新高考一輪復習講義：第40講 空間點、直線、平面之間的位置關系（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page99頁，共=sectionpages99頁第40講空間點、直線、平面之間的位置關系學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎鞏固】1．(2022·遂寧市射洪中學月考)下列命題中正確的是()A．經(jīng)過三點確定一個平面B．經(jīng)過兩條平行直線確定一個平面C．經(jīng)過一條直線和一個點確定一個平面D．四邊形確定一個平面解析：選B.對于選項A：經(jīng)過不共線的三點確定一個平面，故選項A錯誤，對于選項B：兩條平行直線唯一確定一個平面，故選項B正確，對于選項C：經(jīng)過一條直線和直線外一個點確定一個平面，故選項C錯誤，對于選項D：因為空間四邊形不在一個平面內(nèi)，故選項D錯誤．故選B.2．已知α，β，γ是平面，a，b，c是直線，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，若a∩b＝P，則()A．P∈c B.P?cC．c∩a＝? D.c∩β＝?解析：選A.因為α∩β＝a，β∩γ＝b，所以a?α，b?γ，由a∩b＝P，可得P∈a且P∈b，所以P∈α且P∈γ，因為γ∩α＝c，所以P∈c，故選項A正確，選項B不正確；因為P∈c，P∈a，所以c，a有公共點P，故選項C不正確；因為P∈b，b?β，所以P∈β，因為P∈c，所以c與β有公共點P，故選項D不正確；故選A.3．在三棱錐A-BCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，若EF∩HG＝P，則點P()A．一定在直線BD上B．一定在直線AC上C．在直線AC或BD上D．不在直線AC上，也不在直線BD上解析：選B.如圖，因為EF?平面ABC，HG?平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.故選B.4．(2020·高考浙江卷)已知空間中不過同一點的三條直線l，m，n.“l(fā)，m，n共面”是“l(fā)，m，n兩兩相交”的()A．充分不必要條件 B.必要不充分條件C．充分必要條件 D.既不充分也不必要條件解析：選B.由m，n，l在同一平面內(nèi)，可能有m，n，l兩兩平行，所以m，n，l可能沒有公共點，所以不能推出m，n，l兩兩相交．由m，n，l兩兩相交且m，n，l不經(jīng)過同一點，可設l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A?n，所以點A和直線n確定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m?α，所以m，n，l在同一平面內(nèi)，故選B.5.(2022·江蘇省鎮(zhèn)江市·月考試卷)設a，b為兩條直線，，為兩個平面，則下列說法正確的是.(

)A.若，，則 B.若，，則

C.若，，則 D.若，，則【答案】C【解析】解：對于A，若，，則a，b平行或異面，故A錯誤；

對于B，若，，則或，故B錯誤；

對于C，若，，則在內(nèi)一定存在直線c使得，那么，又，則，故C正確；

對于D，若，，則或，故D錯誤.

故選6.(2022·廣州檢測)我國古代的數(shù)學著作《九章算術·商功》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.在如圖所示的“塹堵”ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M、N分別是BB1和A1C1的中點，則平面AMN截“塹堵”ABC－A1B1C1所得截面圖形的面積為()A.eq\f(2\r(21),3) B.eq\f(4\r(21),3) C.eq\f(2\r(7),3) D.eq\f(4\r(7),3)答案A解析延長AN，與CC1的延長線交于點P，則P∈平面BB1C1C，連接PM，與B1C1交于點E，連接NE，得到的四邊形AMEN是平面AMN截“塹堵”ABC－A1B1C1所得截面圖形，由題意解三角形可得NE＝ME＝eq\f(\r(17),3)，AM＝AN＝eq\r(5)，MN＝eq\r(6).∴△AMN中MN邊上的高h1＝eq\r(（\r(5)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(14),2)，△EMN中MN邊上的高h2＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(17),3)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(14),6).∴AMN截“塹堵”ABC－A1B1C1所得截面圖形的面積S＝S△AMN＋S△EMN＝eq\f(1,2)MN·(h1＋h2)＝eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(14),2)＋\f(\r(14),6)))＝eq\f(2\r(21),3).7.(多選)下圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有()答案BD解析圖A中，直線GH∥MN；圖B中，G，H，N三點共面，但M?平面GHN，N?GH，因此直線GH與MN異面；圖C中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖D中，G，M，N共面，但H?平面GMN，G?MN，因此GH與MN異面.8.(多選)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結(jié)論正確的是()A.A，M，O三點共線 B.A，M，O，A1共面C.A，M，C，O共面 D.B，B1，O，M共面答案ABC解析∵M∈A1C，A1C?平面A1ACC1，∴M∈平面A1ACC1，又∵M∈平面AB1D1，∴M在平面AB1D1與平面A1ACC1的交線AO上，即A，M，O三點共線，∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，∴M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面，故選A，B，C.9.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為________.答案4解析因為AB∥CD，由圖可以看出EF平行于正方體左右兩個側(cè)面，與另外四個側(cè)面相交.10.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點O是底面ABCD的中心，過O點作一條直線l與A1D平行，設直線l與直線OC1的夾角為θ，則cosθ＝________.答案eq\f(\r(3),6)解析如圖所示，設正方體的表面ABB1A1的中心為P，容易證明OP∥A1D，所以直線l即為直線OP，角θ即∠POC1.設正方體的棱長為2，則OP＝eq\f(1,2)A1D＝eq\r(2)，OC1＝eq\r(6)，PC1＝eq\r(6)，則cos∠POC1＝eq\f(2＋6－6,2×\r(2)×\r(6))＝eq\f(1,2\r(3))＝eq\f(\r(3),6).11.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中點，平面α經(jīng)過直線BD且與直線C1E平行，若正方體的棱長為2，則平面α截正方體所得的多邊形的面積為________.答案eq\f(9,2)解析如圖，過點B作BM∥C1E交B1C1于點M，過點M作BD的平行線，交C1D1于點N，連接DN，則平面BDNM即為符合條件的平面α，由圖可知M，N分別為B1C1，C1D1的中點，故BD＝2eq\r(2)，MN＝eq\r(2)，且BM＝DN＝eq\r(5)，∴等腰梯形MNDB的高為h＝eq\r(（\r(5)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\f(3\r(2),2)，∴梯形MNDB的面積為eq\f(1,2)×(eq\r(2)＋2eq\r(2))×eq\f(3\r(2),2)＝eq\f(9,2).(2022·湖北省·模擬考試)如圖，在棱長為1的正方體中，G?分別是棱?的中點.證明：A?M?G?共面；求四邊形的周長.解：證明：連接，如下圖：在正方體中，且，四邊形是平行四邊形，，又

