二次型的幾何分類及其應用

./二次型的幾何分類及其應用田金慧容摘要：通過對二次型的基本概念與基本理論的闡述,重點討論了二次型的五種分類：正定二次型、半正定二次型、負定二次型、半負定二次型和不定二次型,通過具體的實例給出了分類問題的幾何描述。其次,分析并列舉了二次型相關理論在實際中的一些應用,其中包括二次型標準型在二次曲面分類上的應用,由此得到了十七種二次曲面標準方程,并對典型方程給出了圖形描述；同時包括二次型正定性用于求解多元函數(shù)極值問題的應用實例；還包括以實例展示半正定二次型用于不等式證明的步驟和方法。最后,作為二次型理論應用廣泛的例證,闡述了它在統(tǒng)計學中關于統(tǒng)計距離、參數(shù)估計量的自由度求解以及量子物理中關于耦合諧振子問題的應用。在問題的研究中,采用理論分析與實例應用相結合,充分發(fā)揮數(shù)學應用軟件的優(yōu)勢,將二次型〔實理論的涵形象、直觀、清晰地給予展現(xiàn)。關鍵詞：二次型；幾何描述；正定性；實際應用1導言在數(shù)學的學習和應用中,二次型的理論是十分重要的,它不僅是代數(shù)中的重要理論,更是連接代數(shù)與幾何的有力橋梁。事實上,二次型的理論就起源于解析幾何中二次曲線、二次曲面方程的化簡問題。學習和理解二次型的理論不但可以對數(shù)學中的代數(shù)定理有深刻地理解,也可以對幾何有更為形象的認識。因此,掌握二次型理論的有關應用問題是十分必要的。但是,在現(xiàn)有的教材中,都只是對二次型理論的代數(shù)性質(zhì)進行了一定的介紹,并沒有對它的幾何意義加以闡述；即使有一些書籍對它的幾何性質(zhì)稍有涉及,但也只是點到為止,并沒有給出形象的表示,關于二次型可能的應用問題更是很少提及,然而在數(shù)學的很多分支以及一些其他學科中都或多或少地涉及到二次型有關理論的應用,如解析幾何、統(tǒng)計學和量子物理等。本文以二次型分類為切入點,以幾何描述為主線,充分發(fā)揮數(shù)學軟件的優(yōu)勢,將二次型有關理論的涵加以展現(xiàn)。當然,這里所討論的二次型理論只是其中的基礎,關于它的深入研究請參閱參考文獻[1]。二次型及其標準型所謂二次型就是一個二次齊次多項式。定義2.1在數(shù)域上,含有個變量的二次齊次函數(shù)〔1稱為元二次型,簡稱二次型[2]。當為復數(shù)時,稱為復二次型；當為實數(shù)時,稱為實二次型。本文僅討論實二次型。若取,則于是〔1式可寫成〔2其中,,,為實對稱矩陣,稱為二次型的矩陣也把叫做對稱矩陣的二次型；同時的秩也稱為二次型的秩。定義2.2僅含有平方項的二次型〔3稱為二次型的標準形。對于二次型,主要問題是：如何尋求一個可逆的線性變換〔4將其化為標準型。定理2.1任意元實二次型都可經(jīng)正交變換化為標準形其中是的矩陣的特征值。利用正交變換化二次型化為標準型。解二次型的矩陣為特征多項式為：所以的特征值為。當時,解得線性無關的特征向量,單位化得。當,解得線性無關的特征向量,單位化得。令則為正交矩陣。于是,正交變換,即化二次型為標準型二次型變換前后的幾何描述如圖1。圖1二次型變換前〔左圖、后〔右圖二次型的分類對二次型進行分類,在理論和應用上都有重要的意義。依二次型的正定性,可以將二次型分為以下幾類：正定二次型、負定二次型、半正定二次型、半負定二次型和不定二次型等。3．1正定二次型和負定二次型定義設實二次型,如果對于任意一組不全為零的實數(shù),都有,稱該二次型為正定二次型,且稱矩陣為正定矩陣。如果對于任意一組不全為零的實數(shù),都有,稱該二次型為負定二次型,且稱矩陣為負定矩陣。二次型正定與負定的幾何描述如圖2、圖3。圖2一元、二元正定二次型圖3一元、二元負定二次型定理對于實二次型,下列條件等價：是正定的；的標準型是；存在可逆實矩陣,且；存在可逆實矩陣,使得；的全部特征值皆大于零；的各級順序主子式皆大于零,即。定理對于實二次型,下列條件等價：是負定的；的標準型是;存在可逆實矩陣,使得；的全部特征值皆小于零；的奇數(shù)階順序主子式為小于零,而偶數(shù)階主子式為大于零[3],即。判別二次型的正定性。