地礦工程中空間插值方法的應(yīng)用

地礦工程中空間插值方法的應(yīng)用

1規(guī)則網(wǎng)絡(luò)體系空間數(shù)據(jù)分析方法在地礦工程的計(jì)算機(jī)可視化技術(shù)中起著重要作用。眾所周知,由于地質(zhì)勘測工程及地質(zhì)體的大尺度特征,使得地礦工程的勘測數(shù)據(jù)一般只能是對三維連續(xù)數(shù)據(jù)場的有限采樣。如此取得的原始數(shù)據(jù),具有明顯的離散性、稀疏性。而為了實(shí)現(xiàn)地礦數(shù)據(jù)的計(jì)算機(jī)體視化及地礦工程的真三維顯示。需要將這樣的原始數(shù)據(jù)處理成規(guī)則的體數(shù)據(jù),即通過數(shù)據(jù)的空間插值,形成由均勻網(wǎng)絡(luò)或規(guī)則網(wǎng)絡(luò)組成的結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù),其中的每一個(gè)網(wǎng)格是結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)的一個(gè)元素,稱為體元或體素(Voxel),而數(shù)據(jù)場的函數(shù)值則均勻地分布在體元的8個(gè)網(wǎng)格頂點(diǎn)上,如圖1所示?？梢?數(shù)據(jù)的空間插值是地礦工程計(jì)算機(jī)體視化過程中必不可少的一項(xiàng)工作,插值算法的精度和效率將直接影響地礦工程的三維顯示效果。2構(gòu)造等價(jià)面線的插值方法空間插值一般可以定義為由已知的空間數(shù)據(jù)來估計(jì)或預(yù)測未知的空間數(shù)據(jù)值?？臻g數(shù)據(jù)插值方法有多種,但對于各種插值方法的研究多著眼于數(shù)學(xué)的角度,其主要目的在于建立各種空間特征曲面(線)。本文根據(jù)地礦工程體視化系統(tǒng)研究與開發(fā)的需要,對比分析有關(guān)地礦體屬性的主要空間插值方法,主要目的是:①補(bǔ)值:地礦工程中經(jīng)常會由于各種原因造成某點(diǎn)采樣(或觀測)值的丟失,要利用適當(dāng)?shù)牟逯捣椒▽υ擖c(diǎn)進(jìn)行補(bǔ)充插值;②構(gòu)造等值面(線):即利用插值方法在二維空間或三維空間構(gòu)造等值面(線)來表現(xiàn)礦體的品位等屬性數(shù)據(jù)的空間分布特征,以建立所研究對象的表面模型;③構(gòu)造空間規(guī)則體數(shù)據(jù):即把離散、稀疏分布的地礦體空間數(shù)據(jù)通過插值形成規(guī)則的體數(shù)據(jù),以建立所研究對象的體模型、實(shí)現(xiàn)空間數(shù)據(jù)的體視化。從這三個(gè)目的來看,一般的插值方法多用于第二種目的——構(gòu)造等值面(線),通過對有限的采樣(觀測)數(shù)據(jù)的空間插值,擬合出光滑的曲線或曲面,以表現(xiàn)數(shù)據(jù)的空間變化,例如,趨勢面插值、多元回歸插值、傅立葉級數(shù)插值、徑向基函數(shù)插值、有限元插值以及B樣條插值方法等,幾乎均著眼于構(gòu)造等值面(線)這一目的,建立研究對象的表面模型。另一方面,用于地礦體補(bǔ)值的插值與用于構(gòu)造地礦體空間規(guī)則體數(shù)據(jù)的插值的實(shí)質(zhì)基本相同,其目的均屬于獲得空間點(diǎn)的信息。兩者的差異僅在于補(bǔ)值是要得到地礦體的某一指定點(diǎn)上的信息,屬于局部范疇;而構(gòu)造空間規(guī)則體數(shù)據(jù)則是要得到遍布整個(gè)地礦體的一系列點(diǎn)的信息,以反映對象空間屬性的整體變化,屬于全局范疇。