直線的斜率與傾斜角（四大題型）

直線的斜率與傾斜角課程標準學習目標在探索確定直線位置的幾何要素、定義直線的傾斜角和斜率的概念、推導過兩點的直線斜率的計算公式的過程中，體會坐標法思想，發(fā)展數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算等素養(yǎng)．1、理解并掌握直線的斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式．2、理解并掌握直線的斜率．3、理解并掌握直線的斜率的求法．4、理解并掌握斜率公式的簡單應用．知識點01直線的傾斜角平面直角坐標系中，對于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點按逆時針方向旋轉到和直線重合時所轉的最小正角記為，則叫做直線的傾斜角．規(guī)定：當直線和軸平行或重合時，直線傾斜角為，所以，傾斜角的范圍是．知識點詮釋：1、要清楚定義中含有的三個條件①直線向上方向；②軸正向；③小于的角．2、從運動變化觀點來看，直線的傾斜角是由軸按逆時針方向旋轉到與直線重合時所成的角．3、傾斜角的范圍是．當時，直線與x軸平行或與x軸重合．4、直線的傾斜角描述了直線的傾斜程度，每一條直線都有唯一的傾斜角和它對應．5、已知直線的傾斜角不能確定直線的位置，但是，直線上的一點和這條直線的傾斜角可以唯一確定直線的位置．【即學即練1】（2023·高二課時練習）對于下列命題：①若是直線l的傾斜角，則；②若直線傾斜角為，則它斜率；③任一直線都有傾斜角，但不一定有斜率；④任一直線都有斜率，但不一定有傾斜角．其中正確命題的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】對于①：若是直線的傾斜角，則；滿足直線傾斜角的定義，則①正確；對于②：直線傾斜角為且，它的斜率；傾斜角為時沒有斜率，所以②錯誤；對于③和④：可知直線都有傾斜角，但不一定有斜率；因為傾斜角為時沒有斜率，所以③正確；④錯誤；其中正確說法的個數為2.故選：B.知識點02直線的斜率1、定義：傾斜角不是的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用表示，即．知識點詮釋：（1）當直線與x軸平行或重合時，，；（2）直線與x軸垂直時，，k不存在．由此可知，一條直線的傾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在．2、直線的傾斜角與斜率之間的關系由斜率的定義可知，當在范圍內時，直線的斜率大于零；當在范圍內時，直線的斜率小于零；當時，直線的斜率為零；當時，直線的斜率不存在．直線的斜率與直線的傾斜角（除外）為一一對應關系，且在和范圍內分別與傾斜角的變化方向一致，即傾斜角越大則斜率越大，反之亦然．因此若需在或范圍內比較傾斜角的大小只需比較斜率的大小即可，反之亦然．【即學即練2】（2023·高二課時練習）若如圖中的直線的斜率為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設直線的傾斜角分別為，顯然，且，所以，又在上單調遞增，故，所以.故選：C知識點03斜率公式已知點、，且與軸不垂直，過兩點、的直線的斜率公式．知識點詮釋：1、對于上面的斜率公式要注意下面五點：（1）當時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角，直線與軸垂直；（2）與、的順序無關，即，和，在公式中的前后次序可以同時交換，但分子與分母不能交換；（3）斜率可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點的坐標求得；（4）當時，斜率，直線的傾斜角，直線與軸平行或重合；（5）求直線的傾斜角可以由直線上兩點的坐標先求斜率而得到．2、斜率公式的用途：由公式可解決下列類型的問題：（1）由、點的坐標求的值；（2）已知及中的三個量可求第四個量；（3）證明三點共線．【即學即練3】（2023·高二課時練習）已知直線的斜率，且，，是這條直線上的三個點，求實數x和y的值．【解析】因為，，三點在斜率的直線上，所以，即，解得，題型一：直線的傾斜角與斜率定義例1．（2023·高二課時練習）已知點，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解析：，又因為所以，故選：B.例2．（2023·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）已知直線的傾斜角為，則實數（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】已知直線的傾斜角為，則直線的斜率為，則.故選：B.例3．（2023·浙江·高二校聯考期中）若直線l的斜率為，則該直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由定義：斜率，其中為直線l的傾斜角，，又；故選：C.變式1．（2023·安徽六安·高二?？茧A段練習）將直線繞原點旋轉得到直線，若直線的斜率為，則直線的傾斜角是（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】因為直線的斜率為，所以直線的傾斜角是，若將繞原點逆時針旋轉得到直線，則直線的傾斜角是，若將繞原點順時針旋轉得到直線，則直線的傾斜角是，故選：D【技巧總結】（1）傾斜角的概念中含有三個條件：①直線向上的方向；②軸的正方向；③小于平角的正角．（2）傾斜角是一個幾何概念，它直觀地描述且表現了直線對于軸正方向的傾斜程度．（3）平面直角坐標系中每一條直線都有一個確定的傾斜角，且傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等；傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等．（4）確定平面直角坐標系中一條直線位置的幾何要素是：直線上的一個定點以及它的傾斜角，二者缺一不可．題型二：斜率與傾斜角的變化關系例4．（2023·高二課時練習）設直線l的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意可知，，當時，則為鈍角，且；當時，此時，.綜上所述，直線的傾斜角的取值范圍為.故選：D.例5．（2023·上海黃浦·高二上海市敬業(yè)中學?？计谥校┲本€的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知,若a=0

