矩陣特征值的最值與奇異性的衡量

矩陣特征值的最值與奇異性的衡量

1不對(duì)稱性與實(shí)際可異性分析在靜態(tài)電壓穩(wěn)定分析中，我們將涉及動(dòng)態(tài)電壓矩陣的對(duì)稱問題，并相信動(dòng)態(tài)矩陣是對(duì)應(yīng)于它的矩陣。在文獻(xiàn)中，動(dòng)態(tài)勢(shì)矩陣的界面越好，其提出的算法精度越高，但上述算法的精度越高。同時(shí)在靜態(tài)電壓穩(wěn)定性分析中，幾乎都涉及到潮流雅可比矩陣的奇異性問題，但并沒有對(duì)潮流雅可比矩陣及其降階矩陣的奇異程度作一定量的比較，也沒有對(duì)潮流雅可比矩陣的不對(duì)稱性和奇異性之間的關(guān)系進(jìn)行分析。為此，本文將從數(shù)學(xué)角度出發(fā)根據(jù)實(shí)對(duì)稱陣的特征構(gòu)造不對(duì)稱性指標(biāo)，并針對(duì)不對(duì)稱矩陣構(gòu)造出適用于矩陣接近奇異時(shí)新的奇異性指標(biāo)，對(duì)潮流雅可比矩陣不對(duì)稱性和奇異性之間的聯(lián)系進(jìn)行了分析，證明了潮流雅可比矩陣最大奇異值的有界性。最后，應(yīng)用上述指標(biāo)對(duì)IEEE30系統(tǒng)進(jìn)行了分析，并得出了潮流雅可比矩陣及其相應(yīng)的降階矩陣的譜條件數(shù)排序取決于相應(yīng)的矩陣最小奇異值排序的結(jié)論。2矩陣中的不對(duì)稱指數(shù)2.1基于pfi的異質(zhì)矩陣式中是雅可比子矩陣，分別表示有功P和無功Q對(duì)電壓角度θ和電壓幅值V的偏導(dǎo)數(shù)。令?P=0和?Q=0，得到相應(yīng)的降階矩陣為證明1若潮流雅可比矩陣J為對(duì)稱陣，且其奇異值分解形式為對(duì)任一奇異值，有式中非零向量ui和vi分別稱為矩陣J的對(duì)應(yīng)于奇異值σi的左、右奇異向量。式(4)、(5)可用矩陣表示為由J=JT，得U=V，即對(duì)應(yīng)于奇異值σi的左、右奇異向量完全相同，由式(6)得J=UΣU-1，形式上與特征值分析完全相同。另一方面，因?yàn)榫仃嘦為正交矩陣，所以J=UΣUT，并且UTU=I，上述結(jié)論對(duì)正交矩陣V同樣成立。由稱pfi為奇異參與因子，則對(duì)所有的變量j(j=1,2,(43),m)和所有的模態(tài)i(i=1,2,(43),n)，都證明2若潮流雅可比矩陣J為對(duì)稱陣，則降階矩陣Jr(θ)和Jr(V)也是對(duì)稱陣。當(dāng)J=JT時(shí)，有同理可證Jr(V)=JrΤ(V)。證明3若潮流雅可比矩陣J可分解為J=JS+JAS，其中JS表示其對(duì)稱部分，JAS表示其反對(duì)稱部分，則有由2.2稱陣還是稱陣若矩陣J具有對(duì)稱性，即J=JT，則J具有以下特點(diǎn)：對(duì)正規(guī)矩陣，均有σi(J)=λi(J)成立，對(duì)稱陣和反對(duì)稱陣都是正規(guī)矩陣，但潮流雅可比矩陣J不是反對(duì)稱陣，因?yàn)槿鬔=-JT，必有對(duì)角元素Jii=0，而事實(shí)上Jii≠0，所以J≠-JΤ。(3),適用于非奇異正規(guī)陣。其中,稱為矩陣的譜條件數(shù)。(4)，對(duì)稱陣和反對(duì)稱陣都成立。(5)，可用矩陣的1—范數(shù)、2—范數(shù)或∞—范數(shù)表示。2.3增加充要條件對(duì)應(yīng)地，若矩陣J具有不對(duì)稱性，即J≠JΤ，則其成立的充要條件如下：事實(shí)上，根據(jù)矩陣J與JS的關(guān)系可生成新的充要條件，如，或。另外，只是矩陣J不對(duì)稱的充分條件，即是矩陣J對(duì)稱的必要條件。3新的非對(duì)稱矩陣性能3.1潮流雅分析的h子矩陣矩陣條件數(shù)趨于無窮大的原因是矩陣的最大奇異值趨于無窮大和（或）最小奇異值趨于零。