基于功能函數(shù)的可靠性分析

基于功能函數(shù)的可靠性分析

在基于可靠性理論的結構設計中，目前國家相關部門的設計規(guī)范普遍采用結構可靠性指數(shù)的概念，即可靠性指數(shù)。因此，對研究可靠性指數(shù)具有重要意義。在實際工程中為了便于計算β值,往往沒有考慮到功能函數(shù)的隨機變量的分布類型,而不加區(qū)別地認為其服從正態(tài)分布。然而有學者研究認為可靠度指標與隨機變量的分布類型有直接關系,且當其服從某些非正態(tài)分布時,而將其非正態(tài)分布隨機變量簡化成正態(tài)分布隨機變量所計算得到的可靠度指標值誤差達20%～30%,對隨機變量分布類型較為敏感。文獻認為盡管變量的均值和變異系數(shù)相同,但概率分布不同,可靠度指標和失效概率的計算結果不同?？煽慷戎笜嗽酱?這種差別就越大。為了進一步研究討論隨機變量的分布類型對可靠度指標以及失效概率的具體影響,本文結合實例利用驗算點法(JC法)通過逐步改變均值或方差計算出隨機變量在滿足不同分布類型條件下功能函數(shù)的251組可靠度指標值和失效概率值。1結構可靠度指標結構可靠度是結構可靠性的概率度量,定義為在規(guī)定時間內(nèi)和規(guī)定條件下結構完成預定功能的概率,也稱可靠概率,表示為Ps;相反地,稱結構不能完成預定功能的概率為失效概率,表示為Pf.按定義,顯然有Ps+Pf=1.由于結構的失效概率比可靠概率具有更明確的物理意義,再加上計算和表達上的方便,因而習慣上常用結構的失效概率來度量結構的可靠性。按照結構可靠度的定義和概率論的基本原理,設X=(X1,X2,…,Xn)為結構基本隨機向量,Xi(i=1,2,…,n)為第i個隨機變量,以Z=g(X)表示結構的功能函數(shù),則有Ζ=g(X){＜0對應于結構失效狀態(tài)=0對應于結構極限狀態(tài)＞0對應于結構可靠狀態(tài)稱Z=g(X)=0為結構的極限狀態(tài)方程,事件“Z<0”的概率為結構的失效概率Pf·Pf值原則上可通過求積分的方法得到,計算公式為Ρf=Ρ{Ζ＜0}=∫Ff(x)dx=∫∫∫(x1,x2,?xn)∈Ff(x1,x2,?,xn)dx1dx2?dxn(1)其中,F={x|g(X)<0}表示結構的失效域。由于上述積分在實際計算中相當復雜,對于大多數(shù)實際問題不存在解析解,因此必須求助于數(shù)值方法。基于這一原因,我們引入結構可靠度指標β這一概念。定義β為功能函數(shù)的均值與標準差之比,即β=μz/σz,且有Ρf=∫-μzσz-∞1√2πe-t22dt=Φ(-β)=1-Φβ(2)2xnx面的設定驗算點法,又稱JC法,是由國際安全度聯(lián)合委員會(JCSS)推薦采用一種計算可靠度指標的方法,其基本原理介紹如下:設結構的極限狀態(tài)方程為Z=g(X1,X2,…,Xn)=0(3)式中:X1,X2,…Xn服從正態(tài)分布且相互獨立。對隨機變量Xi(i=1,2,…,n)進行標準化變換,得到標準化正態(tài)隨機變量—Xi(i=1,2,?,n).—Xi=Xi-μXiσXi(i=1,2,?,n)(4)則極限狀態(tài)方程(3)在坐標系—Ο—X1—X2?—Xn中表達為Ζ=g(—XiσX1+μX1,—X2σX2+μX2,?,—XnσXn+μXn)=0(5)此時的可靠指標β是標準化正態(tài)空間坐標系—Ο—X1—X2?—Xn中原點—Ο到極限狀態(tài)曲面的最短距離,也就是P*點沿其極限狀態(tài)曲面的切平面的法線方向至原點Ο—的長度,其中P*即為“設計驗算點”。將式(5)在設計驗算點P*處按泰勒級數(shù)展開并取一次項,化簡得Ζ=∑i=1n?g?Xi|Ρ*(μXi-Xi*)+∑i=1n?g?Xi|Ρ*gσXiXi—=0上式兩端同除以-∑i=1n(?g?Xi|Ρ*gσXi)2得∑i=1n(-?g?Xi|Ρ*gσXi)∑i=1n(?g?Xi|Ρ*gσXi)2Xi—-∑i=1n?g?Xi|Ρ*(μXi-Xi*)∑i=1n(?g?Xi|Ρ*gσXi)2=0(6)于是有cosθXi—=cosθXi=-?g?Xi|Ρ*gσXi∑i=1n(?g?Xi|Ρ*gσXi)2(i=1,2,?,n)(7)式中:?g?Xi|Ρ*表示功能函數(shù)g(X1,X2,…,Xn)對Xi的偏導數(shù)在P*處賦值,有∑i=1ncos2θXi=1.