由此可見,用于這兩種目的的插值與用于構(gòu)造等值面(線)的插值的主要區(qū)別在于:前者是為了獲取對象即地礦體的空間點(diǎn)的信息,以利用這些信息來表現(xiàn)對象的空間分布特征,進(jìn)而由空間離散分布的點(diǎn)數(shù)據(jù)形成對象的規(guī)則體數(shù)據(jù),以揭示對象的內(nèi)部屬性及結(jié)構(gòu);而后者是間離散分布的點(diǎn)數(shù)據(jù)形成對象的規(guī)則體數(shù)據(jù),以揭示對象的內(nèi)部屬性及結(jié)構(gòu);而后者是為了得到用于反映對象的線或面的信息,利用表面或線來表示對象的空間形態(tài)或?qū)傩缘淖兓?其插值函數(shù)往往需要滿足數(shù)學(xué)連續(xù)性要求,以保證空間線、面的數(shù)字光滑。3規(guī)則體數(shù)據(jù)插值方法的特征為進(jìn)行地礦工程體視化系統(tǒng)及技術(shù)的研究與開發(fā),我們進(jìn)一步討論用來形成規(guī)則體數(shù)據(jù)的插值方法的特征?？梢杂脕硇纬傻氐V體空間體數(shù)據(jù)的插值方法主要有Shepard法、四面體剖分法和克立格法。3.1關(guān)于權(quán)重的關(guān)系Shepard法,通常稱為距離冪次反比加權(quán)法,是地礦工程領(lǐng)域中經(jīng)常采用的插值方法之一。該方法將待求點(diǎn)的函數(shù)F(x,y,z)定義為各已知點(diǎn)函數(shù)值fk對待求點(diǎn)與各已知點(diǎn)之間距離冪次反比的加權(quán)平均值,即F(x,y,z)=∑k=1nfk?Wk(x,y,z)(1)F(x,y,z)=∑k=1nfk?Wk(x,y,z)(1)Wk(x,y,z)=1/dk(x,y,z)μ∑k=1n/dk(x,y,z)μ(2)Wk(x,y,z)=1/dk(x,y,z)μ∑k=1n/dk(x,y,z)μ(2)在權(quán)重Wk(x,y,z)的式2中,dk(x,y,z)=(x?xk)2+(y?yk)2+(z?zk)2??????????????????????????√dk(x,y,z)=(x-xk)2+(y-yk)2+(z-zk)2,表示由點(diǎn)(x,y,z)到點(diǎn)(xk,yk,zk)的距離,μ為冪次,一般取2。根據(jù)這一定義,可見此方法具有如下基本特征:①易于理解,便于計(jì)算。②考慮了待求點(diǎn)與已知點(diǎn)之間的距離對插值結(jié)果的影響,即距待求點(diǎn)近的已知點(diǎn)數(shù)據(jù)對插值結(jié)果的貢獻(xiàn)大,距離遠(yuǎn)的對結(jié)果貢獻(xiàn)小。但當(dāng)距離遠(yuǎn)到一定程度時(shí),基本上不再對結(jié)果有影響,這樣的已知點(diǎn)便成為“局外點(diǎn)”。③沒有考慮已知點(diǎn)屬性之間的相關(guān)性對權(quán)函數(shù)Wk(x,y,z)的影響。例如,假設(shè)已知點(diǎn)如圖2中的a1,a2,a3和a4所示,它們到待求點(diǎn)a的距離相等,因此,由Shepard方法所算得的各已知點(diǎn)的權(quán)值相等。但a1與a2間的距離小于a3與a4間的距離,所以,相距較近的a1與a2兩點(diǎn)的屬性(例如品位)的相關(guān)性較強(qiáng),其權(quán)重應(yīng)適當(dāng)減小,而相距較遠(yuǎn)的a3與a4兩點(diǎn)的屬性的相關(guān)性較弱,其權(quán)重應(yīng)適當(dāng)增大。然而,Shepard方法不能處理由此類采樣分布形式而產(chǎn)生的所謂的已知點(diǎn)“叢聚效應(yīng)”。④沒有考慮研究對象屬性的各向異性。仍以圖2為例,并進(jìn)一步假設(shè)a1、a2兩點(diǎn)的連線與a3、a4兩點(diǎn)的連線相互平行,且所研究對象的屬性值(例如礦床品位)由上至下線性變化,但由左至右保持常定。顯然,此種情況下,因?yàn)檠芯繉ο髮傩缘母飨虍愋?Shepard方法不能得出正確的權(quán)重及屬性值。