE的平分線相交于點(diǎn)P．求證：∠P=90°．11．（2015春?東城區(qū)期末）已知∠MON，點(diǎn)A，B分別在射線ON，OM上移動(dòng)（不與點(diǎn)O重合），AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，直線AD，BC相交于點(diǎn)C．（1）如圖1，若∠MON=90°，試猜想∠ACB的度數(shù)，并直接寫出結(jié)果；（2）如圖2，若∠MON=α，問：當(dāng)點(diǎn)A，B在射線ON，OM上運(yùn)動(dòng)的過程中，∠ACB的度數(shù)是否改變？若不改變，求出其值（用含α的式子表示）；若改變，請(qǐng)說明理由；（3）如圖3，若∠MON=α，BC平分∠ABO，其他條件不改變，問：（2）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)直接寫出你得結(jié)論．12．（2016春?太倉市期末）已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，點(diǎn)A、B、C分別是射線OM、OE、ON上的動(dòng)點(diǎn)（A、B、C不與點(diǎn)O重合），連接AC交射線OE于點(diǎn)D．設(shè)∠OAC=*°．（1）如圖1，若AB∥ON，則①∠ABO的度數(shù)是；②當(dāng)∠BAD=∠ABD時(shí)，*=；當(dāng)∠BAD=∠BDA時(shí)，*=．（2）如圖2，若AB⊥OM，則是否存在這樣的*的值，使得△ADB中有兩個(gè)相等的角？若存在，求出*的值；若不存在，說明理由．一．選擇題（共3小題）1．（2015?模擬）如圖，△ABC中，BO，CO分別是∠ABC，∠ACB的平分線，∠A=50°，則∠BOC等于（）A．110° B．115° C．120° D．130°【考點(diǎn)】三角形角和定理；角平分線的定義．【分析】根據(jù)三角形的角和定理和角平分線的定義求出∠OBC+∠OCB的度數(shù)，再根據(jù)三角形的角和等于180°即可求出∠BOC的度數(shù)．【解答】解：∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣50°=130°，∵BO，CO分別是∠ABC，∠ACB的平分線，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣65°=115°．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要利用三角形的角和定理和角平分線的定義，熟練掌握定理和概念是解題的關(guān)鍵．2．（2015?）如圖，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，則外角∠ABD的度數(shù)是（）A．110° B．120° C．130° D．140°【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)．【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)角的和列式計(jì)算即可得解．【解答】解：由三角形的外角性質(zhì)的，∠ABD=∠A+∠C=50°+70°=120°．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2013?）一個(gè)正方形和兩個(gè)等邊三角形的位置如圖所示，若∠3=50°，則∠1+∠2=（）A．90° B．100° C．130° D．180°【考點(diǎn)】三角形角和定理．【分析】設(shè)圍成的小三角形為△ABC，分別用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三個(gè)角，再利用三角形的角和等于180°列式整理即可得解．【解答】解：如圖，∠BAC=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1，∠ABC=180°﹣60°﹣∠3=120°﹣∠3，∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°，∴∠1+∠2=150°﹣∠3，∵∠3=50°，∴∠1+∠2=150°﹣50°=100°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的角和定理，用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三個(gè)角是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．二．解答題（共9小題）4．（2016春?期中）在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分線，∠A=20°，∠B=60°．求∠BCD和∠ECD的度數(shù)．【考點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高．【分析】由CD⊥AB與∠B=60°，根據(jù)兩銳角互余，即可求得∠BCD的度數(shù)，又由∠A=20°，∠B=60°，求得∠ACB的度數(shù)，由CE是∠ACB的平分線，可求得∠ACE的度數(shù)，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，求得∠CEB的度數(shù)．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠B=60°，∴∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°；∵∠A=20°，∠B=60°，∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠ACB=100°，∵CE是∠ACB的平分線，∴∠ACE=∠ACB=50°，∴∠CEB=∠A+∠ACE=20°+50°=70°，∠ECD=90°﹣70°=20°【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形的角和定理，三角形外角的性質(zhì)以及三角形高線，角平分線的定義等知識(shí)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．