G?分別是棱?的中點，，

，共面.因為正方體的棱長為1，

所以，，則四邊形的周長13.(2022·河南省·模擬題)如圖，在長方體中，E，F(xiàn)分別是和的中點．

證明：E，F(xiàn)，D，B四點共面；

證明：BE，DF，三線共點．證明：如圖，連接EF，BD，，

是的中位線，，

與平行且相等，四邊形是平行四邊形，

，，

，F(xiàn)，D，B四點共面；

，且，直線BE和DF相交，

延長BE，DF，設它們相交于點P，

直線BE，直線平面，平面，

直線DF，直線平面，平面，

平面平面，，

，DF，三線共點．

【素養(yǎng)提升】1.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別為棱AB，A1D1，C1D1的中點，經(jīng)過E，F(xiàn)，G三點的平面被正方體所截，則截面圖形的面積為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(3\r(3),4) C.1 D.2答案B解析如圖，分別取BC，AA1，CC1的中點為H，M，N，連接EH，HN，GN，F(xiàn)M，ME，容易得出FG∥EH，GN∥ME，HN∥FM，則點E，F(xiàn)，G，H，M，N共面，且FG＝EH＝GN＝ME＝HN＝FM＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2)，即經(jīng)過E，F(xiàn)，G三點的截面圖形為正六邊形EHNGFM.連接MN，EG，F(xiàn)H，且相交于點O，因為MN＝AC＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，所以OE＝OH＝ON＝OG＝OF＝OM＝eq\f(\r(2),2)，則截面圖形的面積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(\r(2),2)×\f(\r(2),2)sin60°))×6＝eq\f(3\r(3),4).2．平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(1,3)解析：選A.如圖所示，設平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，因為α∥平面CB1D1，則m1∥m，又因為平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥m1，所以B1D1∥m，同理可得CD1∥n.故m，n所成角的大小與B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大小．又因為B1C＝B1D1＝CD1(均為面對角線)，所以∠CD1B1＝eq\f(π,3)，得sin∠CD1B1＝eq\f(\r(3),2)，故選A.3．(多選)(2022·濰坊模擬)已知平面α∩平面β＝直線l，點A，C∈平面α，點B，D∈平面β，且A，B，C，D?l，點M，N分別是線段AB，CD的中點，則下列說法錯誤的是()A．當CD＝2AB時，M，N不可能重合B．M，N可能重合，但此時直線AC與l不可能相交C．當直線AB，CD相交，且AC∥l時，BD可與l相交D．當直線AB，CD異面時，MN可能與l平行解析：選ACD.A選項，當CD＝2AB時，若A，B，C，D四點共面且AC∥BD時，M，N兩點能重合，可知A錯誤；B選項，若M，N重合，則AC∥BD，則AC∥平面β，故AC∥l，此時直線AC與直線l不可能相交，可知B正確；C選項，當AB與CD相交，且AC∥l時，直線BD與l平行，可知C錯誤；D選項，當AB與CD是異面直線時，MN不可能與l平行，可知D錯誤．故選ACD.4.已知球O是正三棱錐(底面為正三角形，頂點在底面的射影為底面中心)A－BCD的外接球，BC＝3，AB＝2eq\r(3)，點E在線段BD上，且BD＝3BE，過點E作球O的截面，則所得的截面中面積最小的截面圓的面積是________.答案2π解析如圖，設△BDC的中心為O1，球O的半徑為R，連接AO1，O1D，OD，