課件-第七章-哈密頓正則方程

第七章哈密頓正則方程

東北大學理學院應用力學研究所李永強第七章哈密頓正則方程東北大學理學院應用力學研究所第2頁第七章哈密頓正則方程

§7.1哈密頓正則方程§7.2Hamiltoncanonicequation的首次積分§7.3泊松括號泊松定理§7.4正則變換§7.5用Lagrange括號和Poisson括號判別正則變換§7.6哈密頓－雅可比方程§7.7變量的分離第2頁第七章哈密頓正則方程§7.1哈密頓正則方程第3頁§7.1哈密頓正則方程保守系統(tǒng)的情形非保守系統(tǒng)的情形第3頁§7.1哈密頓正則方程保守系統(tǒng)的情形第4頁§7.1哈密頓正則方程保守系統(tǒng)的情形1.Lagrange變量與Hamilton變量Lagrange函數(shù)：；Lagrange變量：變量qj，，t稱為～，其中qj為廣義坐標，j=1,2,…,kHamilton以廣義動量pj代替廣義速度Hamilton變量：變量qj，pj，t稱為～，其中pj為廣義動量，j=1,2,…,kHamilton函數(shù)：哈密頓正則方程(Hamiltoncanonicalequation)：以Hamilton函數(shù)H代替Lagrange函數(shù)，用2k個關(guān)于廣義坐標qj和廣義動量pj為變量的一階常微分方程組，稱為哈密頓正則方程或簡稱正則方程。第4頁§7.1哈密頓正則方程保守系統(tǒng)的情形1.Lagr第5頁§7.1哈密頓正則方程保守系統(tǒng)的情形2．哈密頓正則方程的推導利用勒讓德變換把以(qj,,t)為變量的Lagrange函數(shù)L變換成以(qj,pj,t)為新變量的Hamilton函數(shù)H

將Lagrange函數(shù)代入Hamilton原理，即對上式進行變分運算，得第5頁§7.1哈密頓正則方程保守系統(tǒng)的情形2．哈密頓正則第6頁§7.1哈密頓正則方程保守系統(tǒng)的情形將上式中的第一項改寫成則有因為系統(tǒng)在始末位置是確定的，有于是有第6頁§7.1哈密頓正則方程保守系統(tǒng)的情形將上式中的第一第7頁§7.1哈密頓正則方程保守系統(tǒng)的情形根據(jù)廣義動量的定義，由勒讓德變換可得因此對于完整系統(tǒng)，由于δqj是相互獨立的，且可取任何值，則即得關(guān)于變量的Hamilton正則方程第7頁§7.1哈密頓正則方程保守系統(tǒng)的情形根據(jù)廣義動量的第8頁§7.1哈密頓正則方程保守系統(tǒng)的情形3.Lagrange函數(shù)和Hamilton函數(shù)的對比Lagrange函數(shù)L和Hamilton函數(shù)H都可看作是系統(tǒng)的描述函數(shù)Lagrange函數(shù)包含了位形空間中描述系統(tǒng)運動的全部特征；

Hamilton函數(shù)包含了相空間中描述系統(tǒng)運動的全部特征。Hamilton原理、Hamilton正則方程和Lagrange方程是互為等價的。4.Hamilton函數(shù)的物理意義為改寫中的第一項，將廣義動量代入，并利用歐拉齊次函數(shù)定理，有（Euler齊次函數(shù)的意義）第8頁§7.1哈密頓正則方程保守系統(tǒng)的情形3.Lagr第9頁§7.1哈密頓正則方程保守系統(tǒng)的情形因為即與廣義能量積分對比，Hamilton函數(shù)H與廣義能量積分意義相同。對于保守系統(tǒng)，則T=T2,T0=0，因此總機械能

對于保守系統(tǒng)，Hamilton函數(shù)H等于系統(tǒng)的總機械能。

5.證明：表明H的變化與系統(tǒng)的變化無關(guān)，僅與H是否顯含t有關(guān)第9頁§7.1哈密頓正則方程保守系統(tǒng)的情形因為即與廣第10頁§7.1哈密頓正則方程非保守系統(tǒng)的情形Hamilton原理一般式其中主動力的虛功可寫成式中和分別表示有勢力和非有勢力的虛功。這樣Hamilton原理可變?yōu)閷⒏鶕?jù)勒讓德變換得到的代入上式，并進行變分運算，得第10頁§7.1哈密頓正則方程非保守系統(tǒng)的情形Hami第11頁§7.1哈密頓正則方程非保守系統(tǒng)的情形就可得到存在非有勢力作用的Hamilton正則方程

