gis中空間內(nèi)插方法的對(duì)比研究

gis中空間內(nèi)插方法的對(duì)比研究

1gis的空間內(nèi)插方法主要考內(nèi)插法的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)史上的一項(xiàng)重要成就，在促進(jìn)數(shù)學(xué)、環(huán)境科學(xué)等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用。其研究的基本內(nèi)容是根據(jù)已知地理空間的特性來(lái)探索未知地理空間的特性。由于現(xiàn)實(shí)世界和物質(zhì)的復(fù)雜性,很難得到時(shí)空域中所有點(diǎn)的觀測(cè)值。一般地,研究人員通過(guò)空間內(nèi)插方法,將離散點(diǎn)的測(cè)量數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為連續(xù)的數(shù)據(jù)曲面,以便與其他的分布模式進(jìn)行比較,并據(jù)此獲得更深入的信息。內(nèi)插方法的本質(zhì)決定了它需要進(jìn)行大量復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算,其對(duì)數(shù)據(jù)的處理往往依賴于計(jì)算機(jī),由此產(chǎn)生了許多能夠進(jìn)行空間內(nèi)插的軟件,而地理信息系統(tǒng)(GIS)領(lǐng)域的軟件為其中的佼佼者。在GIS領(lǐng)域眾多國(guó)內(nèi)外主流軟件中,美國(guó)ESRI公司的ArcGIS9系列軟件首次將Geostatistics方法作為其一個(gè)分析模塊(GeostatisticsAnalyst)納入到了整個(gè)框架體系中,實(shí)現(xiàn)了GIS數(shù)據(jù)的空間結(jié)構(gòu)分析和空間統(tǒng)計(jì)表面建模與誤差評(píng)價(jià)。本文接下來(lái)將介紹該分析模塊中的各種內(nèi)插方法,并進(jìn)行應(yīng)用示例。2數(shù)學(xué)函數(shù)法在Geostatistics方法研究前期,主要是針對(duì)Kriging相關(guān)理論方法來(lái)進(jìn)行研究的,隨著研究和應(yīng)用領(lǐng)域的擴(kuò)大、深入,一些較確定的數(shù)學(xué)函數(shù)法也納入其研究的范疇內(nèi)?；诖?在ArcGIS9軟件的GeostatisticsAnalyst模塊中,具體包含了圖1所示的空間內(nèi)插方法:各插值方法的應(yīng)用示例所使用的原始數(shù)據(jù)共3099個(gè)點(diǎn),實(shí)驗(yàn)值的范圍為88-318,局部數(shù)據(jù)如下:下面分別介紹這幾種內(nèi)插方法:2.1區(qū)域化變量的幾何加權(quán)法反距離加權(quán)插值(InverseDistanceWeighting,簡(jiǎn)稱IDW),反距離加權(quán)法是最常用的空間內(nèi)插方法之一。它的基本原理是:空間上離得越近的物體其性質(zhì)越相似,反之亦然。這種方法并沒(méi)有考慮到區(qū)域化變量的空間變異性,所以僅僅是一種純幾何加權(quán)法。反距離加權(quán)插值的一般公式為:其中,Z(x0)為未知點(diǎn)x0處的預(yù)測(cè)值,Z(x1)為已知點(diǎn)x1處的值,n為樣點(diǎn)的數(shù)量,λ為樣點(diǎn)的權(quán)重值,其計(jì)算公式為:式中di0為未知點(diǎn)與各已知點(diǎn)之間的距離,p是距離的冪。樣點(diǎn)在預(yù)測(cè)過(guò)程中受參數(shù)p的影響,冪越高,內(nèi)插的平滑效果越佳。盡管反距離權(quán)重插值法很簡(jiǎn)單,易于實(shí)現(xiàn),但它不能對(duì)內(nèi)插的結(jié)果作精度評(píng)價(jià),所得結(jié)果可能會(huì)出現(xiàn)很大的偏差,人為難以控制。