,則傾斜角為,若,則,①當時，(當且僅當時，取“”)，②當時，(當且僅當時，取“”)，，故，綜上，，故選：C.例6．（2023·湖南湘潭·高二校聯考期末）若直線的斜率為，且，則直線的傾斜角為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【解析】設直線的傾斜角為，因為，所以，當時，即，則；當時，即，則，所以直線的傾斜角為或.故選：C.變式2．（2023·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）設直線的方程為，則的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】直線的斜率，所以直線的傾斜角的取值范圍是.故選：A變式3．（2023·河南周口·高二?？茧A段練習）已知直線l的斜率為，則直線l的傾斜角（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，為銳角，所以．故選：C變式4．（2023·上海浦東新·高二上海師大附中?？茧A段練習）已知直線的傾斜角為，斜率為，那么“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由直線的斜率可得，解得，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A【技巧總結】由斜率的定義可知，當在范圍內時，直線的斜率大于零；當在范圍內時，直線的斜率小于零；當時，直線的斜率為零；當時，直線的斜率不存在．直線的斜率與直線的傾斜角(除外)為一一對應關系，且在和范圍內分別與傾斜角的變化方向一致，即傾斜角越大則斜率越大，反之亦然．因此若需在或范圍內比較傾斜角的大小只需比較斜率的大小即可，反之亦然．題型三：已知兩點求斜率、已知斜率求參數例7．（2023·上海崇明·高二統(tǒng)考期末）已知直線l經過點,，則它的斜率______.【答案】【解析】由,可得，故答案為：例8．（2023·上海普陀·高二上海市宜川中學?？计谀┮阎本€l經過點．直線l的傾斜角是___________．【答案】/【解析】因為過兩點的直線的斜率為：，因為，是直線的傾斜角，且所以直線的傾斜角為：．故答案為：.例9．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若經過點和的直線的傾斜角是鈍角，則實數的取值范圍是________．【答案】，【解析】因為直線的傾斜角是鈍角，所以斜率，解得．所以的取值范圍是，．故答案為：，．變式5．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過不重合的兩點的直線的傾斜角為，則的取值為________．【答案】【解析】由題意知，所以，即，化簡得，解得或當時，重合，不符合題意舍去，當時，，符合題意，所以，故答案為：變式6．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過兩點A(5,y)，B(3,－1)的直線的傾斜角是135°，則y等于________．【答案】－3【解析】因為斜率k＝tan135°＝－1，所以，得y＝－3．故答案為：.變式7．（2023·河北滄州·高二統(tǒng)考期中）已知兩點，若直線的斜率為，則______.【答案】【解析】因為兩點，且直線的斜率為，所以且，解得，故答案為：變式8．（2023·高二課時練習）已知點A的坐標為，在坐標軸上有一點B，若，則點B的坐標為________．【答案】或【解析】設或，∴或，∴或，∴或，∴點B的坐標為或．故答案為：或．變式9．（2023·北京·高二北京一七一中?？茧A段練習）已知，，三點共線，則＝_____．【答案】6【解析】由于、、三點共線，則，即，解得.故答案為：6.變式10．（2023·高二?？紗卧獪y試）設點，若直線的斜率等于直線的斜率的3倍，則實數m的值為___________.【答案】4【解析】依題意知直線的斜率存在，則，由得，所以.故答案為：4變式11．（2023·高二課時練習）已知三點共線，則的值為________.【答案】【解析】因為三點共線，所以，所以，解得.故答案為：.變式12．（2023·上海松江·高二上海市松江二中?？计谥校┮阎c，，，若線段，，不能構成三角形，則的值是________.【答案】【解析】因為線段，，不能構成三角形，所以三點共線，顯然直線的斜率存在，故，即，解得，故答案為：4【技巧總結】由于直線上任意兩點的斜率都相等，因此A，B，C三點共線A，B，C中任意兩點的斜率相等．斜率是反映直線相對于軸正方向的傾斜程度的，直線上任意兩點所確定的方向不變，即在同一直線上任意不同的兩點所確定的斜率相等．這正是利用斜率可證三點共線的原因．題型四：直線與線段相交關系求斜率范圍例10．（2023·江西撫州·高二統(tǒng)考期末）已知坐標平面內三點，為的邊上一動點，則直線斜率的變化范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】如圖所示，，因為為的邊上一動點，所以直線斜率的變化范圍是.故選：D.例11．（2023·安徽滁州·高二?？计谥校┮阎c，，，若點是線段上的一點，則直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由斜率公式可得，得，由圖像可知，當介于之間時，直線斜率的取值范圍為，當介于之間時，直線斜率的取值范圍為，所以直線的斜率的取值范圍為，故選：D．例12．（2023·江蘇連云港·高二?？茧A段練習）已知點，若直線與線段沒有交點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】直線過定點，且，由圖可知直線與線段沒有交點時，斜率滿足，解得，故選：B．變式13．（2023·全國·高二校聯考階段練習）已知點，，若過點的直線與線段相交，則該直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】過點C的直線與線段AB相交，，，又該直線與軸垂直時，斜率不存在，所以該直線的斜率的取值范圍為.故選：B.變式14．（2023·江蘇常州·高二常州市第三中學?？计谀┮阎c.若直線與線段相交，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】即，又因為，所以直線恒過定點，畫圖得直線要想與線段有交點，就需要繞著點，從直線開始逆時針旋轉到直線，則，所以直線斜率故選：A變式15．（2023·江蘇泰州·高二統(tǒng)考期中）經過點作直線，若直線與連接，兩點的線段總有公共點，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖所示，設直線l的傾斜角為，，則，，∵直線l與連接，的線段總有公共點，∴，即，∴．故選：A．【技巧總結】直線的傾斜角是從“形”的角度刻畫直線的傾斜程度，而直線的斜率及斜率公式則從“數”的角度刻畫直線的傾斜程度，把二者緊密地結合在一起就是數形結合．利用它可以較為簡便地解決一些綜合問題，如過定點的直線與已知線段是否有公共點的問題，可先作出草圖，再結合圖形考慮．一般地，若已知，，，過點作垂直于軸的直線，過點的任一直線的斜率為，則當與線段不相交時，夾在與之間；當與線段相交時，在與的兩邊．一、單選題1．（2023·黑龍江大慶·高二大慶實驗中學校考期末）設直線的方程為，則直線的傾斜角的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當時，方程變?yōu)?，其傾斜角為，當時，由直線方程可得斜率，且，，即，又，，由上知，傾斜角的范圍是．故選：C．2．（2023·天津西青·高二天津市西青區(qū)楊柳青第一中學?？茧A段練習）直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以直線，即為.設直線的傾斜角為，則該直線的斜率，因為，所以.故選：A.3．（2023·安徽·高二校聯考開學考試）已知點，在直線：上，則直線的斜率為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】因為點，在直線：上，所以將，帶入：，得，解得，所以直線，即的斜率為，故選：A4．（2023·上海浦東新·高二?？计谀┰凇傲Ⅲw幾何”知識中:(1)兩直線所成角的取值范圍是;(2)直線與平面所成角的取值范圍是;(3)二面角的平面角取值范圍是.在“解析幾何”知識中;(4)直線的傾斜角取值范圍是;(5)兩直線的夾角取值范圍是;在“向量”知識中:(6)兩向量的夾角的取值范圍是以概念敘述正確的是（