其中Q

j為系統(tǒng)的非有勢力對應于廣義坐標qj的廣義力。

第11頁§7.1哈密頓正則方程非保守系統(tǒng)的情形就可得到第12頁§7.1哈密頓正則方程例7-1試用Hamilton正則方程求出水平彈簧質(zhì)量振動系統(tǒng)的運動微分方程解：單自由度系統(tǒng)，x為廣義坐標構(gòu)造H函數(shù)對于保守系統(tǒng)

第12頁§7.1哈密頓正則方程例7-1試用Hamilto第13頁§7.1哈密頓正則方程所以消去px得：整理得第13頁§7.1哈密頓正則方程所以消去px得：整理得第14頁§7.1哈密頓正則方程例7-2水平直管以勻角速度

繞鉛直軸旋轉(zhuǎn)。管內(nèi)放有用彈簧相聯(lián)的兩相同質(zhì)量m的小球。小球可沿直管無摩擦地滑動。已知彈簧剛度系數(shù)為k，原長為l，試寫出系統(tǒng)的Hamilton正則方程。小球尺寸略去不計。解：兩個自由度，x1、x2為廣義坐標，主動力均為有勢力構(gòu)造H函數(shù)

則第14頁§7.1哈密頓正則方程例7-2解：兩個自由度，x第15頁§7.1哈密頓正則方程Hamilton正則方程給定初始條件后，就可得出正則變量的函數(shù)第15頁§7.1哈密頓正則方程Hamilton正則方程給第16頁§7.2Hamiltoncanonicequation的首次積分系統(tǒng)的首次積分是方程降階降維的基礎(chǔ)，討論Hamiltoncanonicequation的降階降維問題能量積分循環(huán)積分H中不顯含某些廣義動量的情況第16頁§7.2Hamiltoncanonicequa第17頁§7.2Hamiltoncanonicequation的首次積分能量積分如果Hamilton函數(shù)，即不顯含t時，則可得則（常數(shù)）因為所以Hamiltoncanonicequation的能量積分

如果是保守系統(tǒng)，則T＝T2，T0＝0則即Hamiltonequation的首次積分等于總機械能（機械守恒）第17頁§7.2Hamiltoncanonicequa第18頁§7.2Hamiltoncanonicequation的首次積分循環(huán)積分由H函數(shù)定義對某一廣義坐標ql求偏導數(shù)代入（勒讓德變換，或定義廣義動量），得因此，如果在Lagrange函數(shù)中存在某個循環(huán)坐標ql，則在Hamilton函數(shù)中也存在相同的循環(huán)坐標ql。設q1,q2,…,ql(l<k)為Lagrange函數(shù)L的循環(huán)坐標，則H函數(shù)可表示為第18頁§7.2Hamiltoncanonicequa第19頁§7.2Hamiltoncanonicequation的首次積分循環(huán)積分根據(jù)正則方程有于是得l個循環(huán)積分

利用循環(huán)坐標可對Hamilton正則方程進行降維，將上式代入Hamilton函數(shù)得此時Hamilton正則方程為對于循環(huán)坐標，有即對H求pj偏導，后將pj用Cj代替第19頁§7.2Hamiltoncanonicequa第20頁§7.2Hamiltoncanonicequation的首次積分循環(huán)積分積分上式，得:為積分常數(shù)。降為(j=l+1,l+2,…,k)若系統(tǒng)有l(wèi)個循環(huán)坐標，則Hamilton正則方程的個數(shù)由2k個降為2(k-l)個。因此對于一個力學系統(tǒng)，希望找到盡可能多的循環(huán)坐標，循環(huán)坐標越多，對于方程的求解就越有利。第20頁§7.2Hamiltoncanonicequa第21頁§7.2Hamiltoncanonicequation的首次積分H中不顯含某些廣義動量的情況設p1,p2,…,pl(l<k)不顯含在H中，則Hamilton函數(shù)可表示為則方程故由k個減少到k-l個。H函數(shù)化為第21頁§7.2Hamiltoncanonicequa第22頁§7.2Hamiltoncanonicequation的首次積分H中不顯含某些廣義動量的情況

