數(shù)學(xué)競賽大綱

PAGEPAGE1數(shù)學(xué)競賽大綱大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽，主要面向全學(xué)部各專業(yè)的在讀本科生。內(nèi)容涉及到大學(xué)本科《高等數(shù)學(xué)》、《線性代數(shù)》和《概率統(tǒng)計》課程所涵蓋的各知識點(diǎn)，其中《高等數(shù)學(xué)》占60%，《線性代數(shù)》占20%，《概率統(tǒng)計》占20%。具體內(nèi)容如下：高等數(shù)學(xué)部分一．函數(shù)極限和連續(xù)性考察考生對函數(shù)、極限概念的理解和掌握，函數(shù)極限的討論和計算，函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理、根的存在定理），并會應(yīng)用這些性質(zhì)。二．導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用函數(shù)可導(dǎo)性的研究，微分中值定理及其應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性，凹凸性等）以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（極值、最大值和最小值等）。三．積分不定積分和定積分的計算，定積分的應(yīng)用（面積、體積、引力、功、壓力）和廣義積分。四．級數(shù)級數(shù)的收斂性及其判別定理，幾類特殊的級數(shù)的斂散性，如正項級數(shù)、一般級數(shù)等，冪級數(shù)的求和、函數(shù)的Taylor級數(shù)展開和Fourier級數(shù)展開等。五．多元微積分矢量及其運(yùn)算和空間解析幾何，多元函數(shù)的微分及其性質(zhì)和應(yīng)用。二重積分的計算和應(yīng)用。六．常微分方程了解微分方程及其解、階、通解、初始條件和特解等概念。掌握變量可分離的微分方程、齊次微分方程、一階線性微分方程和二階常系數(shù)線性微分方程的求解方法。線性代數(shù)部分一、行列式了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)。會應(yīng)用行列式的性質(zhì)和行列式按行（列）展開定理計算行列式。二、矩陣?yán)斫饩仃嚨母拍?，了解單位矩陣、對角矩陣、三角矩陣的定義及性質(zhì)，了解對稱矩陣，反對稱矩陣及正交矩陣等的定義和性質(zhì)。掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法、以及它們的運(yùn)算規(guī)律，掌握矩陣的轉(zhuǎn)置，掌握矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質(zhì)。理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)，以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣。了解矩陣的初等變換和初等矩陣及矩陣等價的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的逆矩陣和秩的方法。了解分塊矩陣的概念及其運(yùn)算法則。三、向量了解向量的概念，掌握向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算法則。理解向量的線性組合與線性表示、向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)等概念，掌握向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法。理解向量組的極大線性無關(guān)組的概念，會求向量組的極大線性無關(guān)組及秩。了解向量組等價的概念，了解矩陣的秩與其行（列）向量組的秩之間的關(guān)系。四、線性方程組會用克萊母法則解線性方程組。掌握非齊次線性方程組有解和無解的判定方法。理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的概念，掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解的求法。理解非齊次線性方程組的結(jié)構(gòu)及通解的概念。掌握初等行變換求解線性方程組的方法。五、矩陣的特征值和特征向量理解矩陣的特征值、特征向量的概念，掌握矩陣特征值的性質(zhì)，掌握求矩陣特征值和特征向量的方法。理解矩陣相似的概念，掌握相似矩陣的性質(zhì)，了解矩陣可相似對角化的充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法。掌握實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)。概率統(tǒng)計部分一、隨機(jī)事件和概率了解樣本空間（基本事件空間）的概念，理解隨機(jī)事件的概念，掌握事件間的關(guān)系及運(yùn)算。理解概率、條件概率的概念，掌握概率的基本性質(zhì)，會計算古典型概率，掌握計算概率的加法公式、乘法公式、全概率公式，以及貝葉斯公式等。理解事件的獨(dú)立性的概念，掌握用事件獨(dú)立性進(jìn)行概率計算；理解獨(dú)立重復(fù)試驗的概念，掌握計算有關(guān)事件概率的方法。二、隨機(jī)變量及其概率分布理解隨機(jī)變量及其概率分布的概念；理解分布函數(shù)F(x)=P{X≤x}(-∞＜x<+∞)的概念及性質(zhì)；會計算與隨機(jī)變量相聯(lián)系的事件的概率。理解離散型隨機(jī)變量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二項分布、泊松（Poisson）分布及其應(yīng)用。掌握泊松定理的結(jié)論和應(yīng)用條件，會用泊松分布近似表示二項分布。理解連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的概念，掌握均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布及其應(yīng)用，會求隨機(jī)變量函數(shù)的分布。三、隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布理解隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)的概念和基本性質(zhì)。理解二維離散型隨機(jī)變量的概率分布和二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度，掌握兩個隨機(jī)變量的邊緣分布。理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性和不相關(guān)性的概念，掌握隨機(jī)變量的獨(dú)立條件；理解隨機(jī)變量的不相關(guān)性與獨(dú)立性的關(guān)系。了解二維均勻分布和二維正態(tài)分布，理解其中參數(shù)的概率意義。會根據(jù)兩個隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布求其簡單函數(shù)的分布；會根據(jù)多個獨(dú)立隨機(jī)變量的概率分布求其簡單函數(shù)的分布。四、隨機(jī)變量的數(shù)字特征理解隨機(jī)變量數(shù)字特征（數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)）的概念，會運(yùn)用數(shù)學(xué)特征的基本性質(zhì)，并掌握常用分布的數(shù)字特征。會求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。了解切比雪夫不等式。五、中心極限定理了解隸莫弗－拉普拉斯中心極限定理（二項分布以正態(tài)分布為極限分布）、列維－林德伯格中心極限定理（獨(dú)立同分布隨機(jī)變量列的中心極限定理），并會用相關(guān)定理近似計算有關(guān)隨機(jī)事件的概率。六、樣本與統(tǒng)計量理解總體、簡單隨機(jī)樣本、統(tǒng)計量的概念，掌握樣本均值、樣本方差及樣本矩的計算。了解三大分布的定義和性質(zhì)。了解正態(tài)分布的常用統(tǒng)計量的分布。七、參數(shù)估計理解參數(shù)的點(diǎn)估計、估計量與估計值的概念。掌握用矩法和極大似然法計算參數(shù)的估計量。了解估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)。理解區(qū)間估計的概