蘇教版學(xué)高中數(shù)學(xué)必修二立體幾何初步平面與平面的位置關(guān)系兩平面平行講義

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)１．了解平面與平面的兩種位置關(guān)系．了解兩個(gè)平面間的距離的概念．（重點(diǎn)）２．理解空間中面面平行的判定定理和性質(zhì)定理，并能靈活應(yīng)用．（重點(diǎn)、難點(diǎn)）通過(guò)學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容進(jìn)一步提升學(xué)生的直觀(guān)想象、邏輯推理核心素養(yǎng).１．平面與平面之間的位置關(guān)系位置關(guān)系平面α與平面β相交平面α與平面β平行公共點(diǎn)有一條公共直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)符號(hào)表示α∩β＝aα∥β圖形表示２．平面與平面平行的判定定理自然語(yǔ)言如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行符號(hào)語(yǔ)言aα，bα，a∩b＝A，a∥β，b∥β?α∥β圖形語(yǔ)言３．平面與平面平行的性質(zhì)定理自然語(yǔ)言如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么所得的兩條交線(xiàn)平行符號(hào)語(yǔ)言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b圖形語(yǔ)言思考：兩平行平面內(nèi)的直線(xiàn)是否相互平行？提示：（１）已知兩個(gè)平面平行，顯然一個(gè)平面內(nèi)的任何直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，但是這兩個(gè)平面內(nèi)的所有直線(xiàn)并不一定相互平行，它們可能是平行直線(xiàn)，也可能是異面直線(xiàn)，但不可能是相交直線(xiàn)．（２）該定理提供了證明線(xiàn)線(xiàn)平行的另一種方法，應(yīng)用時(shí)要緊扣與兩個(gè)平行平面都相交的第三個(gè)平面．４．兩個(gè)平行平面間的距離（１）公垂線(xiàn)與公垂線(xiàn)段與兩個(gè)平行平面都垂直的直線(xiàn)，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線(xiàn)，它夾在這兩個(gè)平行平面間的線(xiàn)段，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線(xiàn)段．（２）兩個(gè)平行平面間的距離兩個(gè)平行平面的公垂線(xiàn)段都相等．公垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度叫做兩個(gè)平行平面間的距離．１．思考辨析（１）若平面α內(nèi)的兩條直線(xiàn)分別與平面β平行，則α與β平行． （）（２）若平面α內(nèi)的兩條不平行的直線(xiàn)分別與平面β平行，則α與β平行． （）（３）若平面α內(nèi)有一條直線(xiàn)平行于平面β，平面β內(nèi)也有一條直線(xiàn)平行于α，則α與β平行． （）（４）若平面α內(nèi)的任何直線(xiàn)都與平面β平行，則α與β平行． （）[答案]（１）×（２）√（３）×（４）√２．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A１B１C１D１中，（１）平面AB１與平面D１C（２）平面BD１與平面AC１________；（３）若E，F(xiàn)，G，H分別為DD１，CC１，AA１，B１B的中點(diǎn)，則平面ABFE與平面BC１________；（４）平面D１C１HG與平面ABFE[答案]（１）平行（２）相交（３）相交（４）平行３．平面α∥平面β，直線(xiàn)aα，直線(xiàn)bβ，則下列四種情況：１a⊥b；２a∥b；３a與b異面；４a與b相交．其中可能出現(xiàn)的情況有________種．３[只有a，b相交不可能．]４．如圖，在四棱錐P-ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為PA，PB，PC，PD的中點(diǎn)，PA⊥平面AC，若PA＝２，則平面EFGH與平面ABCD的距離為_(kāi)_______．１[∵E，F(xiàn)，G，H為PA，PB，PC，PD的中點(diǎn)，∴平面EFGH∥平面ABCD，∵PA⊥平面AC，∴PA⊥平面EG，∴AE為平面AC與平面EG的公垂線(xiàn)段，AE＝eq\f（１,２）PA＝１．]面面平行判定定理的應(yīng)用【例１】如圖，在正方體ABCD-A１B１C１D１中，M，E，F(xiàn)，N分別是A１B１，B１C１，C１D１，D１求證：（１）E，F(xiàn)，B，D四點(diǎn)共面；（２）平面MAN∥平面EFDB.