對(duì)潮流雅可比矩陣而言，條件數(shù)趨于無窮大只是由最小奇異值趨于零引起的，下面給出證明。證明4潮流雅可比矩陣最大奇異值的有界性。證明過程如下：無功潮流方程為式中：Vi和Vj表示節(jié)點(diǎn)i和j的電壓幅值，δij表示節(jié)點(diǎn)i和j的電壓相位差，Gij和Bij表示節(jié)點(diǎn)i和j間的互電導(dǎo)和互電納，Gij和Bij表示節(jié)點(diǎn)i的自電導(dǎo)和自電納，n為系統(tǒng)中PQ節(jié)點(diǎn)數(shù)。由式(10)則有設(shè)潮流雅可比矩陣uf8fb，現(xiàn)僅以潮流雅可比矩陣J的H子矩陣表示有界性證明的過程。由式(10)、和得以上表明H子矩陣的每一項(xiàng)都是有界的,同理可證其他3個(gè)子矩陣的每一項(xiàng)也是有界的,即潮流雅可比矩陣J的每一項(xiàng)都是有界的,又由于潮流雅可比矩陣J是有限維的,故其每一列元素的絕對(duì)值之和是有界的。因此是有界的。設(shè),由于有限維矩陣的任何范數(shù)都是等價(jià)的,因此設(shè),其中αβ>≥0。由于,所以,從而使惟一確定。又由于，所以，因此也是一致的。3.2矩陣的獨(dú)特性若矩陣J具有奇異性，則矩陣J具有以下特點(diǎn)：(1)minσ=0或minλ=0。3.3新的矩陣性能指標(biāo)2、3和12的構(gòu)成依據(jù)為：由式(9)得以保證指標(biāo)始終不小于零。指標(biāo)3和12的缺點(diǎn)為：在臨界狀態(tài)下，。4其他單次約束結(jié)構(gòu)的曲線特性應(yīng)用IEEE30系統(tǒng)算例，假設(shè)全系統(tǒng)負(fù)荷以同一負(fù)荷因子k增加，kmax=1.86。表1給出了發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)PV-PQ轉(zhuǎn)換時(shí)負(fù)荷因子k的值。由表1可以看出：當(dāng)k=1.62時(shí)，系統(tǒng)中所有PV節(jié)點(diǎn)都已轉(zhuǎn)化為PQ節(jié)點(diǎn)。從圖1可以看出：矩陣J的不對(duì)稱性明顯強(qiáng)于矩陣Jr(V)和Jr(θ)，且指標(biāo)11的突變與PV-PQ的轉(zhuǎn)換密切相關(guān)。圖2是對(duì)圖1的局部放大，從圖2可以看出：矩陣Jr(θ)的不對(duì)稱性稍強(qiáng)于矩陣Jr(V)。圖1和圖2的最大不同在于：對(duì)指標(biāo)11而言，矩陣J的變化趨勢(shì)與矩陣Jr(V)和Jr(θ)正好相反，且對(duì)矩陣J而言，指標(biāo)11趨于1，這是因?yàn)榫仃嘕趨于奇異，同時(shí)趨于零的緣故。從圖3可以看出：對(duì)3個(gè)矩陣而言，minσ=f(k)是嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)，且在PV-PQ轉(zhuǎn)換時(shí)都不同程度地出現(xiàn)陡降現(xiàn)象，即使維數(shù)恒定的矩陣Jr(θ)也不例外,只是其降幅較小。以矩陣J為例，負(fù)荷因子k的增大使minσ(J)緩降，而PV-PQ轉(zhuǎn)換使minσ(J)陡降，這2方面原因使minσ(J)=f(k)成為嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)。另外，這3個(gè)矩陣是同時(shí)奇異的。從圖4可以看出：除矩陣Jr(V)的minσ在初始階段由于PV-PQ的轉(zhuǎn)換出現(xiàn)陡升現(xiàn)象外，其他矩陣、其余階段均不明顯，顯然符合矩陣增維后minσ不減的性質(zhì)，同時(shí)這也與minσ(J)形成鮮明對(duì)比，并且minσ=f(k)是(分段)嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)。