解二次型的矩陣為根據(jù)定理,知為正定二次型。的幾何描述如圖4。圖4的三維切面圖例判別二次型的正定性。解二次型的矩陣為根據(jù)定理,知為負定二次型。的幾何描述如圖5。圖5三維切面圖半正定二次型和半負定二次型定義設實二次型,如果對于任意一組不全為零的實數(shù),都有,稱該二次型為半正定二次型,且稱矩陣為半正定矩陣。如果對于任意一組不全為零的實數(shù),都有,稱該二次型為半負定二次型,且稱矩陣為半負定矩陣。二次型半正定與半負定的幾何描述如圖6〔二元二次型。圖6二元半正定〔左圖,二元半負定〔右圖定理對于實二次型,下列條件等價：是半正定的；的標準型是；存在可逆實矩陣,且；存在實矩陣,使得；的全部特征值皆大于或等于零；的所有主子式皆大于或小于零。定理對于實二次型,下列條件等價[3]：是半負定的；存在實矩陣,使得；的全部特征值皆小于或等于零；的奇數(shù)階主子式皆小于或等于零,而偶數(shù)階主子式皆大于或等于零[3],即。3．3不定二次型定義設實二次型,如果既不是正定的,也不是負定的,則稱該二次型為不定二次型。判定二次型的正定性。解易知所給二次型為不定二次型,其幾何描述如圖7。圖7時的幾何圖形判定二次型的正定性。解易知所給二次型為不定二次型,其幾何描述如圖8。圖8二次型理論在二次曲面分類上的應用4．1理論分析二次曲面方程的一般形式[4]為〔5令,,,則上述方程可以寫為〔6其中就是一個二次型。由于是實對稱矩陣,所以存在正交矩陣,使得這里,,為的特征值〔均為實數(shù)作正交變換,其中,式〔6化為〔7令,則〔7式化為〔8若都不為零,配方得：〔9那么,經(jīng)過平移后式〔9可簡化為〔10其中。下面對〔10式進行討論。由〔10式得令,則有〔橢球面其幾何圖形如圖9。圖9仿上〔10式可化為〔虛橢球面其中。仿上〔10式可化為〔點其中。中兩正一負,不妨設,仿上〔10式可化為〔單葉雙曲面其中。中兩正一負,不妨設,仿上〔10式可化為〔雙葉雙曲面其中。中兩正一負,不妨設,仿上〔10式可化為〔二次錐面其中。其幾何圖形如圖10。圖10若中有且僅有一個為零不妨設,這時二次曲面〔8就變成從而,〔11若,則平移后得〔12再令則<8>式變?yōu)椤?3于是又得到下面兩類二次曲面:由〔13式得令,則有〔橢圓拋物面其幾何圖形如圖11。圖11仿上〔13式可化為〔雙曲拋物面其中再若〔11式中,這時可把〔11式平移后得〔14其中。這樣,又可得五類二次曲面：由〔14式得若令,則有〔橢圓柱面其幾何圖形如圖12。圖12仿上〔14式可化為〔虛橢圓柱面其中仿上〔14式可化為〔直線仿上〔14式可化為〔雙曲柱面其中,其幾何圖形如圖13。圖13仿上〔14式可化為〔兩相交平面若中有且僅有兩個為零不妨設,此時〔5就變?yōu)榕浞降谩?5若,作變換代入〔15式得〔16這樣又得到一類曲面。由〔16式得,令,則有〔拋物柱面若,那么〔16式就變成平移后得〔17于是可得到最后三類二次曲面：這時〔17式可化為〔一對平行平面其中這時〔17式可化為〔一對虛的平行平面這時〔17式可化為〔一對重合的平面4．2應用實例例判別方程所代表的二次曲面的類型。解方程左邊為一三元二次型,不妨設,則的矩陣易求得的特征值為。由〔8式知所求曲面的標準方程為因此,該曲面是單葉雙曲面,如圖14。圖14二次曲面變換前〔左圖、后〔右圖例判別方程所代表的二次曲面的類型。解記,,則原方程可寫為的特征值及對應的標準正交特征向量分別為：,；,,令則有,作正交變換,其中,則〔9式化為即配方,得作平移變換,,,得這就是原曲面方程的標準方程,它表示一個頂點在原點,旋轉(zhuǎn)軸為軸的圓錐面,如圖15。圖15二次曲面變換前〔左圖、后〔右圖二次型理論在多元函數(shù)極值問題中的應用5．1理論分析定義設元函數(shù)在的某鄰域有一階、二階連續(xù)偏導數(shù),稱為函數(shù)在點處的梯度；稱為在處的海塞矩陣。定理〔極值的必要條件設元函數(shù),其中對各自變量具有一階連續(xù)偏導數(shù),是的一個駐點,則在處取極值的必要條件是。定理〔極值的充分條件設函數(shù)在電的某鄰域有一階、二階連續(xù)偏導數(shù),且,則:當為正定矩陣時,在處取得極小值；當為負定矩陣時,在處取得極大值；<iii>當是不定矩陣時,在處不取極值。