（方程個數(shù)由k個，減少為k-l個）故共降維2l，即方程個數(shù)減少為2(k-l)個。第22頁§7.2Hamiltoncanonicequa第23頁§7.2Hamiltoncanonicequation的首次積分例7-3空心圓管OA繞鉛垂軸O在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。它對O軸的轉(zhuǎn)動慣量J0=md2，質(zhì)量為m的質(zhì)點M在圓管內(nèi)運動，設質(zhì)點受引力Fr=-μm/r2，式中r是質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸O點的矢徑，μ是常數(shù)。試列出系統(tǒng)的Hamilton正則方程并求首次積分。解：系統(tǒng)有兩個自由度，選r、φ為廣義坐標，系統(tǒng)的動能取無窮遠處為零勢能點，勢能而第23頁§7.2Hamiltoncanonicequa第24頁§7.2Hamiltoncanonicequation的首次積分廣義動量求Hamilton函數(shù)，因為系統(tǒng)為保守的，故由上式可知，φ為循環(huán)坐標，則存在循環(huán)積分，即廣義動量守恒第24頁§7.2Hamiltoncanonicequa第25頁§7.2Hamiltoncanonicequation的首次積分

pφ=常數(shù)又則存在廣義能量積分即T+V=常數(shù)第25頁§7.2Hamiltoncanonicequa第26頁§7.3泊松括號泊松定理利用泊松方法，從已求出的首次積分中尋找新的首次積分泊松括號用泊松括號表示的正則方程泊松定理（雅可比-泊松定理）第26頁§7.3泊松括號泊松定理利用泊松方法，從已求出的第27頁§7.3泊松括號泊松定理泊松括號設

、ψ是q1,q2,…,qk,p1,p2,…,pk,t的函數(shù)，即則泊松括號定義為泊松括號的性質(zhì)(1)常數(shù)C與任意函數(shù)

所組成的泊松括號為零，即證：第27頁§7.3泊松括號泊松定理泊松括號設、ψ是q1第28頁§7.3泊松括號泊松定理泊松括號(2)兩個相同函數(shù)所組成的泊松括號為零，即(3)組成泊松括號的兩個函數(shù)交換順序，則與原來的差一個符號。即證：(4)第28頁§7.3泊松括號泊松定理泊松括號(2)兩第29頁§7.3泊松括號泊松定理泊松括號(5)證:(6)若則證:第29頁§7.3泊松括號泊松定理泊松括號(5)證第30頁§7.3泊松括號泊松定理泊松括號證:(7)泊松括號服從代數(shù)分配，即(8)第30頁§7.3泊松括號泊松定理泊松括號證:(7第31頁§7.3泊松括號泊松定理泊松括號證:(9)第31頁§7.3泊松括號泊松定理泊松括號證:(9第32頁§7.3泊松括號泊松定理泊松括號證:(10)如果θ=θ(qj,pj,t)(j=1,2,…,k)，則有泊松恒等式和雅可比恒等式

,輪換可得到類似式，從而得證。第32頁§7.3泊松括號泊松定理泊松括號證:(10第33頁§7.3泊松括號泊松定理用泊松括號表示的正則方程根據(jù)泊松括號的定義，有其中因此同理可得對一完整系統(tǒng)受有勢力作用時，其正則方程為:

于是就可得到用泊松括號表示的正則方程為:第33頁§7.3泊松括號泊松定理用泊松括號表示的正則方第34頁§7.3泊松括號泊松定理用泊松括號表示的正則方程用泊松括號判斷系統(tǒng)的首次積分設系統(tǒng)的首次積分為則有首次積分應為正則的一個解，式中，應均滿足正則方程，即

將正則方程代入上式df/dt第34頁§7.3泊松括號泊松定理用泊松括號表示的正則方第35頁§7.3泊松括號泊松定理用泊松括號表示的正則方程利用泊松括號，則上式可寫成此式即為正則方程的首次積分所應滿足的充要條件。如果f不顯含時間t，則即如函數(shù)f滿足泊松括號條件，則函數(shù)即為正則方程的首次積分

第35頁§7.3泊松括號泊松定理用泊松括號表示的正則方第36頁§7.3泊松括號泊松定理用泊松括號表示的正則方程例7-4質(zhì)量為m的質(zhì)點M在穩(wěn)定的勢力場中運動，其勢能函數(shù)為V=V(x,y,z)，試求它對質(zhì)直角坐標軸Oxyz的三軸的動量矩Lx、Ly,、Lz與Hamilton函數(shù)H所構(gòu)成的泊松括號：(Lx,H),(Ly,H),(Lz,H)。解：取x,y,z為廣義坐標，因為是保守系統(tǒng)，Hamilton函數(shù)系統(tǒng)動能勢能所以廣義動量（勒讓德變換）:則

