基于功能函數(shù)的可靠性分析

基于功能函數(shù)的可靠性分析

在基于可靠性理論的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，目前國(guó)家相關(guān)部門(mén)的設(shè)計(jì)規(guī)范普遍采用結(jié)構(gòu)可靠性指數(shù)的概念，即可靠性指數(shù)。因此，對(duì)研究可靠性指數(shù)具有重要意義。在實(shí)際工程中為了便于計(jì)算β值,往往沒(méi)有考慮到功能函數(shù)的隨機(jī)變量的分布類(lèi)型,而不加區(qū)別地認(rèn)為其服從正態(tài)分布。然而有學(xué)者研究認(rèn)為可靠度指標(biāo)與隨機(jī)變量的分布類(lèi)型有直接關(guān)系,且當(dāng)其服從某些非正態(tài)分布時(shí),而將其非正態(tài)分布隨機(jī)變量簡(jiǎn)化成正態(tài)分布隨機(jī)變量所計(jì)算得到的可靠度指標(biāo)值誤差達(dá)20%～30%,對(duì)隨機(jī)變量分布類(lèi)型較為敏感。文獻(xiàn)認(rèn)為盡管變量的均值和變異系數(shù)相同,但概率分布不同,可靠度指標(biāo)和失效概率的計(jì)算結(jié)果不同?？煽慷戎笜?biāo)越大,這種差別就越大。為了進(jìn)一步研究討論隨機(jī)變量的分布類(lèi)型對(duì)可靠度指標(biāo)以及失效概率的具體影響,本文結(jié)合實(shí)例利用驗(yàn)算點(diǎn)法(JC法)通過(guò)逐步改變均值或方差計(jì)算出隨機(jī)變量在滿足不同分布類(lèi)型條件下功能函數(shù)的251組可靠度指標(biāo)值和失效概率值。1結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)結(jié)構(gòu)可靠度是結(jié)構(gòu)可靠性的概率度量,定義為在規(guī)定時(shí)間內(nèi)和規(guī)定條件下結(jié)構(gòu)完成預(yù)定功能的概率,也稱可靠概率,表示為Ps;相反地,稱結(jié)構(gòu)不能完成預(yù)定功能的概率為失效概率,表示為Pf.按定義,顯然有Ps+Pf=1.由于結(jié)構(gòu)的失效概率比可靠概率具有更明確的物理意義,再加上計(jì)算和表達(dá)上的方便,因而習(xí)慣上常用結(jié)構(gòu)的失效概率來(lái)度量結(jié)構(gòu)的可靠性。按照結(jié)構(gòu)可靠度的定義和概率論的基本原理,設(shè)X=(X1,X2,…,Xn)為結(jié)構(gòu)基本隨機(jī)向量,Xi(i=1,2,…,n)為第i個(gè)隨機(jī)變量,以Z=g(X)表示結(jié)構(gòu)的功能函數(shù),則有Ζ=g(X){＜0對(duì)應(yīng)于結(jié)構(gòu)失效狀態(tài)=0對(duì)應(yīng)于結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)＞0對(duì)應(yīng)于結(jié)構(gòu)可靠狀態(tài)稱Z=g(X)=0為結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程,事件“Z<0”的概率為結(jié)構(gòu)的失效概率Pf·Pf值原則上可通過(guò)求積分的方法得到,計(jì)算公式為Ρf=Ρ{Ζ＜0}=∫Ff(x)dx=∫∫∫(x1,x2,?xn)∈Ff(x1,x2,?,xn)dx1dx2?dxn(1)其中,F={x|g(X)<0}表示結(jié)構(gòu)的失效域。由于上述積分在實(shí)際計(jì)算中相當(dāng)復(fù)雜,對(duì)于大多數(shù)實(shí)際問(wèn)題不存在解析解,因此必須求助于數(shù)值方法?；谶@一原因,我們引入結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)β這一概念。定義β為功能函數(shù)的均值與標(biāo)準(zhǔn)差之比,即β=μz/σz,且有Ρf=∫-μzσz-∞1√2πe-t22dt=Φ(-β)=1-Φβ(2)2xnx面的設(shè)定驗(yàn)算點(diǎn)法,又稱JC法,是由國(guó)際安全度聯(lián)合委員會(huì)(JCSS)推薦采用一種計(jì)算可靠度指標(biāo)的方法,其基本原理介紹如下:設(shè)結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程為Z=g(X1,X2,…,Xn)=0(3)式中:X1,X2,…Xn服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立。