思路探究：解答本題第（１）問(wèn)，只需證BD∥EF即可．第（２）問(wèn)，只需證MN∥平面EFDB，AM∥平面EFDB即可．[證明]（１）連結(jié)B１D１.∵E，F(xiàn)分別是邊B１C１，C１D１的中點(diǎn)∴EF∥B１D１.而B(niǎo)D∥B１D１，∴BD∥EF.∴E，F(xiàn)，B，D四點(diǎn)共面．（２）易知MN∥B１D１，B１D１∥BD，∴MN∥BD.又MN平面EFDB，BD平面EFDB，∴MN∥平面EFDB.連結(jié)MF.∵M(jìn)，F(xiàn)分別是A１B１，C１D１的中點(diǎn)，∴MF∥A１D１，MF＝A１D１.∴MF∥AD，MF＝AD.∴四邊形ADFM是平行四邊形，∴AM∥DF.又AM平面EFDB，DF平面EFDB，∴AM∥平面EFDB.又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.證明兩平面平行的主要方法是用判定定理，即將“面面平行”轉(zhuǎn)化為“線(xiàn)面平行”再轉(zhuǎn)化為“線(xiàn)線(xiàn)平行”，具體操作就是在其中一個(gè)面內(nèi)尋找出兩條相交直線(xiàn)，均平行于另一個(gè)平面，而尋找這兩條相交直線(xiàn)時(shí)，應(yīng)結(jié)合條件，常用到中位線(xiàn)定理、平行四邊形的性質(zhì)、比例線(xiàn)段等平面幾何知識(shí)．１．如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點(diǎn)M，N，Q分別在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求證：平面MNQ∥平面PBC.[證明]∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP.∵BP平面PBC，NQ平面PBC，∴NQ∥平面PBC.又底面ABCD為平行四邊形，∴BC∥AD，∴MQ∥BC，∵BC平面PBC，MQ平面PBC，∴MQ∥平面PBC.又MQ∩NQ＝Q，根據(jù)平面與平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用【例２】如圖所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分別在α，β內(nèi)，線(xiàn)段AA′，BB′，CC′共點(diǎn)于O，O在α，β之間，若AB＝２，AC＝１，∠BAC＝90°，OA∶OA′＝３∶２．求△A′B′C′的面積．思路探究：先利用面面平行的性質(zhì)得線(xiàn)線(xiàn)平行，再利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例求△A′B′C′的面積．[解]相交直線(xiàn)AA′，BB′所在平面和兩平行平面α，β分別相交于AB，A′B′.由面面平行的性質(zhì)定理可得AB∥A′B′.同理相交直線(xiàn)BB′，CC′確定的平面和平行平面α，β分別相交于BC，B′C′，從而B(niǎo)C∥B′C′.同理易證AC∥A′C′.∴∠BAC與∠B′A′C′的兩邊對(duì)應(yīng)平行且方向相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′.同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′.∴△ABC與△A′B′C′的三內(nèi)角分別相等，∴△ABC∽△A′B′C′，∵AB∥A′B′，AA′∩BB′＝O，∴在平面ABA′B′中，△AOB∽△A′OB′.∴eq\f（A′B′,AB）＝eq\f（OA′,OA）＝eq\f（２,３）.而S△ABC＝eq\f（１,２）AB·AC＝eq\f（１,２）×２×１＝１．∴eq\f（S△A′B′C′,S△ABC）＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs４\al\co１（\f（A′B′,AB）））eq\s\up１２（２），∴S△A′B′C′＝eq\f（４,9）S△ABC＝eq\f（４,9）×１＝eq\f（４,9）.通過(guò)面面平行的性質(zhì)定理將面面平行轉(zhuǎn)化得到線(xiàn)線(xiàn)平行，這是直接利用面面平行的性質(zhì)定理．利用面面平行的關(guān)鍵是要找到過(guò)已知的直線(xiàn)與已知的直線(xiàn)平行的平面．２．如圖所示，已知三棱柱ABC-A１B１C１，D是BC的中點(diǎn)，D１是B１C１的中點(diǎn)，設(shè)平面A１D１B∩平面ABC＝l１，平面ADC１∩平面A１B１C１＝l２.求證：l１∥[證明]連結(jié)D１D（圖略），∵D與D１分別是BC與B１C１的中點(diǎn)，∴DD１BB１.又BB１AA１，∴DD１AA１，∴A１D１∥AD.