5．（2014秋?富順縣校級(jí)期末）如圖所示，已知P是△ABC一點(diǎn)，試說明PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系．【專題】證明題．【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系就可以證出．【解答】證明：在△ABP中：AP+BP＞AB．同理：BP+PC＞BC，AP+PC＞AC．以上三式分別相加得到：2（PA+PB+PC）＞AB+BC+AC，即PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．【點(diǎn)評(píng)】解本題的本題的關(guān)鍵是多次運(yùn)用了三角形的三邊關(guān)系定理．6．（2016春?故城縣期末）已知：a、b、c為三角形的三邊長(zhǎng)化簡(jiǎn)：|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|﹣|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系；絕對(duì)值；整式的加減．【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，再去絕對(duì)值符號(hào)，合并同類項(xiàng)即可．【解答】解：∵a、b、c為三角形三邊的長(zhǎng)，∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，∴原式=|（b+c）﹣a|+|b﹣（c+a）|﹣|c﹣（a+b）|﹣|（a+c）﹣b|=b+c﹣a+a+c﹣b﹣a﹣b+c+b﹣a﹣c=2c﹣2a．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解答此題的關(guān)鍵．7．（2013秋?鯉城區(qū)校級(jí)期末）一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為36cm，三邊之比a：b：c=2：3：4，求a，b，c的值．【考點(diǎn)】三角形．【分析】設(shè)三邊長(zhǎng)分別為2*，3*，4*，根據(jù)周長(zhǎng)為36cm，列出方程，解出方程的解即可得出答案．【解答】解：設(shè)三邊長(zhǎng)分別為2*，3*，4*，由題意得，2*+3*+4*=36，解得：*=4．則a=2×4=8（cm），b=3×4=12（cm），c=4×4=16（cm）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形，用到的知識(shí)點(diǎn)是三角形的周長(zhǎng)、一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出三邊的長(zhǎng)，利用方程思想求解．8．（2015秋?校級(jí)期中）若三角形三條邊的長(zhǎng)度依次為*，*﹣2，*+2，則*的取值圍是多少？【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系；解一元一次不等式組．【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出*+*﹣2＞*+2，求出即可．【解答】解：∵*﹣2＜*＜*+2，∴*+*﹣2＞*+2且*＞0，解得：*＞4．即*的取值圍是*＞4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理的應(yīng)用，能正確根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出不等式是解此題的關(guān)鍵．9．（2016春?遷安市月考）將紙片△ABC沿DE折疊使點(diǎn)A落在A′處的位置．（1）如果A′落在四邊形BCDE的部（如圖1），∠A′與∠1+∠2之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．（2）如果A′落在四邊形BCDE的BE邊上，這時(shí)圖1中的∠1變?yōu)?°角，則∠A′與∠2之間的關(guān)系是2∠A=∠2．（3）如果A′落在四邊形BCDE的外部（如圖2），這時(shí)∠A′與∠1、∠2之間又存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【考點(diǎn)】三角形角和定理；三角形的外角性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)折疊性質(zhì)得出∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，根據(jù)三角形角和定理得出∠AED+∠ADE=180°﹣∠A，代入∠1+∠2=180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE）求出即可；（2）根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠DME=∠A′+∠1，∠2=∠A+∠DME，代入即可求出答案．【解答】解：（1）圖1中，2∠A=∠1+∠2，理由是：∵延DE折疊A和A′重合，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∵∠AED+∠ADE=180°﹣∠A，∠1+∠2=180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE），∴∠1+∠2=360°﹣2（180°﹣∠A）=2∠A；（2）2∠A=∠2，如圖∠2=∠A+∠EA′D=2∠A，故答案為：2∠A=∠2；（3）如圖2，2∠A=∠2﹣∠1，理由是：∵延DE折疊A和A′重合，∴∠A=∠A′，∵∠DME=∠A′+∠1，∠2=∠A+∠DME，∴∠2=∠A+∠A′+∠1，即2∠A=∠2﹣∠1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形角和定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．