2.2使用一種不足來(lái)生成多項(xiàng)式根據(jù)有限的樣本數(shù)據(jù)擬合一個(gè)表面來(lái)進(jìn)行內(nèi)插,稱之為全局多項(xiàng)式內(nèi)插方法。一般多采用多項(xiàng)式來(lái)進(jìn)行擬合,求各樣本點(diǎn)到該多項(xiàng)式的垂直距離的和,通過(guò)最小二乘法來(lái)獲得多項(xiàng)式的系數(shù),這樣所得的表面可使各樣本點(diǎn)到表面之間距離的平方和最小。如果表面平滑、無(wú)彎曲,使用一次多項(xiàng)式擬合;有一處彎曲的表面則用二次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合;若有兩處彎曲則需使用三次多項(xiàng)式,依次類推。全局多項(xiàng)式內(nèi)插一般適用于表面變化平緩的研究區(qū)域,或者僅研究區(qū)域內(nèi)全局性趨勢(shì)的情況。2.3改進(jìn)的雙組分法表面擬合表面的方法局部多項(xiàng)式內(nèi)插與全局多項(xiàng)式內(nèi)插相對(duì)應(yīng),是用多個(gè)多項(xiàng)式擬合表面的一種方法,它更多地用來(lái)表現(xiàn)研究區(qū)域西部的變異情況。其基本原理與全局多項(xiàng)式內(nèi)插相同。2.4內(nèi)插效果徑向基函數(shù)法屬于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法,該方法所擬合的表面都必須經(jīng)過(guò)所有樣本數(shù)據(jù)。徑向基函數(shù)以某個(gè)已知點(diǎn)為中心按一定距離變化的函數(shù),因此在每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)都會(huì)形成徑向基函數(shù),即每個(gè)基函數(shù)的中心落在某一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)上。徑向基函數(shù)適合于非常平滑的表面,要求樣本數(shù)據(jù)量大,如果數(shù)據(jù)點(diǎn)少,則內(nèi)插效果不佳。同時(shí),徑向基函數(shù)難以對(duì)誤差進(jìn)行估計(jì),也是其缺點(diǎn)之一。在ArcGIS9軟件的GeostatisticsAnalyst模塊中有五種徑向基函數(shù)法,它們分別是:薄盤樣條函數(shù)(thin-platespline):張力樣條函數(shù)(splinewithtension):規(guī)則樣條函數(shù)(completelyregularizedspline):高次曲面樣條函數(shù)(multiquadricspline):反高次曲面樣條函數(shù)(inversemultiquadricspline):各式子中h為表示由點(diǎn)(x,y)到第i個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的距離,R參數(shù)是用戶指定的平滑因子,K0為修正貝塞爾函數(shù),EI為指數(shù)積分函數(shù),(CF為Euler常數(shù),其值約為0.577215。2.5域域化變量的估計(jì)克立格(Kriging)內(nèi)插方法最早始于采礦領(lǐng)域,它將傳統(tǒng)礦產(chǎn)儲(chǔ)量計(jì)算方法和統(tǒng)計(jì)學(xué)結(jié)合起來(lái),對(duì)空間域或時(shí)空域上的區(qū)域化變量(RegionalizedVariable)進(jìn)行研究,其研究的主體內(nèi)容是對(duì)數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)分析和插值表面的建立及質(zhì)量評(píng)價(jià)?？肆⒏穹ㄊ且环N最優(yōu)無(wú)偏的估計(jì)方法,隨著其自身的不斷發(fā)展和完善,在不同的研究區(qū)域和研究尺度下,可使用不同的克立格方法來(lái)進(jìn)行數(shù)據(jù)的處理和分析。