以矩陣J為例，從圖5中可以看出：是分段單調(diào)減函數(shù)，曲線的陡升現(xiàn)象是PV-PQ轉(zhuǎn)換的結(jié)果。當(dāng)k>1.62后，二者的差值越來越小，直至等于零。但這不能說明矩陣的對(duì)稱性增強(qiáng)，因?yàn)榫仃噷?duì)稱是指對(duì)所有的i都有成立，并不單純指最小值，只是矩陣對(duì)稱的必要條件，但是可用表示矩陣的奇異性。同時(shí)也可以看到：矩陣J的數(shù)值大于矩陣Jr(V)和Jr(θ)的數(shù)值，但由于其數(shù)量級(jí)非常小，無法與圖6中的數(shù)值相比，因此對(duì)這3個(gè)矩陣而言，可認(rèn)為。設(shè)矩陣的奇異值排序?yàn)閙axσ=σ1≥σ2≥(43)≥σn=minσ，特征值排序?yàn)?，因，此若（?、ε2均為非常小的正數(shù)），則可認(rèn)為矩陣是對(duì)稱的，從圖5、6中可以看到，矩陣Jr(V)和Jr(θ)就是這種情況，對(duì)矩陣J而言，可認(rèn)為是始終成立的，而是否成立應(yīng)看作是矩陣不對(duì)稱性強(qiáng)弱的標(biāo)志，因此從這個(gè)角度講，k=1.35時(shí)，矩陣J的對(duì)稱性是最強(qiáng)的，指標(biāo)2、3可以衡量矩陣的不對(duì)稱性。由于相比是可以忽略的，因此可以認(rèn)為矩陣不對(duì)稱性的變化趨勢(shì)是由決定的。由圖6可以看出：矩陣J的數(shù)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于矩陣Jr(V)和Jr(θ)的數(shù)值，例如，當(dāng)k>1.35后，這3條曲線都是單調(diào)上升的，且矩陣Jr(θ)的數(shù)值略大于矩陣Jr(V)的數(shù)值，因此可認(rèn)為矩陣J、Jr(θ)和Jr(V)的不對(duì)稱性依次增強(qiáng)。由上知可用表示矩陣的不對(duì)稱程度，用表示矩陣的奇異程度。從圖7可以看出：k=1.05時(shí)，3個(gè)指標(biāo)同時(shí)突變。從圖4可以看出：是嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)，從圖6可以看出：當(dāng)k>1.35時(shí)，是單調(diào)增函數(shù)，因此maxuf8e6λ(J)uf8e6=f(k)也是單調(diào)減函數(shù)，由此可推出指標(biāo)2是單調(diào)增函數(shù)，正如圖7中所示，當(dāng)k<1.35時(shí)也可做類似分析。因此與指標(biāo)2的曲線特性完全一致，這可通過對(duì)比圖6和圖7中相關(guān)曲線進(jìn)行驗(yàn)證。從圖7可以看出：指標(biāo)2和3的變化趨勢(shì)始終一致，并且k=1.35時(shí)，指標(biāo)2和3同時(shí)到達(dá)最小值。指標(biāo)3的等價(jià)形式為。從圖5、6可以看到：由于相比要差2個(gè)數(shù)量級(jí)，因此可以認(rèn)為，由此指標(biāo)3近似等于。若是單調(diào)增函數(shù)，則是單調(diào)減函數(shù)，所以是單調(diào)增函數(shù)，同理，是單調(diào)增函數(shù)，所以也是單調(diào)增函數(shù)，若是單調(diào)減函數(shù)，也可得出相同的結(jié)論。因此指標(biāo)2和3的變化趨勢(shì)一致是自然的，如圖7所示。指標(biāo)2與指標(biāo)3相比，可以看出指標(biāo)2的曲線比較光滑，而指標(biāo)3的曲線不可導(dǎo)點(diǎn)比較多，但指標(biāo)3能反映PV-PQ轉(zhuǎn)換，兩指標(biāo)都能反映矩陣不對(duì)稱性的變化趨勢(shì)。