山東科技大學(xué)線代重修例題

《線性代數(shù)》復(fù)習(xí)摘要

【周一227+周三1-120】=

【周二124+周四228】第1-2章行列式與矩陣的運(yùn)算第3章線性方程組求解第4章向量組的線性相關(guān)性第5章相似矩陣與二次型山東科技大學(xué)路榮武2016.10.101.n階行列式的定義定義1：n!項(xiàng)n個(gè)元素的乘積之和稱為n

階行列式(n≥1)，記作其中，t為排列的逆序數(shù)例1：寫(xiě)出四階行列式中含有因子的項(xiàng)。-+正負(fù)號(hào)的確定（2413,2431的逆序數(shù)的奇偶性？）

§1.4

行列式的性質(zhì)例題1（利用性質(zhì)計(jì)算行列式）：例題2：計(jì)算“行等和”行列式§1.5

行列式按行(列)展開(kāi)引理一個(gè)n階行列式，如果其中第i行所有元素除外都為零，那么這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即．行列式計(jì)算過(guò)程中，利用該引理可簡(jiǎn)化計(jì)算和書(shū)寫(xiě)過(guò)程例（例7續(xù)）例設(shè),的元的余子式和代數(shù)余子式依次記作和，求分析利用行列式展開(kāi)定理及其推論及解練習(xí)（大量題目，考試題目舉例）§2.2

矩陣及其運(yùn)算簡(jiǎn)記為元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.這m×n個(gè)數(shù)稱為矩陣A的元素，簡(jiǎn)稱為元.一、矩陣的加法定義：設(shè)有兩個(gè)

m×n

矩陣

A=(aij)，B=(bij)，那么矩陣

A與

B的和記作

A＋B，規(guī)定為說(shuō)明：只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.二、數(shù)與矩陣相乘定義：數(shù)

l與矩陣

A

的乘積記作

lA

或

Al

，規(guī)定為知識(shí)點(diǎn)比較一、矩陣與矩陣相乘定義：設(shè)，，那么規(guī)定矩陣

A與矩陣

B的乘積是一個(gè)

m×n矩陣，其中并把此乘積記作C=AB．四、矩陣的轉(zhuǎn)置定義：把矩陣

A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT

.例五、方陣的行列式定義：由

n階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣

A的行列式，記作|A|或detA.運(yùn)算性質(zhì)定義：行列式|A|的各個(gè)元素的代數(shù)余子式

Aij

所構(gòu)成的如下矩陣稱為矩陣

A的伴隨矩陣.元素的代數(shù)余子式位于第j行第i列性質(zhì)§2.3

逆矩陣定理：若，則方陣A可逆，而且推論：若，則.例：求3階方陣的逆矩陣.解：|A|=1，繁瑣，易錯(cuò)方陣A可逆此時(shí)，稱矩陣A為非奇異矩陣推論：對(duì)于n階方陣A、B，如果那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣.定理：方陣A可逆的充要條件是．推論：如果n階方陣A、B可逆，那么、、與AB也可逆，且練習(xí)請(qǐng)大家及時(shí)進(jìn)行

大量練習(xí)！！第三章線性方程組的解主要知識(shí)點(diǎn)：

初等變換；行最簡(jiǎn)形矩陣；矩陣的秩；最高階非零子式；矩陣的秩的性質(zhì)；線性方程組的解定義：下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：對(duì)調(diào)兩行，記作；以非零常數(shù)k乘某一行的所有元素，記作；某一行加上另一行的k倍，記作.其逆變換是：把定義中的“行”換成“列”，就得到矩陣的初等列變換的定義．初等變換初等行變換初等列變換有限次初等變換矩陣A與矩陣B等價(jià)，記作矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì)：反身性；對(duì)稱性若，則；傳遞性若，則．行階梯形矩陣：可畫(huà)出一條階梯線，線的下方全為零；每個(gè)臺(tái)階只有一行；階梯線的豎線后面是非零行的第一個(gè)非零元素.行最簡(jiǎn)形矩陣：非零行的第一個(gè)非零元為1;這些非零元所在的列的其它元素都為零.行最簡(jiǎn)形矩陣：非零行的第一個(gè)非零元為1;這些非零元所在的列的其它元素都為零.標(biāo)準(zhǔn)形矩陣：左上角是一個(gè)單位矩陣，其它元素全為零.行階梯形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣由m、n、r三個(gè)參數(shù)完全確定，其中r就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù).行最簡(jiǎn)形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣三者之間的包含關(guān)系任何矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣行階梯形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣有限次初等行變換有限次初等列變換有限次初等變換結(jié)論有限次初等行變換四、初等變換的應(yīng)用,,,,初等矩陣的乘積

