2021-2022學(xué)年上海市黃浦區(qū)九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案

2021-2022學(xué)年上海市黃浦區(qū)九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上．】1.4和9的比例中項(xiàng)是（）A.6 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的定義：如果存在a、b、c三個(gè)數(shù)，滿足，那么b就交租ac的比例中項(xiàng)，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)4和9的比例中項(xiàng)為x，∴，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求比例中項(xiàng)，熟知比例中項(xiàng)的定義是解題的關(guān)鍵．2.如果兩個(gè)相似三角形的周長比為，那么它們的對(duì)應(yīng)角平分線的比為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行分析即可得到答案．【詳解】解：∵兩個(gè)相似三角形的周長比為1：4，

∴兩個(gè)相似三角形的相似比為1：4，

∴它們的對(duì)應(yīng)角平分線之比為1：4，

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)相似三角形性質(zhì)的理解．（1）相似三角形周長的比等于相似比．（2）相似三角形面積的比等于相似比的平方．（3）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比．3.已知是非零向量，下列條件中不能判定的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)的條件是與的方向相同或相反進(jìn)行求解即可．【詳解】解：A、∵，∴與的方向相同，∴，故此選項(xiàng)不符合題意；B、∵，∴與的方向相同，∴，故此選項(xiàng)不符合題意；C、由，只能說明與的長度相同，并不能得到與的方向相同或相反，∴不能得到，故此選項(xiàng)符合題意；D、∵，，∴，∴與的方向相反，∴，故此選項(xiàng)不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量平行的條件，熟知兩個(gè)向量平行的條件是方向相同或相反是解題的關(guān)鍵．4.中，，若，，下列各式中正確的是

A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題可以利用銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理分別求解，再進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，，，

，

A.，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.，故此選項(xiàng)正確；

D.，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了銳角三角函數(shù)定義以及勾股定理，熟練應(yīng)用銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的關(guān)鍵．5.如圖，點(diǎn)分別在的邊、上，下列各比例式不一定能推得的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對(duì)應(yīng)線段成比例，兩直線平行，可得答案.【詳解】解：A、∵，∴DE∥BC，不符合題意；B、由，不一定能推出DE∥BC，符合題意；C、∵，∴DE∥BC，不符合題意；D、∵，∴DE∥BC，不符合題意.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)應(yīng)線段成比例，兩直線平行，理解對(duì)應(yīng)線段是解答此題的關(guān)鍵.6.二次函數(shù)的圖像如圖所示，那么點(diǎn)在（）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對(duì)稱軸的位置、開口方向、與y軸的交點(diǎn)的位置即可判斷出a、b、c的符號(hào)，進(jìn)而求出的符號(hào)．【詳解】由函數(shù)圖像可得：

∵拋物線開口向上，

∴a＞0，

又∵對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，

∴，

∴b<0，

又∵圖象與y軸交于負(fù)半軸，

∴c＜0，

∴∴在第三象限故選：C【點(diǎn)睛】考查二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符號(hào)的確定．根據(jù)對(duì)稱軸的位置、開口方向、與y軸的交點(diǎn)的位置判斷出a、b、c的符號(hào)是解題的關(guān)鍵．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7.計(jì)算：如果，那么_________【答案】【解析】【分析】根據(jù)，可得，再代入即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的基本性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8.如圖，已知它們分別交直線于點(diǎn)和點(diǎn)，如果，，那么線段的長是_________

【答案】8【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得．【詳解】解：，，，，，解得，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題關(guān)鍵．9.如圖，分別是的邊延長線上的點(diǎn)，，，如果，那么向量_________（用向量表示）．【答案】【解析】【分析】由，可得且相似比為1：2，故DE：BC=1：2，又因?yàn)楹头较蛳嗤?，故．【詳解】∵∴，∴又∵故和相似比?：2則DE：BC=1：2故故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)和向量．兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似．?dāng)?shù)乘向量：實(shí)數(shù)和向量的乘積是一個(gè)向量，記作，且的長．10.在Rt中，，如果，那么_________【答案】60°##60度【解析】【分析】根據(jù)特殊角銳角三角函數(shù)值，即可求解．【詳解】解：在Rt中，，，∵，∴，∴．故答案為：60°【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角銳角三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角銳角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．11.已知一條拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且在對(duì)稱軸右側(cè)的部分是下降的，該拋物戰(zhàn)的表達(dá)式可以是_________（寫出一個(gè)即可）．【答案】y=-x2+1【解析】【分析】首先根據(jù)在對(duì)稱軸右側(cè)部分是下降確定其開口方向，然后根據(jù)經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)確定解析式即可．【詳解】解：∵在對(duì)稱軸右側(cè)部分是下降，