對(duì)隨機(jī)變量Xi(i=1,2,…,n)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換,得到標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)隨機(jī)變量—Xi(i=1,2,?,n).—Xi=Xi-μXiσXi(i=1,2,?,n)(4)則極限狀態(tài)方程(3)在坐標(biāo)系—Ο—X1—X2?—Xn中表達(dá)為Ζ=g(—XiσX1+μX1,—X2σX2+μX2,?,—XnσXn+μXn)=0(5)此時(shí)的可靠指標(biāo)β是標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)空間坐標(biāo)系—Ο—X1—X2?—Xn中原點(diǎn)—Ο到極限狀態(tài)曲面的最短距離,也就是P*點(diǎn)沿其極限狀態(tài)曲面的切平面的法線方向至原點(diǎn)Ο—的長(zhǎng)度,其中P*即為“設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)”。將式(5)在設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)P*處按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)并取一次項(xiàng),化簡(jiǎn)得Ζ=∑i=1n?g?Xi|Ρ*(μXi-Xi*)+∑i=1n?g?Xi|Ρ*gσXiXi—=0上式兩端同除以-∑i=1n(?g?Xi|Ρ*gσXi)2得∑i=1n(-?g?Xi|Ρ*gσXi)∑i=1n(?g?Xi|Ρ*gσXi)2Xi—-∑i=1n?g?Xi|Ρ*(μXi-Xi*)∑i=1n(?g?Xi|Ρ*gσXi)2=0(6)于是有cosθXi—=cosθXi=-?g?Xi|Ρ*gσXi∑i=1n(?g?Xi|Ρ*gσXi)2(i=1,2,?,n)(7)式中:?g?Xi|Ρ*表示功能函數(shù)g(X1,X2,…,Xn)對(duì)Xi的偏導(dǎo)數(shù)在P*處賦值,有∑i=1ncos2θXi=1.由方向余弦的定義可知:Xi*—=βcosθXi—=βcosθXi(i=1,2,?,n)(8)將上述關(guān)系變換到原坐標(biāo)系OX1X2LXn中,可得P*在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為Xi*=μXi+Xi*—σXi=μXi+βσXicosθXii=1,2,?,n(9)由于P*在極限狀態(tài)曲面上,當(dāng)然應(yīng)滿足極限狀態(tài)方程式(3),即Z=g(X*1,X*2,…,X*n)=0(10)由式(7)、(9)、(10)聯(lián)立求解β及X*i.當(dāng)然一般情況下,在結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程中往往含有非正態(tài)隨機(jī)變量,如結(jié)構(gòu)的抗力一般服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布,活荷載一般服從極值I型分布或其它分布等。對(duì)于這種情況下的可靠度分析,一般要把非正態(tài)變量當(dāng)量化為正態(tài)分布隨機(jī)變量;同時(shí)對(duì)于具有相關(guān)性的隨機(jī)變量,首先要通過(guò)正交變換法轉(zhuǎn)換成相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,然后再利用式(7)～(10)迭代求解β及X*i.3實(shí)例分析3.1型0.6例1:已知非線性極限狀態(tài)Z=g(X1,X2,X3)=567X1X2-0.5X32=0,X1,X2,X3相互獨(dú)立且μX1=0.6,σX1=0.0786;μX2=2.18,σX2=0.0654;μX3=32.8,σX3=0.984.求可靠度指標(biāo)β.例2:已知非線性極限狀態(tài)方程Z=g(X1,X2,X3)=X1X2-X3=0,X1,X2,X3相互獨(dú)立且μX1=0.5427,σX1=0.0274,μX2=3.8,σX2=0.304,μX3=1.3,σX3=0.091.