從而第36頁§7.3泊松括號泊松定理用泊松括號表示的正則方第37頁§7.3泊松括號泊松定理用泊松括號表示的正則方程質(zhì)點的動量矩則因為對應于廣義坐標x,y,z的廣義力Fx,Fy,Fz與勢能函數(shù)V有如下關(guān)系:第37頁§7.3泊松括號泊松定理用泊松括號表示的正則方第38頁§7.3泊松括號泊松定理用泊松括號表示的正則方程這樣同理可得如果有勢力為有心力，并令坐標原點取在力心，則因此由泊松括號性質(zhì)1可得為正則方程的首次積分，即質(zhì)點M在運動過程中Lx、Ly,、Lz都保持恒量，這實際上就是熟知的質(zhì)點在有心力作用下運動時，對力心的動量矩在三個直角坐標軸方向分別守恒。第38頁§7.3泊松括號泊松定理用泊松括號表示的正則方第39頁§7.3泊松括號泊松定理泊松定理（雅可比-泊松定理）定理：已知函數(shù)：

(q1,q2,…,qk,p1,p2,…,pk,t)=C1和函數(shù)ψ(q1,q2,…,qk,p1,p2,…,pk,t)=C2是正則方程的首次積分，則函數(shù)(

,ψ)=C3也是它的首次積分。(

,ψ)為函數(shù)

及ψ所構(gòu)成的泊松括號。證明：已知

(q1,q2,…,qk,p1,p2,…,pk,t)=C1和ψ(q1,q2,…,qk,p1,p2,…,pk,t)=C2是正則方程的首次積分，因此則第39頁§7.3泊松括號泊松定理泊松定理（雅可比-泊松第40頁§7.3泊松括號泊松定理泊松定理（雅可比-泊松定理）由泊松括號性質(zhì)(10)，函數(shù)H,

,ψ構(gòu)成泊松恒等式：可得則即可推得即則也是正則方程的首次積分第40頁§7.3泊松括號泊松定理泊松定理（雅可比-泊松第41頁§7.3泊松括號泊松定理泊松定理（雅可比-泊松定理）泊松定理的說明若系統(tǒng)存在能量積分H=h，且已知另一首次積分

(qj,pj,t)=C，則由泊松定理可得(

,H)=C1也是正則方程的首次積分因此，

(qj,pj,t)=C，則即上式說明，若系統(tǒng)存在能量積分，則正則方程的首次積分對時間的導數(shù)亦是其首次積分；推廣下去，函數(shù)，，…也都是首次積分。第41頁§7.3泊松括號泊松定理泊松定理（雅可比-泊松第42頁§7.3泊松括號泊松定理泊松定理（雅可比-泊松定理）應用泊松定理求首次積分的說明根據(jù)定理，似乎只要已知正則方程的兩個首次積分，便可連續(xù)應用泊松定理求出正則方程的全部首次積分，但事實并非如此。因為用這樣的方法得到的首次積分常常為原積分的線性組合或恒等式，不是獨立的，因此，不能由它再求出新的積分。內(nèi)旋積分系的概念設f1,f2,…,fs

是正則變量qj，pj的函數(shù)，且是正則方程的一組首次積分。若(fν,fμ)=0(ν,μ=1,2,…,s)則不能由這組首次積分得到新的首次積分，這組積分為內(nèi)旋積分系。例如，不受力作用的自由質(zhì)點，它的能量積分和三個動量積分成為內(nèi)旋積分系。第42頁§7.3泊松括號泊松定理泊松定理（雅可比-泊松第43頁§7.3泊松括號泊松定理泊松定理（雅可比-泊松定理）例7-5質(zhì)量為m的質(zhì)點M，受有心力的作用，如取力心為坐標原點O，則質(zhì)點運動時對Ox及Oy軸的動量矩守恒，試用泊松定理證明質(zhì)點M對Oz軸的動量矩Lz=常數(shù)，即守恒解：取質(zhì)點M的直角坐標x,y,z為廣義坐標，按質(zhì)點對Ox及Oy軸的動量矩守恒條件，得到它的正則方程的兩個首次積分Lx,Ly均為正則方程的首次積分。根據(jù)泊松定理(Lx,Ly)=C也為首次積分，即第43頁§7.3泊松括號泊松定理泊松定理（雅可比-泊松第44頁§7.3泊松括號泊松定理泊松定理（雅可比-泊松定理）故對Oz軸的動量距守恒，即Lz