∴設(shè)拋物線的解析式可以為y=-x2+b，

∵經(jīng)過點(diǎn)（0，1），

∴解析式可以是y=-x2+1，

故答案為：y=-x2+1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)在對(duì)稱軸兩側(cè)的增減性相反是解題的關(guān)鍵，即根據(jù)增減性可以確定出開口方向進(jìn)而確定出a的符號(hào)．12.如果拋物線的對(duì)稱軸是軸，那么頂點(diǎn)坐標(biāo)為_________【答案】（0，-1）【解析】【分析】由題意知，即可解得拋物線為，將代入即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)．【詳解】中a=-1，b=b故解得故拋物線為將代入有故頂點(diǎn)坐標(biāo)（0，-1）故答案為：（0，-1）．【點(diǎn)睛】本題考察了二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，與y軸的交點(diǎn)為（0，c）．13.已知某小山坡的坡長為400米、山坡的高度為200米，那么該山坡的坡度_________【答案】1：【解析】【分析】根據(jù)坡度的定義，求出水平距離，求山坡的高度與水平距離的比即可．【詳解】解：由勾股定理可知山坡的水平距離為：＝200米，∴坡度i＝＝1：．故答案為：1：．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理，明確坡度是山坡的高度與水平距離的比．14.如圖，是邊長為3等邊三角形，分別是邊上的點(diǎn)，，如果，那么_________

【答案】【解析】【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠C＝60°，證明△ABD∽△DCE，由相似三角形的性質(zhì)得出則可求出答案．【詳解】解：∵是邊長為3的等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15.如圖，在Rt中，是邊上的中線，，則的值是_________

【答案】##0.8【解析】【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AB=2CD=10，CD=AD，然后根據(jù)余弦函數(shù)的定義列式求出∠A的余弦值，即為cos∠ACD的值．【詳解】解：∵CD是AB邊上的中線，∠ACB=90°，∴AB=2CD=10，CD=AD，∴∠ACD=∠A，AC==8，∴cos∠ACD=coa∠A=，∴cos∠ACD的值為．

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，求出∠A=∠ACD是解本題的關(guān)鍵．16.如圖，在中，中線相交于點(diǎn)，如果的面積是4，那么四邊形的面積是_________

