江蘇專版2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第4章數(shù)列培優(yōu)課構(gòu)造輔助數(shù)列求通項公式2分層作業(yè)蘇教版選擇性必修第一冊

培優(yōu)課構(gòu)造輔助數(shù)列求通項公式（2）分層作業(yè)A層基礎(chǔ)達標練1.已知數(shù)列滿足且，則此數(shù)列的第5項是()A.15 B.255 C.16 D.632.已知數(shù)列滿足，，則()A. B. C. D.3.已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項公式為.4.已知數(shù)列滿足，，則.5.已知數(shù)列的前項和為，且，，則.6.在數(shù)列中，，.（1）設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式.7.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{}滿足.（1）證明：數(shù)列{是等比數(shù)列；（2）若，，求{}的通項公式.B層能力提升練8.已知數(shù)列的前項和為，,,則()A. B. C. D.9.已知復(fù)數(shù)數(shù)列{}滿足，，為虛數(shù)單位，則()A. B. C. D.10.若數(shù)列和滿足，，，，則()A. B. C. D.11.在數(shù)列中，，，且滿足，則.12.已知數(shù)列滿足，且,，則的通項公式.13.已知數(shù)列和滿足，，，則，.14.有一種被稱為漢諾塔的游戲，該游戲是一塊銅板裝置上，有三根桿編號，，，在桿自下而上、由大到小按順序放置若干個有孔金盤（如圖）.游戲的目標：把桿上的金盤全部移到桿上，并保持原有順序疊好.操作規(guī)則如下：每次只能移動一個盤子，并且在移動過程中三根桿上都始終保持大盤在下，小盤在上，操作過程中盤子可以置于，，任一桿上.記個金盤從桿移動到桿需要的最少移動次數(shù)為，則.15.已知數(shù)列的首項，且滿足.（1）設(shè)，證明:是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和.C層拓展探究練16.已知，，則等于()A. B. C. D.17.已知數(shù)列{}滿足,.（1）記，求數(shù)列{}的通項公式；（2）記，求使成立的最大正整數(shù)的值.（符號表示不超過的最大整數(shù)）培優(yōu)課構(gòu)造輔助數(shù)列求通項公式（2）分層作業(yè)A層基礎(chǔ)達標練1.B2.C3.4.5.6.（1）證明由，得.因為，所以又，所以是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.（2）解由（1）知為等差數(shù)列，，所以.因為，所以.7.（1）證明因為，所以.因為中各項均為正數(shù)，所以，所以，所以數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列.（2）解由題意及（1）知，.因為，所以，，所以，所以，故，所以，即.B層能力提升練8.D9.B10.C[解析]因為，，所以，即.又，所以是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以.因為，即，所以，所以.故選.11.[解析]因為，，，顯然，所以，兩邊同時除以，得，所以，所以，所以是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以.12.[解析]由,得，則，由,得，所以是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，也符合上式，所以.13.;[解析]由題設(shè)，得，則，而，所以是首項、公比均為2的等比數(shù)列，故，則.令，則，故，而，所以是常數(shù)列，且，則.14.15[解析]根據(jù)題意，假設(shè)桿上有個金盤，將個金盤從桿全部移到桿上，需要的最少次數(shù)為，可這樣操作：先將個金盤從桿全部移到桿上，至少需要的次數(shù)為，然后將最大的金盤從桿移到桿上，需要1次，再將桿上個金盤從桿移到桿上，至少需要的次數(shù)為，所以，易知，則,,.15.（1）證明將等式兩邊同時減1，得，再同時除以，得，即,即,且,所以是首項為1，公差為1的等差數(shù)列.（2）解由（1）知，所以,所以,則,①,，得，所以.C層拓展探究練16.B[解析]由可得.因為，根據(jù)遞推公式可得，，，進而可知，對任意的，，在等式兩邊取對數(shù)，可得.令，則，可得，則，所以數(shù)列是等比數(shù)列，且首項為，公比為2，所以，即.故選.17.（1）解由，得，代入條件遞推式，得，整理，得，即，所以，數(shù)列是以