證[6]記,。將在處作Taylor展開,有。由于,當,且充分小時,上式可化為由此可以看出,是否是的極值取決于二次型的正定性。當為正定矩陣時,時,就有,即是的極小值。當為負定矩陣時,時,就有,即是的極大值。最后,當是不定矩陣時,在處不取極值。這是因為,倘若在處取得極值,不妨設取得極大值,則沿任何過的直線,在處亦取得極大值。由一元函數(shù)取極值的充分條件知,是不可能的〔否則,在處將取極小值,故,而,,,這表明必須是半正定的,這與假設矛盾。證畢。推論1設一元函數(shù)在處二次連續(xù)可微,且,則時,在處取極小<大>值。推論2設二元函數(shù)在處有二階連續(xù)偏導數(shù),又,,則時,在處取極小<大>值。應用實例例求函數(shù)的極值解的幾何描述如圖16。圖16在上有定義,且有連續(xù)的一階、二階偏導數(shù)。求解方程組即得到四個駐點：〔2,1,〔-2,-1,〔2,1,〔-1,-2。進一步計算得即矩陣是正定矩陣,故〔2,1是極小值點,此時極值為-28；矩陣是負定矩陣,故〔-2,-1是極大值點,此時極值為28；矩陣,都是不定矩陣,故〔1,2,〔-1,-2都不是極值點。例求函數(shù)的極值解在上有定義,且有連續(xù)的一階、二階偏導數(shù)。求解方程組即得到駐點為〔-1,-1,1。進一步計算得即而是正定的,所以在〔-1,-1,1點取得極小值,此時極值為-6。的幾何描述如圖17.圖17半正定二次型在不等式證明中的應用舉例本文前面對半正定性二次型的判定條件進行過簡單的介紹,以下通過具體實例說明二次型半正定性在不等式證明中的應用。該方法證明不等式的基本思路是：首先構造二次型,然后利用二次型半正定性的定義或等價條件。判斷二次型<矩陣>為半正定,從而得到不等式[7]。例6.１設,試證。證要證明的不等式可寫成,所以只需證矩陣半正定。由于的一階、二階主子式分別,,所以半正定,從而二次型半正定。證畢的幾何描述如圖18。圖18例6.2已知的三邊分別為,面積為,試證證利用余弦定理及面積公式,將問題轉(zhuǎn)化為其矩陣為由于的一階、二階主子式分別,,所以半正定,從而二次型半正定,即結論成立。例6.3〔Cauchy不等式設為任意實數(shù),則證記因為對于任意,,都有,故關于,的二次型是半正定的。因此,該二次型矩陣的行列式大于或等于0,即故得。例6.4證明證記,其中,經(jīng)過初等變換得：,于是的特征值為,于是為半正定矩陣,即二次型是半正定的,從而得,即二次型在統(tǒng)計中的應用7．1關于統(tǒng)計距離許多統(tǒng)計問題都涉及到樣本點距某中心的距離,在大多數(shù)情況下,通常的歐氏距離是不能令人信服的[8]?？疾炀S變量對應維空間的點,假設的位置可以變化,為了體現(xiàn)各個變量在變差大小上的不同以及有時存在的相關性,需要建立統(tǒng)計距離。定義設為正定矩陣,稱為一種距離,對于不同的的選擇,可得到不同的統(tǒng)計距離。如回歸診斷中使用較多的Mahalanabis距離,Cook距離等。為考慮問題的方便,考察,而為正定矩陣的二次型。二次型在求自由度中的應用在統(tǒng)計學中,自由度是指總體參數(shù)估計量中變量值獨立自由變化的個數(shù)。它產(chǎn)生于利用樣本量估計參數(shù)的時候。實際上自由度也是對隨機變量的二次型〔也可以稱為二次統(tǒng)計量而言的。的秩的大小反映了個變量中能自由變動的無約束變量的多少,因此我們所說的自由度就是二次型的秩[9]。求統(tǒng)計量的自由度解其中,我們可以通過矩陣的初等變換求得的秩為,所以統(tǒng)計量的自由度為。二次型理論在耦合諧振子問題中的應用在量子力學、固體物理、量子光學、分子光譜等領域,經(jīng)常遇到一系列的耦合諧振子問題,因此,研究耦合諧振子的解也就顯得尤為重要,解決此類問題的關鍵是使體系的哈密頓量退耦,可以利用二次型理論構造一幺正交變換矩陣精確求解質(zhì)量和頻率均不相同的雙膜雙耦合諧振子體系的能譜[10]。