=C第44頁§7.3泊松括號泊松定理泊松定理（雅可比-泊松第45頁§7.4正則變換正則變換的目的：通過構(gòu)造新的Hamilton函數(shù)，該系統(tǒng)具有更簡潔的正則形式和更多的循環(huán)坐標，即得到系統(tǒng)更多的首次積分，且保證正則方程的形式不變。正則變換(Canonicaltransformation)母函數(shù)的各種形式第45頁§7.4正則變換正則變換的目的：通過構(gòu)造新的Ham第46頁§7.4正則變換正則變換(Canonicaltransformation)點變換描述同一力學系統(tǒng)可以采用不同的廣義坐標，如q1,q2,…,qk和Q1,Q2,…,Qk，二者之間存在著一定的變換關(guān)系

上述變換是將一組舊廣義坐標q1,q2,…,qk所確定的位形空間中的一個點，變換到一組新廣義坐標Q1,Q2,…,Qk所確定的位形空間中的一個點。這種變換稱為點變換。

點變換不影響Lagrange方程的結(jié)構(gòu)。

第46頁§7.4正則變換正則變換(Canonical第47頁§7.4正則變換正則變換(Canonicaltransformation)正則變換(Canonicaltransformation)

正則變量：q1,q2,…,qk,p1,p2,…,pk

正則變量（共軛變量）：Q1,Q2,…,Qk,P1,P2,…,Pk

變換關(guān)系：(正則變換)對舊的正則變量，正則方程為

第47頁§7.4正則變換正則變換(Canonical第48頁§7.4正則變換正則變換(Canonicaltransformation)通過變換，舊的Hamilton函數(shù)H=H(qj,pj,t)變換成新的Hamilton函數(shù)H*=H*(Qj,Pj,t)，且保持正則方程的形式不變，即

變量Q1,Q2,…,Qk,P1,P2,…,Pk仍稱為正則變量或共軛變量。相空間的變換并非全為正則變換，如何構(gòu)成正則變換？（兩組變量需滿足什么條件才能實現(xiàn)正則變換）要求：1.H*函數(shù)更簡潔

2.有更多的循環(huán)坐標

3.新變量表示的動力學方程仍為正則的、簡單、對稱。第48頁§7.4正則變換正則變換(Canonical第49頁§7.4正則變換正則變換(Canonicaltransformation)新舊兩組正則變量q、p和Q、P均應滿足Hamilton原理即上面兩式同時成立時，兩個被積函數(shù)并非完全相等，可以相差任一函數(shù)F對時間t的全導數(shù)。如設F是q、Q和t的函數(shù)

由于系統(tǒng)在始末位置是確定的，則第49頁§7.4正則變換正則變換(Canonical第50頁§7.4正則變換正則變換(Canonicaltransformation)的構(gòu)造方法如下：對上式乘以dt，可變?yōu)檎齽t變換成立的充要條件是：變換式使得兩個微分式與的差等于某個函數(shù)F(q,Q,t)的全微分。第50頁§7.4正則變換正則變換(Canonical第51頁§7.4正則變換正則變換(Canonicaltransformation)將上式改寫成比較各項的系數(shù)，可以得到如下變換關(guān)系舊變量對F的關(guān)系新變量對F的關(guān)系新舊H函數(shù)關(guān)系變換是否為正則變換依賴于任意函數(shù)F(q,Q,t)的選擇，F(xiàn)稱為母函數(shù)。

第51頁§7.4正則變換正則變換(Canonical第52頁§7.4正則變換正則變換(Canonicaltransformation)母函數(shù)F如不含時間t時，有H*=H