從圖7可看出：而指標(biāo)3和12的突變點(diǎn)相同且與PV-PQ轉(zhuǎn)換點(diǎn)一致，在階段，指標(biāo)12可作為衡量矩陣不對(duì)稱性的指標(biāo)。在k∈(1.62,1.86]階段，指標(biāo)12是負(fù)荷因子k的單調(diào)減函數(shù)，且都已非常小，因此仍作為矩陣不對(duì)稱性指標(biāo)已不合適，這一點(diǎn)與指標(biāo)11相同，但可作為衡量矩陣奇異性的指標(biāo)。下面對(duì)指標(biāo)2、3和12間的關(guān)系作一簡(jiǎn)單說明。從圖5、圖6中也可以看到：當(dāng)kmax=1.86時(shí)，取得最小值，而取得最大值。(1）指標(biāo)2與指標(biāo)3之差為在k=1.35及其附近，\時(shí)2指標(biāo)之差為，當(dāng)k=1.86時(shí)，，此時(shí)2指標(biāo)之差為，即2指標(biāo)之差出現(xiàn)了由負(fù)到正的轉(zhuǎn)折。(2）指標(biāo)2與指標(biāo)12之差為在k=1.35及其附近，，并且可認(rèn)為，因此2指標(biāo)之差小于零，而在k=.186及其附近時(shí)，，并且可認(rèn)為，因此2指標(biāo)之差大于零，即2指標(biāo)之差也出現(xiàn)了由負(fù)到正的轉(zhuǎn)折，只是轉(zhuǎn)折點(diǎn)對(duì)應(yīng)的k值不同。(3）指標(biāo)3與指標(biāo)12之差為即指標(biāo)3與12之差始終不小于零。以上所述均可從圖7中得到驗(yàn)證。對(duì)比圖7中指標(biāo)12與圖5中關(guān)于矩陣J的曲線，可以看到2條曲線的突變點(diǎn)完全相同且與PV-PQ轉(zhuǎn)換點(diǎn)重合，并且變化趨勢(shì)一致。且圖7中指標(biāo)2與圖6中關(guān)于矩陣J的曲線也存在類似情況。當(dāng)k≥1.47后，從圖8可以看出不對(duì)稱性排序按矩陣J、Jr(θ)和Jr(V)依次增強(qiáng)。若，則矩陣J必不對(duì)稱，且越大，則矩陣J可能越不對(duì)稱。但，則矩陣J也不一定對(duì)稱。雖然都只與矩陣的某一特殊行或列有關(guān)，不能反映矩陣的整體特征，但此指標(biāo)同時(shí)涉及到矩陣的2個(gè)范數(shù)，因此對(duì)潮流雅可比矩陣而言有一定的適用性。從圖9可以看出：指標(biāo)5～7均小于指標(biāo)8～10，這是由決定的。指標(biāo)6顯著小于指標(biāo)5和7，指標(biāo)9顯著大于指標(biāo)8和10，這是因?yàn)榫仃嘕S和JAS都屬于正規(guī)矩陣，而對(duì)于正規(guī)矩陣而言，有成立,并且矩陣J是準(zhǔn)對(duì)稱的。同時(shí)可以看出：除指標(biāo)6外，其他指標(biāo)明顯偏大。不論指標(biāo)5和7還是指標(biāo)8和10，當(dāng)k>1.62后，這2對(duì)指標(biāo)的差距加大，因此盡管其變化趨勢(shì)都是下降的，但矩陣J的不對(duì)稱性是增強(qiáng)的。從圖10也可以得出矩陣Jr(θ)的不對(duì)稱性稍強(qiáng)于矩陣Jr(V)的結(jié)論，但從其數(shù)量級(jí)上可以認(rèn)為矩陣Jr(θ)和Jr(V)都是對(duì)稱的。從圖9、10可以看出：矩陣J的不對(duì)稱性明顯強(qiáng)于矩陣Jr(θ)和Jr(V)。從圖11可以看出：對(duì)3個(gè)矩陣而言，k2=F(k)是嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，且在PV-PQ轉(zhuǎn)換時(shí)都有不同程度的陡升現(xiàn)象，這與minσ=f(k2)曲線極為一致。從圖11還可以看出：雖然3個(gè)矩陣的條件數(shù)不同，但變化趨勢(shì)相同，且都反映同一客觀現(xiàn)象。