）A．(2)(1)(4)(5) B．(2)(3)(4)(6)C．(3)(4)(5) D．(2)(3)(4)【答案】B【解析】兩直線所成角的取值范圍是，(1)錯誤；直線與平面所成角的取值范圍是，(2)正確；二面角的平面角取值范圍是，(3)正確；直線的傾斜角取值范圍是，(4)正確；兩直線的夾角取值范圍是，(5)錯誤；兩向量的夾角的取值范圍是，(6)正確，故選:B.5．（2023·江蘇泰州·高二靖江高級中學校考階段練習）已知直線經過，兩點，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設直線的傾斜角為，，則，.故選：D.6．（2023·廣東深圳·高二深圳中學校考期中）已知點，，若點在線段AB上，則的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設，則，因為點在線段上，所以的取值范圍是，故選：A.7．（2023·山東煙臺·高二山東省煙臺第一中學?？茧A段練習）經過點作直線，若直線與連接，兩點的線段總有公共點，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設直線的斜率為，直線的傾斜角為，則，因為直線的斜率為，直線的斜率為，因為直線經過點，且與線段總有公共點，所以，即，因為，所以或，故直線的傾斜角的取值范圍是．故選：D．8．（2023·福建福州·高二福建省福州延安中學?？茧A段練習）1949年公布的《國旗制法說明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有一個角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個角尖正對大五角星的中心點．有人發(fā)現，第三顆小星的姿態(tài)與大星相近．為便于研究，如圖，以大星的中心點為原點，建立直角坐標系，OO1，OO2，OO3，OO4分別是大星中心點與四顆小星中心點的連接線，α≈16°，則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為（