由方向余弦的定義可知:Xi*—=βcosθXi—=βcosθXi(i=1,2,?,n)(8)將上述關系變換到原坐標系OX1X2LXn中,可得P*在原坐標系中的坐標為Xi*=μXi+Xi*—σXi=μXi+βσXicosθXii=1,2,?,n(9)由于P*在極限狀態(tài)曲面上,當然應滿足極限狀態(tài)方程式(3),即Z=g(X*1,X*2,…,X*n)=0(10)由式(7)、(9)、(10)聯(lián)立求解β及X*i.當然一般情況下,在結構的極限狀態(tài)方程中往往含有非正態(tài)隨機變量,如結構的抗力一般服從對數(shù)正態(tài)分布,活荷載一般服從極值I型分布或其它分布等。對于這種情況下的可靠度分析,一般要把非正態(tài)變量當量化為正態(tài)分布隨機變量;同時對于具有相關性的隨機變量,首先要通過正交變換法轉(zhuǎn)換成相互獨立的隨機變量,然后再利用式(7)～(10)迭代求解β及X*i.3實例分析3.1型0.6例1:已知非線性極限狀態(tài)Z=g(X1,X2,X3)=567X1X2-0.5X32=0,X1,X2,X3相互獨立且μX1=0.6,σX1=0.0786;μX2=2.18,σX2=0.0654;μX3=32.8,σX3=0.984.求可靠度指標β.例2:已知非線性極限狀態(tài)方程Z=g(X1,X2,X3)=X1X2-X3=0,X1,X2,X3相互獨立且μX1=0.5427,σX1=0.0274,μX2=3.8,σX2=0.304,μX3=1.3,σX3=0.091.求可靠度指標β.3.2考慮把握各分布類型的可靠度指標和失效概率值上述兩個例題中涉及到的均是含有3個隨機變量的功能函數(shù),由于本文主要目的是研究隨機變量的分布類型對可靠度指標和失效概率的具體影響,且為計算方便,故將假設3個隨機變量的分布類型為以下四種情況:1)全部為正態(tài)分布;2)全部為對數(shù)正態(tài)分布;3)X1,X2為正態(tài)分布,X3為對數(shù)正態(tài)分布;4)X1為正態(tài)分布,X2,X3為對數(shù)正態(tài)分布;同時為了使計算結果更加具有說服力,通過逐步改變某個變量的均值或者標準差使上述每一種情況都計算得到251組可靠度指標和失效概率值。具體做法如下:1)對于例1,改變隨機變量X1的標準差σX1的值,其它五個參數(shù)值保持不變。使其在原始值σX1=0.0786的基礎上每次增加0.001,共增加125次,得到125個新的σX1;同時又在原始σX1值基礎上每次減少0.0005,共減少125次,也得到125個新的σX1,于是我們得到251個從大到小排列σX1的值(包括原始值),即產(chǎn)生了251組新的均值和標準差。利用驗算點法(JC法)和公式(1.2)算出功能函數(shù)的每一組新的均值和標準差分別在以上四種分布類型情況下得到的可靠度指標值β和失效概率值Pf.2)對于例2,改變隨機變量X2的標準差σX2的值,其它五個參數(shù)值保持不變。使其在原始值σX2的基礎上每次增加0.03,共增加125次,得到125個新的σX2;同時又在原始σX2值基礎上每次減少0.0015,共減少125次,也得到125個新的σX2,于是我們得到251個從大到小排列σX2的值(包括原始值),即產(chǎn)生了251組新的均值和標準差。利用驗算點法(JC法)和公式(1.2)算出功能函數(shù)的每一組新的均值和標準差分別在以上四種分布類型情況下得到的可靠度指標值β和失效概率值Pf.3.3log10pf10-3根據(jù)計算結果,我們在二維坐標軸上畫出相應的曲線圖。圖1為可靠度指標β與均值標準差等參數(shù)的關系曲線圖,為了書寫方便,其中縱坐標為β,橫坐標則用每組參數(shù)值的序號表示;圖2為失效概率與均值標準差等參數(shù)的關系曲線圖,同樣為了曲線圖便于觀察,其中縱坐標為對Pf取以10為底的對數(shù),即log10Pf,橫坐標則用每組參數(shù)值的序號表示。其中曲線1代表正態(tài)分布,曲線2代表對數(shù)正態(tài)分布,曲線3代表混合分布。通過圖1我們發(fā)現(xiàn),當β>1時,曲線2總在曲線1之上;同時通過觀察計算結果所得數(shù)據(jù)我們也發(fā)現(xiàn)當β>1時,相比正態(tài)分布,對數(shù)正態(tài)分布所得β值要大。通過圖2我們發(fā)現(xiàn),當log10Pf≥-3,即Pf≥10-3(或β≤3.09)時,三條曲線幾乎重合;當log10Pf≤-5,即Pf≤10-5(或β≥4.26)時,曲線1和曲線2明顯分開。4對于同一功能函數(shù),當可靠度指標β大于1時,隨機變量服從對數(shù)正態(tài)分布比服從正態(tài)分布所得可靠度指標要大。當Pf≥10-3