解例１即初等行變換例２解構(gòu)造增廣矩陣（A,E）,(A,B)，再利用初等行變換求解逆矩陣和矩陣方程AX=B.解1：先轉(zhuǎn)置，再利用初等行變換；解2：求出逆矩陣，再右乘到等式兩端。（B,E）=§3.2矩陣的秩定義：設(shè)矩陣A中有一個(gè)不等于零的r階子式

D，且所有r+1階子式（如果存在的話）全等于零，那么

D稱為矩陣A

的最高階非零子式，數(shù)r

稱為矩陣

A

的秩，記作R(A)．定理：若A~B，則R(A)=R(B)

．也就是說(shuō)，矩陣經(jīng)過(guò)有限次初等變換后，秩不變。例：求矩陣A的秩，并求A

的一個(gè)最高階非零子式．對(duì)應(yīng)有:行階梯形矩陣有3個(gè)非零行，故R(A)=3．解：第一步先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣．

R(A0)=3，（嘗試）計(jì)算A0的前3行構(gòu)成的子式:因此這就是A

的一個(gè)最高階非零子式．矩陣的秩的性質(zhì)若

A為m×n

矩陣，則0≤R(A)≤min(m,n)．

R(AT)=R(A)．若A~B，則R(A)=R(B)

．若P、Q

可逆，則R(PAQ)=R(A)

．

max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)＋R(B)

． 特別地，當(dāng)B=b

為非零列向量時(shí)，有

R(A)≤R(A,b)≤R(A)＋1

．

R(A＋B)≤R(A)＋R(B)．

R(AB)≤min{R(A),R(B)}．若Am×nBn×l

=O，則R(A)＋R(B)≤n．練習(xí)題因?yàn)镽(A)=2，知A的代數(shù)余子式全部為0，故A*=O，R(A*)=0.§3.3線性方程組的解定理：n

元線性方程組Ax=b無(wú)解的充分必要條件是R(A)<R(A,b)；有唯一解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)=n；有無(wú)限多解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)<n．例：求解非齊次線性方程組解：R(A)=R(A,b)=3<4，故原線性方程組有無(wú)窮多解．解（續(xù)）：即得與原方程組同解的方程組令x3

做自由變量，則方程組的通解可表示為．例（重要）：設(shè)有線性方程組問(wèn)l

取何值時(shí)，此方程組有(1)唯一解；(2)無(wú)解；(3)有無(wú)限多個(gè)解？并在有無(wú)限多解時(shí)求其通解．解法1：對(duì)增廣矩陣作初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣．增廣矩陣附注：對(duì)含參數(shù)的矩陣作初等變換時(shí)，由于l+1，l+3等因式可能等于零，故不宜進(jìn)行下列的變換：否則，必須對(duì)l+1=0（或l+3=0）的情況另作討論．于是當(dāng)l≠0且l≠－3時(shí)，R(A)=R(B)=3，有唯一解．當(dāng)l=0時(shí)，R(A)=1，R(B)=2，無(wú)解．當(dāng)l=－3時(shí)，R(A)=R(B)=2，有無(wú)限多解．其中：唯一解的條件R(A)=R(B)=3，是最好處理的??！為什么？？？

當(dāng)l=0時(shí)，R(A)=1，R(B)=2，方程組無(wú)解．當(dāng)l=－3時(shí)，R(A)=R(B)=2，方程組有無(wú)限多個(gè)解，其通解為解法2：因?yàn)橄禂?shù)矩陣A

是方陣，所以方程組有唯一解的充分必要條件是|A|≠0．于是當(dāng)l≠0且l≠－3時(shí)，方程組有唯一解．（其余步驟與解法1相同。）非齊次線性方程組無(wú)解否是無(wú)限多個(gè)解否是唯一解包含n-R(A)個(gè)自由變量的通解請(qǐng)大家及時(shí)進(jìn)行

大量練習(xí)！！第四章

向量組的線性相關(guān)性§4.1

向量組及其線性組合知識(shí)點(diǎn)：向量組；線性組合；線性表示定義：給定向量組A：a1,a2,…,am，對(duì)于任何一組實(shí)數(shù)

k1,k2,…,km

，表達(dá)式k1a1+k2a2+…+kmam稱為向量組A

的一個(gè)線性組合．k1,k2,…,km稱為這個(gè)線性組合的系數(shù)．定義：給定向量組A：a1,a2,…,am和向量b，如果存在一組實(shí)數(shù)l1,l2,…,lm