又平面A１B１C１∥平面ABC且平面A１B１C１∩平面A１D１B＝A１D１平面A１D１B∩平面ABC＝l１，∴A１D１∥l１.同理可證AD∥l２，又A１D１∥AD，即A１D１∥l２，∴l(xiāng)１∥l２.面面平行關(guān)系的綜合應(yīng)用[探究問(wèn)題]１．過(guò)平面外一條直線(xiàn)可以作幾個(gè)與已知平面平行的平面？[提示]當(dāng)直線(xiàn)與平面相交時(shí)，不能作出符合題意的平面；當(dāng)直線(xiàn)與平面平行時(shí)，可作出唯一的一個(gè)符合題意的平面．２．平面α∥平面β，△ABC和△A′B′C′分別在平面α和平面β內(nèi)，若對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)共點(diǎn)，則這兩個(gè)三角形有怎樣的關(guān)系？[提示]這兩個(gè)三角形相似，由于對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)共點(diǎn)，則AB與A′B′共面，由面與面平行的性質(zhì)知AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′，故兩個(gè)三角形相似．【例３】如圖所示，AB，CD是夾在平行平面α，β之間的異面線(xiàn)段，且A，C∈α，B，D∈β，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線(xiàn)段AB，CD上，且eq\f（AE,EB）＝eq\f（CF,FD）.求證：EF∥平面β.思路探究：利用面面平行的性質(zhì)，將證明線(xiàn)面平行轉(zhuǎn)化為證明面面平行．[證明]如圖所示，連結(jié)BC并在BC上取一點(diǎn)G，使得eq\f（AE,EB）＝eq\f（CG,GB），則在△BAC中，EG∥AC，而AC平面α，EG平面α，∴EG∥α.又α∥β，∴EG∥β.同理可得GF∥BD，而B(niǎo)Dβ，GFβ，∴GF∥β.又EG∩GF＝G，∴平面EGF∥β.又EF平面EGF，∴EF∥平面β.線(xiàn)面平行與面面平行性質(zhì)定理著重體現(xiàn)了平行間的轉(zhuǎn)化思想．轉(zhuǎn)化是綜合應(yīng)用的關(guān)鍵．３．如圖所示，在三棱柱ABC-A１B１C１中，E是AC的中點(diǎn)，求證：AB１∥平面BEC１[證明]如圖，取A１C１的中點(diǎn)F，連結(jié)AF，B１∵E為AC的中點(diǎn)，∴AF∥C１E.∵AF平面BEC１，C１E平面BEC１，∴AF∥平面BEC１.連結(jié)EF，由E，F(xiàn)分別是AC，A１C１的中點(diǎn)，可知EFAA１BB１，∴BE∥B１F，又B１F平面BEC１，BE平面BEC１，∴B１F∥平面BEC１，∵B１F∩AF＝∴平面BEC１∥平面AB１F∵AB１平面AB１F，∴AB１∥平面BEC１.１．本節(jié)課的重點(diǎn)是能應(yīng)用平面與平面平行的判定定理和平面與平面平行的性質(zhì)定理來(lái)求解所給問(wèn)題，理解兩個(gè)定理的含義，并會(huì)應(yīng)用．難點(diǎn)是運(yùn)用兩個(gè)定理解題．２．本節(jié)課重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法（１）判斷或證明平面與平面平行的方法．（２）已知中面面平行的常用方法．３．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是運(yùn)用定理判斷或證明平行時(shí)條件羅列不全而致錯(cuò)．１．設(shè)直線(xiàn)l，m，平面α，β，下列條件能得出α∥β的是（）Ａ．lα，mα，且l∥β，m∥βＢ．lα，mβ，且l∥mＣ．l⊥α，m⊥β，且l∥mＤ．l∥α，m∥β，且l∥mC[A不正確，α與β有可能相交，也有可能平行；B不正確，α與β有可能相交，也有可能平行；C正確，∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又m⊥β，∴α∥β；D不正確，α與β有可能相交，也有可能平行．]２．一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是________．平行或相交[有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面并不能保證平面內(nèi)沒(méi)有一條直線(xiàn)與另一個(gè)平面相交．]３．若不共線(xiàn)的三點(diǎn)到平面α的距離相等，則這三點(diǎn)確定的平面β與α之間的關(guān)系是________．平行或相交[若三點(diǎn)在平面α的同側(cè)，則α∥β；若三點(diǎn)在平面α的異側(cè)，則α與β相交．]４．如圖所示，兩個(gè)全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求證：MN