一般情況下，當給出了一組變換式以后，可根據(jù)微分式來判別變換是否為正則的.若給出一個母函數(shù)F，可由下式得到一組正則變換。在正則變換中，由于變換的廣泛性，使得經(jīng)過變換后的新變量可能不再具有原來物理意義上的“坐標”和“動量”了。第52頁§7.4正則變換正則變換(Canonical第53頁§7.4正則變換母函數(shù)的各種形式為了實現(xiàn)兩組正則變量的變換，母函數(shù)F必須是包括兩組變量的函數(shù)。由于4k個兩組正則變量和時間t通過2k個變換關(guān)系聯(lián)系著，所以其中只有2k+1個變量是獨立的。母函數(shù)F在這2k個變量中要求兩組變量各占一半，只含新變量或只含舊變量均不能使下式成立。因此，母函數(shù)F所顯含的變量在最簡單的情況下有四種不同形式：F1(q,Q,t),F2(p,Q,t),F3(q,P,t),F4(p,P,t)第53頁§7.4正則變換母函數(shù)的各種形式第54頁§7.4正則變換母函數(shù)的各種形式1)母函數(shù)為F1(q,Q,t)，該形式已討論過，有關(guān)結(jié)果為2)母函數(shù)為F2(p,Q,t)應用勒讓德變換，在F1(q,Q,t)基礎(chǔ)上，確定F2(p,Q,t)的變換關(guān)系F1(q,Q,t)變量以p代替q；Q保持不變，且有：，于是取F2(p,Q,t)第54頁§7.4正則變換母函數(shù)的各種形式1)母函數(shù)為第55頁§7.4正則變換母函數(shù)的各種形式則有得到

（，又由得到）將式兩邊對t求導，可得因此Hamilton函數(shù)的變換關(guān)系為第55頁§7.4正則變換母函數(shù)的各種形式則有得到第56頁§7.4正則變換母函數(shù)的各種形式3)母函數(shù)F3(q,P,t)仍使用上述方法，此時變量以P代替Q；q保持不變，且有：，于是取且相應有如下關(guān)系成立由此得到變換關(guān)系為第56頁§7.4正則變換母函數(shù)的各種形式3)母函數(shù)第57頁§7.4正則變換母函數(shù)的各種形式4)母函數(shù)F4(p,P,t)以F3(q,P,t)為舊變量的函數(shù)，此時變量以p代替q；P保持不變，取同理得到變換關(guān)系為第57頁§7.4正則變換母函數(shù)的各種形式4)母函數(shù)第58頁§7.4正則變換例7-6給定正則變換的母函數(shù)試求由母函數(shù)生成的正則變換。解：母函數(shù)為F＝F(q,Q)，屬q,Q型，第一種母函數(shù)形式根據(jù)則第58頁§7.4正則變換例7-6給定正則變換的母函數(shù)第59頁§7.4正則變換(a)而則即由式(a)可解出

(b)

(c)將式(c)代入式(b)，得第59頁§7.4正則變換(a)而則即由式(a)第60頁§7.4正則變換例7-7取母函數(shù)為，試求由母函數(shù)生成的正則變換。解：母函數(shù)為F＝F(q,Q)，屬q,Q型，第一種母函數(shù)形式根據(jù)則則q、p與Q、P之間的關(guān)系式為第60頁§7.4正則變換例7-7取母函數(shù)為第61頁§7.4正則變換例7-8已知，，證明如下兩組變換均為正則變換，并求相應的母函數(shù)(1)

(2)

解：是否為正則變換的充分必要條件是要依據(jù)下式構(gòu)造母函數(shù)F

由已知條件故：構(gòu)造是否存在。第61頁§7.4正則變換例7-8已知第62頁§7.4正則變換（1）由于因為所以又因所以代入判別式則即所以故為正則變換第62頁§7.4正則變換（1）由于因為所以又因所以第63頁§7.4正則變換（2）由于則代入判別式又由于得到則第63頁§7.4正則變換（2）由于則代入判別式又由于第64頁§7.4正則變換由可得將F代入得所以，因此f=常數(shù)。故母函數(shù)F為由條件得所以第64頁§7.4正則變換由第65頁§7.4正則變換例7-9應用正則變換求解單自由度質(zhì)點的線性諧振動解：質(zhì)點的質(zhì)量為m，單自由度，取q為廣義坐標，動能和勢能為則系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，故取母函數(shù)利用變換關(guān)系有第65頁§7.4正則變換例7-9應用正則變換求解單自由度第66頁§7.4正則變換聯(lián)立上式，可解得因母函數(shù)不顯含時間t，因此有H=H*