，使得b=l1a1+l2a2+…+lmam則向量b是向量組A的線性組合，這時(shí)稱向量b能由向量組

A

的線性表示．定義：設(shè)有向量組A：a1,a2,…,am及B：b1,b2,…,bl，若向量組B

中的每個(gè)向量都能由向量組A

線性表示，則稱向量組B

能由向量組A

線性表示．若向量組A

與向量組B

能互相線性表示，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)．向量組B：b1,b2,…,bl能由向量組A：a1,a2,…,am線性表示 存在矩陣K，使得AK=B

矩陣方程AX=B

有解

R(A)=R(A,B)（P.84定理2）

R(B)≤R(A)（P.85定理3）推論：向量組A：a1,a2,…,am及B：b1,b2,…,bl等價(jià)的充分必要條件是R(A)=R(B)=R(A,B)．證明：向量組A和B等價(jià)向量組B能由向量組A

線性表示向量組A能由向量組B

線性表示從而有R(A)=R(B)=R(A,B)．因?yàn)镽(B)≤R(A,

B)R(A)=R(A,B)R(B)=R(A,B)例：設(shè)證明向量b能由向量組a1,a2,a3

線性表示，并求出表示式．解：向量b能由a1,a2,a3

線性表示，當(dāng)且僅當(dāng)R(A)=R(A,b)．因?yàn)镽(A)=R(A,b)=2，所以向量b能由a1,a2,a3

線性表示．行最簡(jiǎn)形矩陣對(duì)應(yīng)的方程組為通解為所以b=(－3c+2)a1+(2c－1)a2+ca3

．知識(shí)結(jié)構(gòu)圖n維向量向量組向量組與矩陣的對(duì)應(yīng)向量組的線性組合向量組的線性表示向量組的等價(jià)判定定理及必要條件判定定理§4.2

向量組的線性相關(guān)性知識(shí)點(diǎn)：線性相關(guān)，線性無(wú)關(guān)，判定條件向量組的線性相關(guān)性定義：給定向量組A：a1,a2,…,am，如果存在不全為零的實(shí)數(shù)k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）則稱向量組A是線性相關(guān)的，否則稱它是線性無(wú)關(guān)的．向量組線性相關(guān)性的判定（重點(diǎn)、難點(diǎn)）向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān) 存在不全為零的實(shí)數(shù)k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）

．

m元齊次線性方程組

Ax=0有非零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的個(gè)數(shù)m，即R(A)<m．（最常用?。?/p>

向量組A

中至少有一個(gè)向量能由其余m－1個(gè)向量線性表示．向量組線性無(wú)關(guān)性的判定（重點(diǎn)、難點(diǎn)）向量組A：a1,a2,…,am線性無(wú)關(guān) 如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），則必有k1=k2=…=km=0．

m元齊次線性方程組

Ax=0只有零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的個(gè)數(shù)m． 向量組A

中任何一個(gè)向量都不能由其余m－1個(gè)向量線 性表示．例：已知試討論向量組a1,a2,a3

及向量組a1,a2

的線性相關(guān)性．解：R(a1,a2,a3

)=2，故向量組a1,a2,a3

線性相關(guān)；同時(shí)，R(a1,a2)=2，故向量組a1,a2線性無(wú)關(guān)．例：已知向量組a1,a2,a3

線性無(wú)關(guān)，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，試證明向量組b1,b2,b3線性無(wú)關(guān)．解題思路：轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組的問(wèn)題；轉(zhuǎn)化為矩陣的秩的問(wèn)題．例：已知向量組a1,a2,a3

線性無(wú)關(guān)，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，試證明向量組b1,b2,b3線性無(wú)關(guān)．解法1：轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組的問(wèn)題．已知，記作B=AK．設(shè)Bx=0，則(AK)x=A(Kx)=0．因?yàn)橄蛄拷Ma1,a2,a3

線性無(wú)關(guān)，所以Kx=0．又|K|=2≠0，那么Kx=0只有零解

x=0，從而向量組b1,b2,b3線性無(wú)關(guān)．例：已知向量組a1,a2,a3

線性無(wú)關(guān)，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，試證明向量組b1,b2,b3線性無(wú)關(guān)．解法2：轉(zhuǎn)化為矩陣的秩的問(wèn)題．已知，記作B=AK．因?yàn)閨K|=2