【答案】8【解析】【分析】如圖所示，連接DE，先推出DE是△ABC的中位線，得到，DE∥AB，即可證明△ABO∽△DEO，△CDE∽△CBA，得到，從而推出，即可得到，再由，即可得到，由，得到，則．【詳解】解：如圖所示，連接DE，∵AD，BE分別是BC，AC邊上的中線，∴D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴，DE∥AB，∴△ABO∽△DEO，△CDE∽△CBA，∴，∴，∴，∴，∴∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：8．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．17.如圖，在△ABC中，，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)D處，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，如果點(diǎn)E恰好在線段BD的延長線上，那么邊BC的長等于_________【答案】【解析】【分析】如圖所示，連接CE，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AD=AB=4，BC=DE，∠BCD=∠DEA，AE=AC=5，則CD=AC-AD=1，然后證明△BDC∽△ADE，得到，即，則，由此即可得到答案．詳解】解：如圖所示，連接CE，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AD=AB=4，BC=DE，∠BCD=∠DEA，AE=AC=5，∴CD=AC-AD=1又∵∠BDC=∠ADE，∴△BDC∽△ADE，∴，即，∴，∴（負(fù)值已經(jīng)舍去），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．18.若拋物線的頂點(diǎn)為，拋物線的頂點(diǎn)為B，且滿足頂點(diǎn)A在拋物線上，頂點(diǎn)B在拋物線上，則稱拋物線與拋物線互為“關(guān)聯(lián)拋物線”，已知頂點(diǎn)為M的拋物線與頂點(diǎn)為N的拋物線互為“關(guān)聯(lián)拋物線”，直線MN與軸正半軸交于點(diǎn)D，如果，那么頂點(diǎn)為N的拋物線的表達(dá)式為_________【答案】【解析】【分析】設(shè)頂點(diǎn)為N的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)N為（a，b），由題意可知，即可求得D點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），則有直線MD解析式為，因?yàn)镹點(diǎn)過直線MD，N點(diǎn)也過拋物線，故有，解得，故N點(diǎn)坐標(biāo)為（，），可設(shè)頂點(diǎn)為N的拋物線的表達(dá)式為，又因?yàn)镸點(diǎn)過，即可解得a=-1，故頂點(diǎn)為N的拋物線的表達(dá)式為．【詳解】設(shè)頂點(diǎn)為N的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)N為（a，b）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)M為（2，3）∵∴即解得∵直線MN與軸正半軸交于點(diǎn)D∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0）則直線MD解析式為N點(diǎn)在直線MD上，N點(diǎn)也在拋物線故有化簡得聯(lián)立得化簡得解得a=或a=2（舍）將a=代入有解得故N點(diǎn)坐標(biāo)為（，）則頂點(diǎn)為N的拋物線的表達(dá)式為將（2，3）代入有化簡得解得a=-1故頂點(diǎn)為N的拋物線的表達(dá)式為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考察了二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用．理解題意所述“關(guān)聯(lián)拋物線”的特點(diǎn)，即若拋物線的頂點(diǎn)為，拋物線的頂點(diǎn)為B，且滿足頂點(diǎn)A在拋物線上，頂點(diǎn)B在拋物線上是解題的關(guān)鍵．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】先將特殊角銳角三角函數(shù)值代入，再化簡即可求解．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角銳角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，熟練掌握特殊角銳角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．20.已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過兩點(diǎn)（1）求二次函數(shù)的解析式：（2）將該二次函數(shù)的解析式化為的形式，并寫出該二次函數(shù)圖像的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸【答案】（1）

（2），二次函數(shù)圖像開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線

【解析】【分析】（1）將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，解得的值，表達(dá)二次函數(shù)的解析式；（2）將二次函數(shù)的解析式進(jìn)行配方寫成頂點(diǎn)式，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線．【小問1詳解】解：將，代入有解得

∴二次函數(shù)的解析式為．【小問2詳解】解：∴∴，二次函數(shù)圖像開口向上；頂點(diǎn)坐標(biāo)為；對(duì)稱軸為直線．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的不同表達(dá)方式與函數(shù)圖像．解題的關(guān)鍵在于正確表示解析式的形式．21.已知：如圖，在中，

（1）求證（2）如果，求的長．【答案】（1）見解析（2）3【解析】【分析】（1）根據(jù)DE∥BC，可得，從而得到，進(jìn)而得到，可證得△AEF∽△ACD，從而得到∠AFE=∠ADC，即可求證；（2）根據(jù)△AEF∽△ACD，可得，從而得到AF=12，即可求解．【小問1詳解】證明：∵DE∥BC，∴，∵，∴，∴，∵∠A=∠A，∴△AEF∽△ACD，∴∠AFE=∠ADC，∴EF∥CD；【小問2詳解】∵△AEF∽△ACD，，∴，∵，∴AF=12，∴DF=AD-AF=3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行分線段成比例，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行分線段成比例，相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．22.已知：如圖，在四邊形中，，過點(diǎn)作，分別交、點(diǎn)、，且滿足．（1）求證：（2）求證：【答案】（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)DFBC，得，由AB?AF=DF?BC，得，∠AFE=∠DFA，可證△AEF∽△DAF，即可得答案；（2）根據(jù)ABCD，得，由，得，再證四邊形DFBC是平行四邊形，得，最后根據(jù)DFBC，即可得答案．【小問1詳解】解：∵DFBC，∴，∴，∵AB?AF=DF?BC，∴，∴，∵∠AFE=∠DFA，∴△AEF∽△DAF，∴∠AEF=∠DAF；【小問2詳解】∵ABCD，∴，∴，∵，∴，∴，∵DFBC，ABCD，∴四邊形DFBC是平行四邊形，∴DF=BC，∴，∵DFBC，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)，做題的關(guān)鍵是相似三角形性質(zhì)的靈活運(yùn)用．23.如圖，在東西方向的海岸線1上有一長為1千米的碼頭MN，在距碼頭西端M的正西方向58千米處有一觀測(cè)站O，現(xiàn)測(cè)得位于觀測(cè)站O的北偏西37°方向，且與觀測(cè)站O相距60千米的小島A處有艘輪船開始航行駛向港口MN．經(jīng)過一段時(shí)間后又測(cè)得該輪船位于觀測(cè)站O的正北方向，且與觀測(cè)站O相距30千米的B處．（1）求AB兩地的距離：（結(jié)果保留根號(hào)）（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否行至碼頭MN靠岸？請(qǐng)說明理由（參考數(shù)據(jù)：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37＝0.75）【答案】（1）（2）不能，理由見解析【解析】【分析】（1）過點(diǎn)A作AC⊥OB于點(diǎn)C．可知△ABC為直角三角形．根據(jù)勾股定理解答．