下面將作具體介紹:2.5.1基于區(qū)域化變量的權(quán)系數(shù)普通克立格法是克立格家族中最常用的一種最優(yōu)無(wú)偏估計(jì)方法,其計(jì)算公式與反距離加權(quán)插值類似,具體為:其中Z(X1)(1=0,1,2,…,n)為數(shù)據(jù)點(diǎn)x1的值,x0為未知點(diǎn),其他為已知點(diǎn),λ1為權(quán)。此處的權(quán)系數(shù)不是簡(jiǎn)單的由距離來(lái)決定,它是在無(wú)偏性和最小方差性的條件下,依賴于變異函數(shù)的計(jì)算結(jié)果而確定的,此特征正是與反距離加權(quán)插值不同之處,也是其優(yōu)勢(shì)的體現(xiàn)。普通克立格法適用的條件是:所研究的區(qū)域化變量,其數(shù)學(xué)期望未知,但為一常數(shù)。為了滿足無(wú)偏條件,需要使權(quán)系數(shù)的和為1,即。在這個(gè)條件下,為了使估計(jì)方差最小,就要使用求條件極值中的拉格朗日乘數(shù)法,最終得到普通克立格法方程組:其方差公式為:其中μ為拉格朗日乘數(shù)。2.5.2多區(qū)域化變量法的改進(jìn)當(dāng)區(qū)域化變量的數(shù)學(xué)期望是已知的常數(shù)時(shí),就要使用簡(jiǎn)單克立格法了。平均值為已知的常數(shù),將為克立格的研究帶來(lái)很大的便利,計(jì)算起來(lái)更簡(jiǎn)單快捷。在其計(jì)算公式中,無(wú)需權(quán)系數(shù)的和為1,就能滿足無(wú)偏條件。其克立格方程組與普通克立格法略有不同,因簡(jiǎn)單克立格法中所研究的區(qū)域化變量滿足二階平穩(wěn)假設(shè)條件,所以協(xié)方差存在;又因?yàn)榭肆⒏裼?jì)算公式自動(dòng)滿足無(wú)偏條件,只需在滿足最小方差條件下求得各權(quán)重系數(shù)值,故其方差公式為:2.5.3維、二維時(shí)區(qū)域化變量的存儲(chǔ)及拉格方法的選擇上面介紹的兩種方法都要求區(qū)域化變量滿足一個(gè)假設(shè)條件:二階平穩(wěn)或內(nèi)蘊(yùn)假設(shè),但在實(shí)際情況中,有許多區(qū)域化變量的數(shù)學(xué)期望都不是固定值,而是隨空間位置的變化而變化的,即E[Z(x)]=m(x)。在Geostatistics中,m(x)被叫做漂移(Drift)。漂移的形式可以是一維或二維情況,也可以是三維或三維以上的,一般一維和二維漂移就能滿足要求。如果用多項(xiàng)式來(lái)表示漂移,則:一維:m(x)=a0+a1x+a2x+……二維:m(x,y)=a0+a1x+a2y+a3x2+a4xy+a5y2+…泛克立格方法就是用來(lái)處理存在漂移的區(qū)域化變量對(duì)象的,它有兩種類型:一為已知協(xié)方差函數(shù)的泛克立格法,二為存在變異函數(shù)的泛克立格法。由于泛克立格法計(jì)算復(fù)雜、量大,且有一定的局限性,GeorgesMatheron提出了IRF-K(即K階內(nèi)蘊(yùn)隨機(jī)函數(shù))法。該方法可以避過(guò)漂移問(wèn)題,用區(qū)域化變量的增量來(lái)代替變量本身,并允許權(quán)系數(shù)的和為0,以便將非平穩(wěn)的變量過(guò)渡到平穩(wěn)的變量中來(lái)。普通克立格法、簡(jiǎn)單克立格法、泛克立格法均為線性克立格插值方法。一般,當(dāng)區(qū)域化變量滿足二階平穩(wěn)條件時(shí)使用簡(jiǎn)單克立格法;滿足內(nèi)蘊(yùn)假設(shè)時(shí)使用普通克立格法;當(dāng)數(shù)據(jù)存在漂移時(shí)則用泛克立格法。下面表中是對(duì)這三種線性克立格法的比較:2.5.4異常值估計(jì)指示克立格法是一種非參數(shù)方法,無(wú)需了解數(shù)據(jù)的分布類型,它是由Journel教授于1982年提出的。