≠

0，所以K可逆，R(A)=R(B)，又向量組a1,a2,a3

線性無(wú)關(guān)，R(A)=3，從而R(B)=3，向量組b1,b2,b3線性無(wú)關(guān)．定理（5）

若向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān)，則向量組B：a1,a2,…,am,am+1

也線性相關(guān)． 其逆否命題也成立，即若向量組B線性無(wú)關(guān)，則向量組A也線性無(wú)關(guān)．m

個(gè)n

維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù)n

小于向量個(gè)數(shù)m

時(shí)，一定線性相關(guān)． 特別地，n+1個(gè)n

維向量一定線性相關(guān)．設(shè)向量組A：a1,a2,…,am線性無(wú)關(guān)，而向量組B：a1,a2,…,am,b

線性相關(guān)，則向量b

必能由向量組A

線性表示，且表示式是唯一的．練習(xí)題§4.3

向量組的秩知識(shí)點(diǎn)：向量組的秩的定義；與矩陣的秩的關(guān)系；最大無(wú)關(guān)組的求法.向量組的秩的概念定義：設(shè)有向量組A

，如果在A

中能選出r個(gè)向量a1,a2,…,ar，滿足：向量組A0：a1,a2,…,ar線性無(wú)關(guān)；向量組A

中任意r+1個(gè)向量（如果A

中有r+1個(gè)向量的話）都線性相關(guān)；那么稱向量組A0是向量組A

的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)向量組，簡(jiǎn)稱最大無(wú)關(guān)組．最大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)

r

稱為向量組A

的秩，記作RA．例：求矩陣A列向量組的秩，求其最大無(wú)關(guān)組，并將其余向量線性表示．選取行階梯形矩陣中非零行的第一個(gè)非零元所在的列，對(duì)應(yīng)選取矩陣A的第一、二、四列作為最大無(wú)關(guān)組．解：第一步先用初等行變換把矩陣化成行最簡(jiǎn)形矩陣．行最簡(jiǎn)形矩陣有3個(gè)非零行，故R(A)=3．

R(A0)=3，余下第三、五列可由最大無(wú)關(guān)組表示為：注意：由于行等價(jià)的矩陣對(duì)應(yīng)的齊次方程組是同解，其列組的線性關(guān)系相同。所以，行最簡(jiǎn)形矩陣的列組之間線性表達(dá)式與原矩陣一致。

§4.4

線性方程組的解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組的解的性質(zhì)基礎(chǔ)解系；解空間非齊次線性方程組的解的性質(zhì)齊次線性方程組的解的性質(zhì)性質(zhì)1：若x=x1，

x=x2

是齊次線性方程組Ax=0

的解，則x=x1+x2

是Ax=0

的解．證明：A(x1+x2)=

Ax1+Ax2

=0+0=0．性質(zhì)2：若x=x是齊次線性方程組Ax=0

的解，k為實(shí)數(shù)，則x=kx

是Ax=0.證明：

A(kx)=

k(Ax)

=k0=0．結(jié)論：若x=x1,

x=x2,...,,

x=xt

是齊次線性方程組Ax=0

的解，則x=k1x1+k2x2+…+ktxt

是Ax=0

的解.基礎(chǔ)解系的概念定義：齊次線性方程組Ax=0的一組解向量：x1,x2,...,xr如果滿足①

x1，x2，...，xr線性無(wú)關(guān)；②方程組中任意一個(gè)解都可以表示x1,x2,...,xr的線性組合，那么，稱這組解是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系．定理：設(shè)m×n

矩陣的秩R(A)=r，則n元齊次線性方程組Ax=0的解集S的秩RS=n

?r．基礎(chǔ)解系的求解例：求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系．方法1：先求出通解，再?gòu)耐ń馇蟮没A(chǔ)解系．即令x3=c1，x4=c2，得通解表達(dá)式因?yàn)榉匠探M的任意一個(gè)解都可以表示為x1,x2

的線性組合．x1,x2的四個(gè)分量不成比例，所以x1,x2線性無(wú)關(guān)．所以x1,x2是原方程組的基礎(chǔ)解系．方法2：先求出基礎(chǔ)解系，再寫(xiě)出通解．即令合起來(lái)便得到基礎(chǔ)解系，得還能找出其它基礎(chǔ)解系嗎？問(wèn)題：是否可以把x1