質(zhì)量和頻率均不相同的雙膜雙耦合諧振子體系的哈密頓量為式中和分別為坐標耦合強度和動力耦合強度,上式的哈密頓量就是一個二次型。的矩陣為關于,詳細的分析和討論請參閱參考文獻[10]結論實際上,凡是用到實對稱矩陣的問題,都或多或少的涉及到了二次型的有關理論,不論是數(shù)學、統(tǒng)計學,還是理論物理學。本文主要將二次型的理論作了簡要的介紹,并闡述了二次型在實際問題中的一些應用,使二次型的理論更加鮮活地展現(xiàn)在我們面前,這正是課題研究的意義所在,同時也是作者的目的。本文的創(chuàng)造性工作是將二次型與幾何圖形巧妙地結合在一起,突出了主題；給出一些有用的定理及證明,如在第5部分給出的不定二次型與極值的關系等。當然,本文還是有不少的遺憾和缺陷。例如只討論了實二次型,而對于復二次型作者沒有涉及；在二次型的分類上,只以正定性為依據(jù)給出了分類,而對其他的依據(jù)沒有涉及,如可分性等；關于不定二次型的極值問題,如果可以給出判斷極值的方法,那這方面的理論就完善了。這些都有待進一步討論。參考文獻[1]柯召文集編委會.柯召文集[M].:大學,2000:96-108[2]大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].<第三版>.:高等教育,2003:205-231[3]秀英.負定二次型與半負定二次型[J].師學院學報.2004<2>:19-21[4]史秀英,景琴.二次曲面分類[J].學院學報〔自然科學版.2005.<2>:45-47[5]孟道驥.高等代數(shù)與解析幾何[M].:科學,2004:196-221[6]董麗華.用實二次型理論解多元函數(shù)的機制問題[J].煤炭師學院學報.2006<2>:45-47[7]王繼成.半正定二次型的性質(zhì)及應用[J].師專學報.2004<2>:143-145[8]開斌.關于統(tǒng)計距離的一點注記[J].師學院學報〔自然科學版.2002<4>:16-17[9]盧筠,段欽治.正交變換在正態(tài)總體中的應用[J].理工學院學報.2004<4>:57-59[10]吳耀強.多元函數(shù)極值充分性條件之研究[J].廣西教育學院學報.2003<5>:34-36[11]徐世泯.利用二次型理論精確求解雙模雙耦合諧振子的能譜[J].聊城大學學報<自然科學版>.2006<3>:42-44[12]呂林根.解析幾何[M].：高等教育,2002:50-102[13]ErdosandKo.Ondefinetequadraticformswhicearenotthesumoftwodefinetequadraticorsemidefiniteform[J].ActaArthmetica.1990<2>:15-17[14]LICHEN.Singularlinearquadraticperformancewiththeworstdisturbancerejectionfordescriptorsystems[J].控制論與應用.2006<3>:16-19[15]Jing-hongLiuQi-dingZhu.UNIFORMSUPERAPPROXIMATIONOFTHEDERIVATIVEOFTETRAHEDRALQUADRATICFINITEELEMENTAPPROXIMATION[J].計算數(shù)學.2005<1>:19-21附錄A：開題報告二次型的幾何分類及其應用1論文結構1．1總體結構的設想全文分為八個部分,各部分概要如下,第一部分介紹二次型的基本理論——二次型及其標準型。第二部分給出二次型根據(jù)正定性將二次型進行分類——分為五類。第三部分是二次型理論在二次曲面分類上的應用。討論《解析幾何》<見[2]>中的二次曲面的全部十七種類型,并且給出實例加以闡述。第四部分是二次型理論在多元函數(shù)極值問題中的應用。第五部分是半正定二次型在不等式證明中的應用舉例。第六部分是二次型在統(tǒng)計中的應用。第七部分是二次型理論在耦合諧振子問題中的應用。第八部分是整篇的結論。1．2選題的目的和意義這一選題的目的及意義就是在理論和實例相結合的基礎上,通過對二次型進行幾何描述,使二次型的相關理論與實際應用更家清楚