求可靠度指標(biāo)β.3.2考慮把握各分布類(lèi)型的可靠度指標(biāo)和失效概率值上述兩個(gè)例題中涉及到的均是含有3個(gè)隨機(jī)變量的功能函數(shù),由于本文主要目的是研究隨機(jī)變量的分布類(lèi)型對(duì)可靠度指標(biāo)和失效概率的具體影響,且為計(jì)算方便,故將假設(shè)3個(gè)隨機(jī)變量的分布類(lèi)型為以下四種情況:1)全部為正態(tài)分布;2)全部為對(duì)數(shù)正態(tài)分布;3)X1,X2為正態(tài)分布,X3為對(duì)數(shù)正態(tài)分布;4)X1為正態(tài)分布,X2,X3為對(duì)數(shù)正態(tài)分布;同時(shí)為了使計(jì)算結(jié)果更加具有說(shuō)服力,通過(guò)逐步改變某個(gè)變量的均值或者標(biāo)準(zhǔn)差使上述每一種情況都計(jì)算得到251組可靠度指標(biāo)和失效概率值。具體做法如下:1)對(duì)于例1,改變隨機(jī)變量X1的標(biāo)準(zhǔn)差σX1的值,其它五個(gè)參數(shù)值保持不變。使其在原始值σX1=0.0786的基礎(chǔ)上每次增加0.001,共增加125次,得到125個(gè)新的σX1;同時(shí)又在原始σX1值基礎(chǔ)上每次減少0.0005,共減少125次,也得到125個(gè)新的σX1,于是我們得到251個(gè)從大到小排列σX1的值(包括原始值),即產(chǎn)生了251組新的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。利用驗(yàn)算點(diǎn)法(JC法)和公式(1.2)算出功能函數(shù)的每一組新的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別在以上四種分布類(lèi)型情況下得到的可靠度指標(biāo)值β和失效概率值Pf.2)對(duì)于例2,改變隨機(jī)變量X2的標(biāo)準(zhǔn)差σX2的值,其它五個(gè)參數(shù)值保持不變。使其在原始值σX2的基礎(chǔ)上每次增加0.03,共增加125次,得到125個(gè)新的σX2;同時(shí)又在原始σX2值基礎(chǔ)上每次減少0.0015,共減少125次,也得到125個(gè)新的σX2,于是我們得到251個(gè)從大到小排列σX2的值(包括原始值),即產(chǎn)生了251組新的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。利用驗(yàn)算點(diǎn)法(JC法)和公式(1.2)算出功能函數(shù)的每一組新的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別在以上四種分布類(lèi)型情況下得到的可靠度指標(biāo)值β和失效概率值Pf.3.3log10pf10-3根據(jù)計(jì)算結(jié)果,我們?cè)诙S坐標(biāo)軸上畫(huà)出相應(yīng)的曲線圖。圖1為可靠度指標(biāo)β與均值標(biāo)準(zhǔn)差等參數(shù)的關(guān)系曲線圖,為了書(shū)寫(xiě)方便,其中縱坐標(biāo)為β,橫坐標(biāo)則用每組參數(shù)值的序號(hào)表示;圖2為失效概率與均值標(biāo)準(zhǔn)差等參數(shù)的關(guān)系曲線圖,同樣為了曲線圖便于觀察,其中縱坐標(biāo)為對(duì)Pf取以10為底的對(duì)數(shù),即log10Pf,橫坐標(biāo)則用每組參數(shù)值的序號(hào)表示。其中曲線1代表正態(tài)分布,曲線2代表對(duì)數(shù)正態(tài)分布,曲線3代表混合分布。通過(guò)圖1我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)β>1時(shí),曲線2總在曲線1之上;同時(shí)通過(guò)觀察計(jì)算結(jié)果所得數(shù)據(jù)我們也發(fā)現(xiàn)當(dāng)β>1時(shí),相比正態(tài)分布,對(duì)數(shù)正態(tài)分布所得β值要大。通過(guò)圖2我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)log10Pf≥-3,即Pf≥10-3(或β≤3.09)時(shí),三條曲線幾乎重合;當(dāng)log10Pf≤-5,即Pf≤10-5(或β≥4.26)時(shí),曲線1和曲線2明顯分開(kāi)。4對(duì)于同一功能函數(shù),當(dāng)可靠度指標(biāo)β大于1時(shí),隨機(jī)變量服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布比服從正態(tài)分布所得可靠度指標(biāo)要大。當(dāng)Pf≥10-3