選作自由變量？答：可以，因?yàn)槭欠癜严禂?shù)矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣，其實(shí)并不影響方程組的求解．當(dāng)兩個(gè)矩陣行等價(jià)時(shí)，以這兩個(gè)矩陣為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組同解．令x1=c1，x2=c2，得通解表達(dá)式即從而可得另一個(gè)基礎(chǔ)解系：h1和h2．非齊次線性方程組的解的性質(zhì)性質(zhì)3：若

x=h1,

x=h2

是非齊次線性方程組A

x=b

的解，則

x=h1?h2

是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組A

x=0

（導(dǎo)出組）的解．證明：A(h1?h2)=

Ah1?Ah2

=b

?b=0．性質(zhì)4：若

x=h是非齊次線性方程組Ax=b

的解，

x=x是導(dǎo)出組A

x=0

的解，則

x=x+h

是Ax=b．證明：

A(x+h

)=

Ax+Ah

=0+b=b

．例：求線性方程組的通解．

1.已知矩陣，求其列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并把余下的向量用最大無(wú)關(guān)組線性表示。

2.求矩陣列向量組的最大無(wú)關(guān)組，并把不屬于最大無(wú)關(guān)組的列向量用最大無(wú)關(guān)組線性表示。

請(qǐng)大家及時(shí)進(jìn)行

大量練習(xí)??！第五章

相似矩陣及二次型知識(shí)點(diǎn)：

向量的長(zhǎng)度與正交性；

特征值與特征向量；

相似矩陣；對(duì)稱矩陣的對(duì)角化；

二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型§5.1

向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性向量的內(nèi)積定義：設(shè)有n維向量令[x,y]=x1y1+x2y2+…+xn

yn

，則稱[x,y]為向量x

和y

的內(nèi)積．說(shuō)明：內(nèi)積是兩個(gè)向量之間的一種運(yùn)算，其結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)．內(nèi)積可用矩陣乘法表示：[x,y]=x1y1+x2y2+…+xn

yn=xT

y．向量的長(zhǎng)度定義：令稱||x||為n維向量x的長(zhǎng)度（或范數(shù)）．當(dāng)||x||=1時(shí)，稱x為單位向量．向量的長(zhǎng)度具有下列性質(zhì)：非負(fù)性：當(dāng)x=0（零向量）時(shí)，||x||=0；當(dāng)x≠0（零向量）時(shí)，||x||>0．齊次性：||l

x||=|l|

·

||x||．向量的正交性定義：當(dāng)x≠0且y≠0時(shí)，把稱為n維向量x

和y

的夾角．當(dāng)[x,y]=0，稱向量x

和y

正交．結(jié)論：若x=0，則x

與任何向量都正交．定義：兩兩正交的非零向量組成的向量組成為正交向量組．定理：若n維向量a1,a2,…,ar是一組兩兩正交的非零向量，則a1,a2,…,ar線性無(wú)關(guān)．證明：設(shè)k1a1+k2a2+…+krar=

0（零向量），那么

0=

[a1,0]

=[a1,k1a1+k2a2+…+krar]=k1[a1,a1]+k2[a1,a2]+…+kr

[a1,ar]=k1[a1,a1]

+

0

+

…+0

=k1||a1||2從而k1

=

0．同理可證，k2=k3=…=kr=0．綜上所述，a1,a2,…,ar線性無(wú)關(guān)．定義：n維向量e1,e2,…,er是向量空間中的向量，滿足e1,e2,…,er是向量空間V

中的一個(gè)基（最大無(wú)關(guān)組）；e1,e2,…,er兩兩正交；e1,e2,…,er都是單位向量，則稱e1,e2,…,er

是V

的一個(gè)規(guī)范正交基．例：是

R4的一個(gè)規(guī)范正交基．求規(guī)范正交基的方法第一步：正交化【施密特（Schimidt）正交化過(guò)程】設(shè)a1,a2,…,ar