將q,p代入H函數(shù)則H*=P，由此可見，經(jīng)過變換后的Hamilton函數(shù)更簡潔，且存在循環(huán)坐標Q。對應新變量的正則方程為積分上式，得第66頁§7.4正則變換聯(lián)立上式，可解得因母函數(shù)不顯含時第67頁§7.4正則變換則H*=P=E即為系統(tǒng)的總機械能，系統(tǒng)的振動規(guī)律為由上述求解過程可以看出，正則變換后的廣義坐標Q和廣義動量P分別為時間t和總機械能，已不再具有原來的意義了。第67頁§7.4正則變換則H*=P=E即為系統(tǒng)的第68頁§7.5用Lagrange括號和Poisson括號判別正則變換用Lagrange括號判別正則變換用poisson括號判別正則變換第68頁§7.5用Lagrange括號和Poisson括第69頁§7.5用Lagrange括號和Poisson括號判別正則變換用Lagrange括號判別正則變換1．Lagrange括號定義考慮如下變換方程令(q

,pβ)為舊變量中的任意兩個，定義Lagrange括號為2．用Lagrange括號判定變換為正則變換當母函數(shù)F如不含時間t

時，正則變換的充要條件為第69頁§7.5用Lagrange括號和Poisson括第70頁§7.5用Lagrange括號和Poisson括號判別正則變換用Lagrange括號判別正則變換即變換若為正則變換，方程左邊必構(gòu)成某一函數(shù)的全微分。因為所以判別方程的左邊要使上式成為全微分的條件是必須同時滿足以下三組恒等式第70頁§7.5用Lagrange括號和Poisson括第71頁§7.5用Lagrange括號和Poisson括號判別正則變換用Lagrange括號判別正則變換展開其中的第一組，得進一步簡化上式，并注意到第71頁§7.5用Lagrange括號和Poisson括第72頁§7.5用Lagrange括號和Poisson括號判別正則變換用Lagrange括號判別正則變換則有上式可用Lagrange括號表示為同理，第二組、第三組恒等式也可表示為于是，可得如下結(jié)論：

1)從一組舊變量q、p到另一組新變量Q、P的變換

第72頁§7.5用Lagrange括號和Poisson括第73頁§7.5用Lagrange括號和Poisson括號判別正則變換用Lagrange括號判別正則變換如果滿足關(guān)系式則該變換是正則變換。2)同理，考慮變換式

若該變換是正則變換，則應滿足關(guān)系式第73頁§7.5用Lagrange括號和Poisson括第74頁§7.5用Lagrange括號和Poisson括號判別正則變換用poisson括號判別正則變換泊松括號定義為其中

、ψ是q1,q2,…,qk,p1,p2,…,pk,t的函數(shù)，即

Lagrange括號定義為通過上面兩個定義比較可發(fā)現(xiàn)，將其中某一括號的各偏導數(shù)項上下交換位置，就可得到另一括號。而實際上兩者之間確實存在一定的關(guān)系。第74頁§7.5用Lagrange括號和Poisson括第75頁§7.5用Lagrange括號和Poisson括號判別正則變換用poisson括號判別正則變換設有2k個互為獨立的任意變量，u1,u2,…,uk,uk+1,uk+2,…,u2k均為廣義坐標q1,q2,…,qk和廣義動量p1,p2,…,pk的函數(shù)，則存在關(guān)系式證明：由Lagrange括號和poisson括號的定義，有其中，第75頁§7.5用Lagrange括號和Poisson括第76頁§7.5用Lagrange括號和Poisson括號判別正則變換用poisson括號判別正則變換于是根據(jù)上述關(guān)系，可以得到用poisson括號判別正則變換的條件。設2k個ul是q1,q2,…,qk,p1,p2,…,pk的函數(shù)，利用正則變換的充要條件可得到如下關(guān)系式。①令ui=pi，uj=pj，則用poisson括號判別正則變換的條件

第76頁§7.5用Lagrange括號和Poisson括第77頁§7.5用Lagrange括號和Poisson括號判別正則變換用poisson括號判別正則變換②令ui=pi，uj=qj，則③令ui=qi，uj=pj，則綜上所述，當從一組舊變量到另一組新變量的變換，即時

第77頁§7.5用Lagrange括號和Poisson括第78頁§7.5用Lagrange括號和Poisson括號判別正則變換用poisson括號判別正則變換如果能從2k個變量中找到任意兩個變量所形成的泊松括號，即有則這種變換就是正則變換。若將qj,pj看作Qj,Pj的函數(shù)，利用同理可得如下正則變換判別式