該方法因其自身的特點(diǎn)可以將異常值對(duì)估值的影響降到最低,因此也是人們常使用的方法之一。其指示函數(shù)為:其中Z為臨界值。研究人員正是通過(guò)這個(gè)指示函數(shù)來(lái)估計(jì)未知點(diǎn)的指示值,即:式中λα由克立格方程組給出。通過(guò)對(duì)具體位置X處指示平均值的估計(jì),最終可以得到Z(X)的估計(jì)值。2.5.5克立格法的優(yōu)點(diǎn)概率克立格法是指示克立格法的一種改進(jìn),它不僅具有指示克立格法的優(yōu)點(diǎn),即非參數(shù)和無(wú)分布特性,同時(shí)也減小了估計(jì)方差,提高了插值精度,降低了指示克立格法的平滑作用。因其對(duì)指示值做出了概率解釋,即:所以稱其為概率克立格法。2.5.6析取克立格法fa線性Geostatistics是對(duì)數(shù)據(jù)線性組合的一種研究,一般只能用來(lái)估計(jì)Z(X)的值,具有一定局限性。析取克立格法于1972年由Matheron提出,是最早的一種非線性Geostatistics方法,也是介于線性克立格估計(jì)量與條件數(shù)學(xué)期望之間切實(shí)可行的一種中間估計(jì)量。其估計(jì)量的一般形式為:其中fa(Za)是每一個(gè)有效數(shù)據(jù)變量Za的函數(shù),使用析取克立格法,不僅可以估計(jì)某一點(diǎn)的待估值,還可以對(duì)某點(diǎn)的指示值做出估計(jì)。但它對(duì)數(shù)據(jù)的要求更嚴(yán)格,需數(shù)據(jù)服從二元正態(tài)分布。同時(shí),在計(jì)算析取克立格方程組和其方差時(shí),須利用埃爾米特多項(xiàng)式(hermitepolynomials)的有限展開(kāi)式,該多項(xiàng)式是特殊函數(shù)中的一種正交多項(xiàng)式,用途很廣。盡管一般情況下析取克立格法比普通克立格法的應(yīng)用效果更佳,但有利比有弊,正由于上面所陳述的原因,析取克立格法在計(jì)算機(jī)中進(jìn)行處理時(shí)困難很大,計(jì)算方法非常復(fù)雜,所以應(yīng)謹(jǐn)慎使用。2.5.7算法2:實(shí)驗(yàn)交叉變異函數(shù)協(xié)同克立格法是克立格法的直接擴(kuò)展,它是在單變量區(qū)域化變量理論的基礎(chǔ)上,根據(jù)多變量的協(xié)同區(qū)域化理論來(lái)研究?jī)蓚€(gè)或兩個(gè)以上變量的自相關(guān)性和變量間的交叉相關(guān)性,獲得變異函數(shù)和交叉變異函數(shù)模型,以此來(lái)優(yōu)化插值估計(jì)。對(duì)樣品數(shù)據(jù)不足的情況尤其使用。相對(duì)于克立格法來(lái)說(shuō),協(xié)同克立格法多了一個(gè)新的假定條件,即使變量間的差值所得方差最小。該方法的核心還是對(duì)交叉變異函數(shù)的估計(jì),其實(shí)驗(yàn)交叉變異函數(shù)的計(jì)算公式為:式中:Zk(x)是與估計(jì)值Z(x)相關(guān)的第k個(gè)變量。在ArcGIS9軟件的GeostatisticsAnalyst模塊中,協(xié)同克立格法有如下幾個(gè)類型:普通、簡(jiǎn)單、泛、指示、概率和析取協(xié)同克立格法,您可以根據(jù)不同的情況選擇使用上面的這幾種協(xié)同克立格法。3地質(zhì)統(tǒng)計(jì)分析模塊ArcGIS9軟件的GeostatisticsAnalyst模塊開(kāi)創(chuàng)性地將Geostatistics中的一些技術(shù)與地理信息系統(tǒng)融合在一起,實(shí)現(xiàn)了多種功能。Geostatistics的結(jié)構(gòu)分析、插值方法與GIS中空間分析功能(如數(shù)據(jù)的顯示、疊加等)相結(jié)合,結(jié)合各自的優(yōu)勢(shì)可以完成對(duì)GIS空間數(shù)據(jù)的獲取、存儲(chǔ)、顯示、分析、查詢等一系列空間數(shù)據(jù)處