是向量空間V

中的一個(gè)基，那么令a1b1a2a3c2b2c3c31c32b3第二步：?jiǎn)挝换O(shè)b1,b2,…,br

是向量空間V

中的一個(gè)正交基，那么令從而e1,e2,…,er

是向量空間V

中的一個(gè)規(guī)范正交基．練習(xí)：設(shè)，試把這組向量規(guī)范正交化．答案：定義：如果

n階矩陣A滿足ATA=E，即A－1=AT，則稱矩陣A

為正交矩陣，簡(jiǎn)稱正交陣．方陣A

為正交陣的充分必要條件是A

的列向量都是單位向量，且兩兩正交．即

A

的列向量組構(gòu)成Rn

的規(guī)范正交基．方陣A

為正交陣的充分必要條件是A

的行向量都是單位向量，且兩兩正交．正交矩陣具有下列性質(zhì)：若A

是正交陣，則A?1

也是正交陣，且|A|=1或－1．若A

和B是正交陣，則

A

和B也是正交陣．定義：若P

是正交陣，則線性變換y=Px

稱為正交變換．經(jīng)過(guò)正交變換，線段的長(zhǎng)度保持不變（從而三角形的形狀保持不變），這就是正交變換的優(yōu)良特性．§5.2

方陣的特征值與特征向量一、基本概念定義：設(shè)A

是n階矩陣，如果數(shù)l

和n維非零向量

x

滿足Ax=l

x，那么這樣的數(shù)l

稱為矩陣A

的特征值，非零向量x

稱為A

對(duì)應(yīng)于特征值l

的特征向量．Ax=l

x=lE

x

非零向量x

滿足(A?lE)

x=0（零向量） 齊次線性方程組有非零解 系數(shù)行列式|A?lE|=0特征方程: |A?lE|=0特征多項(xiàng)式:f(l)=|A?lE|例：求矩陣的特征值和特征向量．解：所以A

的特征值為l1=?1，l2=l3=2．例：求矩陣的特征值和特征向量．解（續(xù)）：當(dāng)l1=?1時(shí)，因?yàn)榻夥匠探M(A+E)

x=0．解得基礎(chǔ)解系．k

p1（k

≠

0）就是對(duì)應(yīng)的特征向量．例：求矩陣的特征值和特征向量．解（續(xù)）：當(dāng)l2=l3=2時(shí)，因?yàn)榻夥匠探M(A?2E)

x=0．解得基礎(chǔ)解系．k2

p2+k3

p3（k2,k3

不同時(shí)為零）就是對(duì)應(yīng)的特征向量．二、基本性質(zhì)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)n階矩陣A有n個(gè)特征值（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）．設(shè)n階矩陣A的特征值為l1,l2,…,ln，則l1+l2+…+ln=a11+a22+…+ann

l1l2…ln=|A|若l是

A的一個(gè)特征值，則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系就是對(duì)應(yīng)于特征值為l

的全體特征向量的最大無(wú)關(guān)組．例：設(shè)l是方陣A

的特征值，證明(1)l2

是A2

的特征值；(2)當(dāng)A

可逆時(shí)，1/l

是A?1

的特征值．結(jié)論：若非零向量p

是A對(duì)應(yīng)于特征值l

的特征向量，則l2

是A2

的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量也是p

．lk

是Ak

的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量也是p

．當(dāng)A

可逆時(shí)，1/l

是A?1

的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量仍然是p

．二、基本性質(zhì)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)n階矩陣A有n個(gè)特征值（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）．設(shè)n階矩陣A的特征值為l1,l2,…,ln，則l1+l2+…+ln=a11+a22+…+ann

l1l2…ln=|A|若l是

A的一個(gè)特征值，則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系就是對(duì)應(yīng)于特征值為l

的全體特征向量的最大無(wú)關(guān)組．若l是

A的一個(gè)特征值，則

j

(l)=a0+a1l+…+aml

m是矩陣多項(xiàng)式j(luò)

(A)=a0+a1A+…+amA

m

的特征值．

定理：設(shè)l1,l2,…,lm

是方陣A

的特征值，p1,p2,…,pm依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量，如果l1,l2,…,lm

各不相同，則p1,p2,…,pm

線性無(wú)關(guān)．§5.3

相似矩陣定義：設(shè)A,B

都是n階矩陣，若有可逆矩陣P

滿足P

?1AP=B，則稱B為矩陣A

的相似矩陣，或稱矩陣A

和B相似．對(duì)A

進(jìn)行運(yùn)算P

?1AP稱為對(duì)A

進(jìn)行相似變換．稱可逆矩陣P

為把A

變成B的相似變換矩陣．定理：若n階矩陣A

和B相似，則A

和B的特征多項(xiàng)式相同,從而A

和B的特征值也相同．證明：根據(jù)題意，存在可逆矩陣P

，使得

P

?1AP=B．于是

|B?lE|=|P

?1AP?P

?1(lE)P|=|P

?1(A?lE)P|=|P

?1||A?lE||P|=|A?