對(duì)于任一k值，排序與minσ的排序始終相反，而與maxσ的排序無關(guān)，這說明k2主要由minσ決定。當(dāng)k>1.62后，在這3個(gè)矩陣中，矩陣J的不對(duì)稱最強(qiáng)，奇異性也最強(qiáng)。對(duì)實(shí)矩陣而言，維數(shù)增加使maxσ不減少，minσ不增加，因此k2不減少。對(duì)潮流雅可比矩陣J而言，每一次PV-PQ轉(zhuǎn)換都使maxσ(J)不減少，minσ(J)陡降，因此k2(J)陡升。當(dāng)矩陣奇異時(shí)，即負(fù)荷因子k=kmax時(shí)，k2=+∞，這說明d(minσ)/dk<d(maxσ)/dk，即maxσ的平均減少速率明顯小于minσ的平均減少速率。5不對(duì)稱性的度量就潮流雅可比矩陣J而言，其不對(duì)稱性由導(dǎo)納陣中電導(dǎo)Gij是否為零惟一確定，其奇異性由負(fù)荷因子k惟一確定。若J=JT，不對(duì)稱性與奇異性無關(guān)。若J≠JT，則二者間有一定的關(guān)聯(lián)，接近臨界點(diǎn)處，不對(duì)稱性與奇異性都在增強(qiáng)。maxσ-maxuf8e6λuf8e6表示不對(duì)稱程度，而minuf8e6λuf8e6-minσ表示奇異程度，同理，對(duì)應(yīng)于最大奇異值的參與因子之和的大小也是表示對(duì)稱程度的一個(gè)量度，而對(duì)應(yīng)于最小奇異值的參與因子之和的大小則是表示奇異程度的一個(gè)量度。以上說明，雖然潮流雅可比矩陣J是網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浜瓦\(yùn)行參數(shù)的函數(shù)，但網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋵?duì)其對(duì)稱性的影響是決定性的，由此導(dǎo)出的參與因子也是如此。譜條件數(shù)k2和指標(biāo)3雖然都與maxσ和minσ有關(guān)，但由于k2主要由minσ決定，因此k2應(yīng)是衡量矩陣奇異性的指標(biāo)，而指標(biāo)3主要由maxσ和決定，因此指標(biāo)3應(yīng)是衡量矩陣不對(duì)稱性的指標(biāo)，這在仿真中也得到證實(shí)。綜上所述，在衡量矩陣不對(duì)稱性方面，指標(biāo)2和3最好，因此也可用代替重構(gòu)這2個(gè)指標(biāo)。在衡量矩陣奇異性方面，指標(biāo)11和12只適用于負(fù)荷因子k已很大的情況。6異值指標(biāo)1.2本文提出了衡量矩陣不對(duì)稱程度的指標(biāo)，并提出了衡量不對(duì)稱矩陣奇異程度的新指標(biāo)，而且對(duì)矩陣不對(duì)稱性和奇異性間的關(guān)系進(jìn)行了分析，最后針對(duì)潮流雅可比矩陣及其相應(yīng)的降階雅可比矩陣，用IEEE30系統(tǒng)算例驗(yàn)證了上述指標(biāo)的合理性并作了分析。由潮流方程，可得有另外,J=UΣUT與對(duì)稱矩陣的LDLT分解完全不同。(1)其中奇異值(1)指標(biāo)1為,選用。(2)指標(biāo)2為,選用。(3)指標(biāo)3為。由式(9)可得。指標(biāo)3越小于1,矩陣不對(duì)稱性越強(qiáng)。(4)指標(biāo)4為。(5)指標(biāo)5～7為,分別用矩陣的1—范數(shù)、2—范數(shù)和∞—范數(shù)表示,其中指標(biāo)6等于。(6)指標(biāo)8～10為。分別用矩陣的1—范數(shù)、2—范數(shù)和∞—范數(shù)表示,其中指標(biāo)9等于。當(dāng)J=JT時(shí),除指標(biāo)1等于1外,其他指標(biāo)均等于0。事實(shí)上,以上所有指標(biāo)都可轉(zhuǎn)化為以0或1為極限值。當(dāng)J≠JT時(shí),均以0或1為極限