湖南大學 線性代數 PPT

行列式的性質性質1:行列式與其轉置行列式的值相等.復習性質2:互換行列式的兩行(列),行列式變號.性質3:推論:如果行列式有兩行(列)完全相同,則此行列式為零.行列式任一行的公因子可提到行列式之外.或用常數乘行列式任意一行的諸元素,等于用乘這個行列式.性質4:行列式中如果有兩行(列)元素成比例,則此行列式等于零.性質5:注:性質3,性質5又稱為線性性質性質6:在行列式中,把某行各元素分別乘非零常數再加到另一行的對應元素上去,行列式的值不變.重要公式行列式計算(利用性質)方法:(1)化上(下)三角形法(2)降階法(3)遞歸法例題例1.計算解:法1(化上三角形法)計算方法:化上(下)三角形法;降階法.法2(降階法)可直接用對角線法則計算三階行列式例2計算先觀察再計算解:或矩陣1.運算:+,-,數乘,乘法等.注意能運算的條件.矩陣乘法定義:規(guī)定:與的乘積是一個陣記作:

2.注意:(1)矩陣乘法不滿足交換律.但不是說對任意兩個矩陣一定有例(2)兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣.(有別于數的乘法)例而若稱是的左零因子.稱是的右零因子.(3)一個非零矩陣如有左(右)零因子,其左(右)零因子不唯一.結論:矩陣乘法不適合消去律.不能推出滿足運算律(乘法有意義的前提下)結合律:數乘結合律:左分配律:右分配律:又例3.特殊矩陣:單位矩陣,數量矩陣,對角矩陣,上(下)三角矩陣4.重要矩陣及運算性質轉置矩陣可逆矩陣正交矩陣滿足運算規(guī)律:矩陣的轉置對稱矩陣:反對稱矩陣:可逆矩陣的逆矩陣定義,唯一性,充要條件及推論,可逆矩陣的性質定義:奇異矩陣非奇異矩陣例解:例例正交矩陣及其性質定義:定理:定理:5.矩陣的初等變換及性質掌握初等變換法求可逆矩陣的逆矩陣一般結論:初等矩陣是可逆的結論:可逆矩陣可以表示為若干個初等矩陣的乘積.例3向量概念:線性組合,線性相關,線性無關,極大無關組,秩,向量組的等價,內積等有關線性相關,無關,秩的重要定理,結論.結論:1.m個n維向量必線性相關.(m>n)特別:m=n+12.n個n維向量線性無關它們所構成方陣的行列式不為零.3.n維向量空間任一線性無關組最多只能包含n個向量.4n維向量空間n個向量線性無關,則任一向量可由這n個線性無關向量表示,且表法唯一.定理(1)若向量組A:線性相關,則向量組B:也線性相關.反之,若向量組B線性無關,向量組A也線性無關.若部分相關，則整體相關；若整體無關，則部分無關(2)設若向量組A:線性無關,則向量組B:也線性無關.反之,若向量組B線性相關,向量組A也線性相關.若r維向量線性無關，則在每個向量上添加m個分量所得到的新向量也線性無關.等價的說法：m個分量所得到的新向量也線性相關.若r維向量線性相關，則在每個向量上去掉定義:注意:只含零向量的向量組沒有極大無關組.規(guī)定:它的秩為零.極大線性無關組問題:極大無關組是否唯一?定理:向量組與它的任意一個極大無關組等價.結論:推論1:等價的無關向量組包含相同個數的向量.定理:向量組的任意兩個極大無關組相互等價,從而所含向量個數相同.向量組的秩的求法介紹的簡便而有效的方法:(1)以向量組中各向量作為列向量,構成矩陣A;(2)對A施行初等行變換化為階梯形矩陣B,B的非零行數即矩陣A的秩,亦即原向量組的秩;(3)求出B的列向量組的極大無關組;(4)A中與B的列向量組的極大無關組相對應的部分列向量組,即為向量組的極大無關組秩的性質1.(推論3.4.4)等價矩陣有相同的秩.2.(推論3.4.5)對任意矩陣A,3..(推論3.4.6)任何矩陣與可逆矩陣相乘,其秩不變.B可逆,r(B)=3又r(AB)=2,r(A)=2,即矩陣的秩與行列式的關系例向量組線性無關,證明:用定義.設只有零解.所以,線性方程組齊次系數矩陣基礎解系解的性質解的結構非齊次增廣矩陣解的性質解的結構二.齊次線性方程組解的理論和解的結構對(1)我們關心何時有非零解.必有非零解.定理1給出結論.解的理論特別:解向量:解的性質:解的結構解空間:定義:基礎解系對(2)我們關心何時有解,及何時有唯一解,無窮多解.解的理論解的結構例解考慮1.有無解2.有解(唯一解還是無窮多解)討論:特解:令Ax=0的基礎解系通解方法2由本題的特點:方程組中方程的個數與未知量個數一樣,可想到先求系數行列式,利用克萊姆法則矩陣的特征值與特征向量及二次型概念:特征值,特征向量特征值的性質:方陣的特征值與特征向量(一)特征值與特征向量的定義和計算定義1:注:特征方程:求特征值求特征向量即求齊次線性方程組的非零解.小結:(二)特征值和特征向量的性質定理1:定理2:性質1(關于特征值的)性質3性質2一個特征向量不能屬于不同的特征值(即不同的特征值所對應的特征向量不同)(對于同一個矩陣)例2相似矩陣及性質定義:相似是等價關系:1.自反性2.對稱性3.傳遞性性質1.相似矩陣有1.相同的行列式.2.相同的特征多項式和相同特征值.3.有相同的跡.4.有相同的秩.(二)矩陣可對角化的條件定理1.實對稱矩陣A的任一個特征值都是實數.二.實對稱矩陣的特征值和特征向量P146定理5.4.1推論:實對稱矩陣A的特征向量均