（2）延長AB交l于D，比較OD與OM、ON的大小即可得出結(jié)論．【小問1詳解】過點(diǎn)A作AC⊥OB于點(diǎn)C．由題意，得MN=1,OM=58,，OA=60,OB=30∴AC=，∴∴【小問2詳解】如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船不能行至碼頭MN靠岸延長AB交l于D，∵AC∥OD∴∴∴，解得∵M(jìn)N=1,OM=58∴ON=59∴∴如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船不能行至碼頭MN靠岸【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，此題結(jié)合方向角，考查了閱讀理解能力、解直角三角形的能力．計(jì)算出相關(guān)特殊角和作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)與軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸與BC交于點(diǎn)D，與軸交于點(diǎn)E．（1）求拋物線的對(duì)稱軸及B點(diǎn)的坐標(biāo)（2）如果，求拋物線的表達(dá)式；（3）在（2）的條件下，已知點(diǎn)F是該拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且在線段的下方，，求點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】（1）對(duì)稱軸是，B(4，0)（2）y=（3）F(，)【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)拋物線的性質(zhì)，可求出對(duì)稱軸，即可得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）二次函數(shù)的軸平行于對(duì)稱軸，根據(jù)平行線分線段成比例用含的代數(shù)式表示的長，=，可表示的縱坐標(biāo)，然后把的橫坐標(biāo)代入=2?3?4，可得到關(guān)于的方程，求出的值，即可得答案；（3）先證△BCF∽△BFD，得BF2=BD?BC，則BE2+EF2=BD?BC，可得答案．【小問1詳解】解：∵二次函數(shù)=2?3?4，∴對(duì)稱軸是，∵(?1，0)，∵1+1.5=2.5，∴1.5+2.5=4，∴(4，0)；【小問2詳解】∵二次函數(shù)=2?3?4，在軸上，∴的橫坐標(biāo)是0，縱坐標(biāo)是?4，∵軸平行于對(duì)稱軸，∴，∴，∵，∵=，∵的縱坐標(biāo)是+∵的橫坐標(biāo)是對(duì)稱軸，∴，∴+=，解這個(gè)方程組得：，∴=2?3?4=2-3×（）-4×（）=；【小問3詳解】∵點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)C（0，2），點(diǎn)E∴OB=4，OC=2，BE=∴∵DE∥OC，∵∠BFC=∠BCO=∠BDF，∠CBF=∠CBF，

∴△BCF∽△BFD，

∴BF2=BD?BC，

∴BE2+EF2=BD?BC，∴點(diǎn)F坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、平行線分線段成比例、一元一次方程的解法、一元二次方程方程的解法、相似三角形的判定與性質(zhì)，做題的關(guān)鍵是相似三角形的判定與性質(zhì)的靈活運(yùn)用．25.如圖，在Rt△ABC與Rt△ABD中，∠ACB＝∠D