）A．0° B．1° C．2° D．3°【答案】C【解析】∵O，O3都為五角星的中心點，∴OO3平分第三顆小星的一個角，又五角星的內角為36°知：∠BAO3＝18°，過O3作x軸的平行線O3E，如下圖，則∠OO3E＝α≈16°，∴直線AB的傾斜角為18°－16°＝2°.故選：C二、多選題9．（2023·江蘇徐州·高二校聯考階段練習）下列說法正確的是（

）A．有的直線斜率不存在B．若直線的傾斜角為，且，則它的斜率C．若直線的斜率為1，則它的傾斜角為D．截距可以為負值【答案】ABD【解析】A.當傾斜角為時，直線斜率不存在，故正確；B.若直線的傾斜角為，且，由斜率和傾斜角的關系知：，故正確；C.若直線的斜率為1，則它的傾斜角為，故錯誤；D.截距為直線與坐標軸交點的橫坐標或縱坐標，為實數，所以可以為負值，故正確；故選：ABD10．（2023·廣西柳州·高二校考期末）下列說法正確的是（

）A．直線的傾斜角取值范圍是B．若直線的斜率為，則該直線的傾斜角為C．平面直角坐標系中的任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率D．直線的傾斜角越大，其斜率就越大【答案】AC【解析】A：直線傾斜角范圍為，正確；B：當直線斜率為，則該直線的傾斜角為內正切值為的角，錯誤；C：平面內所有直線都有傾斜角，當傾斜角為90°時沒有斜率，正確；D：傾斜角為銳角時斜率為正，傾斜角為鈍角時斜率為負，錯誤.故選：AC11．（2023·廣西桂林·高二?？计谥校┰O點，若直線與線段沒有交點，則a的取值可能是（

）A． B． C．1 D．【答案】AC【解析】易知直線過定點，，，直線的斜率為，由圖知或，所以或時有交點，因此當時，直線與線段無交點，故選：AC．12．（2023·湖北武漢·高二校考階段練習）如圖，直線，，的斜率分別為，，，則（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】由斜率的定義可知，.故選：ABC.三、填空題13．（2023·新疆塔城·高二統(tǒng)考開學考試）若過兩點的直線的傾斜角是，則=________________.【答案】【解析】因為過兩點的直線的傾斜角是，則直線的斜率，解得.故答案為：14．（2023·全國·高二專題練習）若實數、滿足，，則代數式的取值范圍為______【答案】【解析】如圖，，，，則，.因為，可表示點與線段上任意一點連線的斜率，由圖象可知，，所以有.故答案為：.15．（2023·北京·高二北京一七一中校考階段練習）已知兩點A（1，﹣2），B（2