10．（2006?）已知：如圖，AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，∠BEF的平分線與∠DFE的平分線相交于點(diǎn)P．求證：∠P=90°．【考點(diǎn)】三角形角和定理；平行線的性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】由AB∥CD，可知∠BEF與∠DFE互補(bǔ)，由角平分線的性質(zhì)可得∠PEF+∠PFE=90°，由三角形角和定理可得∠P=90°．【解答】證明：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE=180°．又∵∠BEF的平分線與∠DFE的平分線相交于點(diǎn)P，∴∠PEF=∠BEF，∠PFE=∠DFE，∴∠PEF+∠PFE=（∠BEF+∠DFE）=90°．∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°，∴∠P=90°．【點(diǎn)評(píng)】考查綜合運(yùn)用平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形角和等知識(shí)解決問題的能力．11．（2015春?東城區(qū)期末）已知∠MON，點(diǎn)A，B分別在射線ON，OM上移動(dòng)（不與點(diǎn)O重合），AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，直線AD，BC相交于點(diǎn)C．（1）如圖1，若∠MON=90°，試猜想∠ACB的度數(shù)，并直接寫出結(jié)果；（2）如圖2，若∠MON=α，問：當(dāng)點(diǎn)A，B在射線ON，OM上運(yùn)動(dòng)的過程中，∠ACB的度數(shù)是否改變？若不改變，求出其值（用含α的式子表示）；若改變，請(qǐng)說明理由；（3）如圖3，若∠MON=α，BC平分∠ABO，其他條件不改變，問：（2）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)直接寫出你得結(jié)論．【考點(diǎn)】三角形角和定理；三角形的外角性質(zhì)．【專題】探究型．【分析】（1）利用外角的性質(zhì)和三角形的角和定理可得∠NAB+∠MBA=90°+∠ABO+90°+∠BAO=90°+180°=270°，由角平分線的性質(zhì)得∠CAB+∠CBA，由角和定理得∠ACB；（2）如圖1，由角平分線的性質(zhì)易得∠1=∠2=∠BAN，∠3=∠4=∠ABM，由三角形外角和定理易得∠2+∠4，得∠ACB；（3）如圖2，同（2）可得結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠MON=90°，∠NAB=∠AOB+∠ABO=90°+∠ABO，∠ABM=∠AOB+∠BAO=90°+∠BAO，∴∠NAB+∠MBA=90°+∠ABO+90°+∠BAO=90°+180°=270°，∵AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，∴∠CAB+∠CBA==135°，∴∠ACB=45°；（2）∠ACB的度數(shù)不改變?nèi)鐖D1，∵AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，∴∠1=∠2=∠BAN，∠3=∠4=∠ABM，∵∠BAN=∠O+∠6，∠ABM=∠O+∠5，∴∠2+∠4=（∠BAN+∠ABM）=（∠O+∠5+∠O+∠6）=90°+∠O，∴∠ACB=180°﹣（∠2+∠4）=90°﹣∠O=90°﹣α；（3）∠ACB的度數(shù)不改變，如圖2，∵∠2=∠ACB+∠3，∠NAB=α+∠3+∠4，AD平分∠BAN，BC平分∠ABO，∴∠NAB=2∠2，∴2∠2=α+2∠3，∴∠2=+∠3，∴∠ACB=α．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，外角性質(zhì)和三角形的角和定理，綜合運(yùn)用各定理是解答此題的關(guān)鍵．12．（2016春?太倉市期末）已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，點(diǎn)A、B、C分別是射線OM、OE、ON上的動(dòng)點(diǎn)（A、B、C不與點(diǎn)O重合），連接AC交射線OE于點(diǎn)D．設(shè)∠OAC=*°．（1）如圖1，若AB∥ON，則①∠ABO的度數(shù)是20°；②當(dāng)∠BAD=∠ABD時(shí)，*=120°；當(dāng)∠BAD=∠BDA時(shí)，*=60°．（2）如圖2，若AB⊥OM，則是否存在這樣的*的值，使得△ADB中有兩個(gè)相等的角？若存在，求出*的值；若不存在，說明理由．【考點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高；平行線的性質(zhì)；三角形角和定理．【專題】計(jì)算題．【分析】利用角平分線的性質(zhì)求出∠ABO的度數(shù)是關(guān)鍵，分類討論的思想．【解答】解：（1）①∵∠MON=40°，OE平分∠MON∴∠AOB=∠BON=20°∵AB∥ON∴∠ABO=20°②∵∠BAD=∠ABD∴∠BAD=20°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=120°∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°∴∠BAD=80°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=60°故答案為：①20②120，60（2）①當(dāng)點(diǎn)D在線段OB上時(shí)，若∠BAD=∠ABD，則*=20若∠BAD=∠BDA，則*=35若∠ADB=∠ABD，則*=50②當(dāng)點(diǎn)D在射線BE上時(shí)，因?yàn)椤螦BE=110°，且三角形的角和為180°，所以只有∠BAD=∠BDA，此時(shí)*=125．