第78頁§7.5用Lagrange括號和Poisson括第79頁§7.5用Lagrange括號和Poisson括號判別正則變換例7-10已知變換為：，，試用Lagrange括號判別其是否為正則變換。解:代入Lagrange括號判別式，得因為

=β=1，故δ11=1。顯然滿足判別條件故上述變換為正則變換。第79頁§7.5用Lagrange括號和Poisson括第80頁§7.5用Lagrange括號和Poisson括號判別正則變換例7-11給定變換，。試用Poinsso括號判別其是否為正則變換。解:顯然有，滿足判別條件故上述變換為正則變換。第80頁§7.5用Lagrange括號和Poisson括第81頁§7.6哈密頓－雅可比方程問題：選擇怎樣的母函數(shù)，使變換后的Hamilton函數(shù)為零，這是Hamilton-Jacobi方程要解決的問題。1．Hamilton-Jacobi方程的建立對于一個具有k個自由度的完整系統(tǒng)，Hamilton正則方程為經(jīng)過正則變換后，使，相應的正則方程為如果，則上式可寫成直接積分可得式中αj、βj為積分常數(shù)。為了達到上述目的，關(guān)鍵在于母函數(shù)的選擇。第81頁§7.6哈密頓－雅可比方程問題：選擇怎樣的母函數(shù)，第82頁§7.6哈密頓－雅可比方程根據(jù)新、舊Hamilton函數(shù)H*、H的關(guān)系H*=H+?F/?t，母函數(shù)必須滿足母函數(shù)F的形式可以有四種：F1(q,Q,t),F2(p,Q,t),F3(q,P,t),F4(p,P,t)這里取F=F3(q,P,t)為例，并用S(q,P,t)表示，即將Pj=βj代入S(q,P,t)中，S則可表示成變量qj、常數(shù)βj和時間t的函數(shù)，即常數(shù)βj可由初始條件決定。第82頁§7.6哈密頓－雅可比方程根據(jù)新、舊Hamilto第83頁§7.6哈密頓－雅可比方程于是，對應于母函數(shù)S=F3(q,P,t)形式的變換關(guān)系式可寫為將代入就可得到H函數(shù)這就是Hamilton-Jacobi方程。第83頁§7.6哈密頓－雅可比方程于是，對應于母函數(shù)S=第84頁§7.6哈密頓－雅可比方程該方程是關(guān)于k個變量q1,q2,…,qk和時間t的一階偏微分方程，其解稱為Hamilton-Jacobi方程的全積分。當S被解出后，將S代入就可得到正則方程的解

其中包含了2k個由初始條件決定的積分常數(shù)。第84頁§7.6哈密頓－雅可比方程該方程是關(guān)于k個變量q1第85頁§7.6哈密頓－雅可比方程注意：1）pj可直接由解出；2）qj要由解出時，并且其為αj、βj和時間t的函數(shù)，則S應滿足：或由此，將確定正則變換的母函數(shù)問題轉(zhuǎn)變成了求Hamilton-Jacobi方程的全積分問題，且將變換后的新變量Q、P分別變換成為常數(shù)α和β，使相空間(qj,pj)中的相軌跡被映射到(Q,P)空間中的一個固定點，進而可直接通過變換關(guān)系得到正則方程的解。當然，能夠?qū)崿F(xiàn)這樣的變換，對于得到正則方程的解是非常有用的。但困難在于對方程的求解并不是容易的事。第85頁§7.6哈密頓－雅可比方程注意：1）pj可直接第86頁§7.6哈密頓－雅可比方程上述內(nèi)容可用Jacobi定理表達如下。如果是Hamilton-Jacobi方程的全積分，則由正則變換

所決定的方程組

乃是正則方程的解。第86頁§7.6哈密頓－雅可比方程上述內(nèi)容可用Jacobi第87頁§7.6哈密頓－雅可比方程例7-12應用Hamilton-Jacobi方法，求解單自由度質(zhì)點的線性諧振動。設系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)H為解：根據(jù)得到Hamilton-Jacobi方程設函數(shù)S的形式為其中，β是變換后的動量，也是積分常數(shù)。第87頁§7.6哈密頓－雅可比方程例7-12應用Hami第88頁§7.6哈密頓－雅可比方程將S代入Hamilton-Jacobi方程得：則得從而又由得第88頁§7.6哈密頓－雅可比方程將S代入Hamilt第8