綜上可知，存在這樣的*的值，使得△ADB中有兩個(gè)相等的角，且*=20、35、50、125．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的角和定理和三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，注意：三角形的角和等于180°，三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)角之和．考點(diǎn)卡片1．絕對(duì)值（1）概念：數(shù)軸上*個(gè)數(shù)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值．①互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值相等；②絕對(duì)值等于一個(gè)正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，絕對(duì)值等于0的數(shù)有一個(gè)，沒有絕對(duì)值等于負(fù)數(shù)的數(shù)．③有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)．（2）如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a絕對(duì)值要由字母a本身的取值來確定：①當(dāng)a是正有理數(shù)時(shí)，a的絕對(duì)值是它本身a；②當(dāng)a是負(fù)有理數(shù)時(shí)，a的絕對(duì)值是它的相反數(shù)﹣a；③當(dāng)a是零時(shí)，a的絕對(duì)值是零．即|a|={a（a＞0）0（a=0）﹣a（a＜0）2．整式的加減（1）幾個(gè)整式相加減，通常用括號(hào)把每一個(gè)整式括起來，再用加減號(hào)連接；然后去括號(hào)、合并同類項(xiàng)．（2）整式的加減實(shí)質(zhì)上就是合并同類項(xiàng)．（3）整式加減的應(yīng)用：①認(rèn)真審題，弄清已知和未知的關(guān)系；②根據(jù)題意列出算式；③計(jì)算結(jié)果，根據(jù)結(jié)果解答實(shí)際問題．【規(guī)律方法】整式的加減步驟及注意問題1．整式的加減的實(shí)質(zhì)就是去括號(hào)、合并同類項(xiàng)．一般步驟是：先去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)．2．去括號(hào)時(shí)，要注意兩個(gè)方面：一是括號(hào)外的數(shù)字因數(shù)要乘括號(hào)的每一項(xiàng)；二是當(dāng)括號(hào)外是“﹣”時(shí)，去括號(hào)后括號(hào)的各項(xiàng)都要改變符號(hào)．3．解一元一次不等式組（1）一元一次不等式組的解集：幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集．（2）解不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組．（3）一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時(shí)，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．方法與步驟：①求不等式組中每個(gè)不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分．解集的規(guī)律：同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到．4．角平分線的定義（1）角平分線的定義從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線．（2）性質(zhì)：若OC是∠AOB的平分線則∠AOC=∠BOC=∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．（3）平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規(guī)作圖法等，要注意積累，多動(dòng)手實(shí)踐．5．平行線的性質(zhì)1、平行線性質(zhì)定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁角互補(bǔ)．．簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同旁角互補(bǔ)．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，錯(cuò)角相等．簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，錯(cuò)角相等．2、兩條平行線之間的距離處處相等．6．三角形（1）三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．組成三角形的線段叫做三角形的邊．相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn)．相鄰兩邊組成的角叫做三角形的角，簡(jiǎn)稱三角形的角．（2）按邊的相等關(guān)系分類：不等邊三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等邊三角形）．（3）三角形的主要線段：角平分線、中線、高．（4）三角形具有穩(wěn)定性．7．三角形的角平分線、中線和高（1）從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高．（2）三角形一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