⑤在地礦工程實(shí)踐中,為了解決上述的“局外點(diǎn)”、“叢聚效應(yīng)”、各向異性等問題,經(jīng)常需要根據(jù)具體情況來從已知點(diǎn)中選取“參算點(diǎn)”。3.2基于四面體為體元的體數(shù)計(jì)算目前,四面體剖分方法主要分為兩大類:八叉樹四面體剖分和Delaunay四面體剖分。八叉樹的剖分法主要用于實(shí)體模型的部分,一般不能用于處理離散數(shù)據(jù),因處理離散數(shù)據(jù)時(shí)需要對八叉樹的結(jié)點(diǎn)進(jìn)行推拉,會造成拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上的錯(cuò)誤。Delaunay四面體剖分法是對空間離散的三維點(diǎn)集進(jìn)行三角剖分,是Delaunay三角剖分方法由二維平面點(diǎn)集向三維空間點(diǎn)集的推廣。其原理為剖分結(jié)果符合空球判據(jù),即每個(gè)細(xì)化成的四面體外接球內(nèi)不含有三維空間點(diǎn)集中的任一點(diǎn),使得各四面體盡可能接近于正三棱錐,避免了狹長四面體的存在,這樣可使各離散采樣點(diǎn)對整個(gè)數(shù)據(jù)場的影響盡可能局部化、均勻化。利用此方法實(shí)現(xiàn)插值的主要步驟為:①將定義域三角剖分為優(yōu)化的四面體組合;②估算各數(shù)據(jù)點(diǎn)的必要的導(dǎo)數(shù)值;③建立合適的四面體插值公式。對于其插值公式的構(gòu)造已有多種方法,如Barnhill等提出的離散化的BBG超限插值方法、Alfeld提出的一階光滑Clouch-Tocher四面體插值方法及基于“二步法”的插值/調(diào)配法等。通過四面體剖分插值,可以形成以四面體為體元的體數(shù)據(jù)模型。Delaunay四面體剖分插值的主要特點(diǎn)是:①可實(shí)現(xiàn)局剖插值,易于剔除“局外點(diǎn)”。②插值精度較高,但繪制時(shí)間長。隨著數(shù)據(jù)規(guī)模的增大及剖分細(xì)化的深入,內(nèi)存的占用量與細(xì)化耗時(shí)則成倍的增加,對于地礦體這樣的大尺度的研究對象,該方法難以在微機(jī)環(huán)境下實(shí)現(xiàn),需要高速計(jì)算機(jī)。③剖分算法中的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜。剖分所得的體元為大小不一、形態(tài)各異的四面體,不便于微機(jī)處理。④從理論上講,部分可適用于任意的空間三維點(diǎn)集,即適用于任意形態(tài)的研究對象,但目前的剖分算法,只對凸面體對象的剖分效果比較理想,尚難于處理地礦體這樣的形態(tài)復(fù)雜的數(shù)據(jù)場。⑤沒有考慮已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的“叢聚效應(yīng)”及研究對象屬性的各向異性。雖然已經(jīng)有多種四面體部分方法。但這些方法主要是解決如何采用數(shù)學(xué)方法來實(shí)現(xiàn)插值的光滑。3.3插值方法的基本原理克立格法(Kriging)源于數(shù)學(xué)地質(zhì)研究,是由法國學(xué)者G.Matheron等提出的、以南非采礦工程師D.G.Krige命名的一種地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)方法。該方法以區(qū)域化變量理論為基礎(chǔ)、以變異函數(shù)為基本工具,能夠用來研究分布于空間并呈現(xiàn)出一定的結(jié)構(gòu)性和隨機(jī)性的數(shù)據(jù)場。譬如,該方法最初主要用于地礦工程中的礦床品位及儲量的估算,目前已經(jīng)推廣到環(huán)保、農(nóng)林、氣象、水利等學(xué)科領(lǐng)域。根據(jù)克立格法,研究對象空間某一待求點(diǎn)屬性的估計(jì)值Z*(x0)可以通過該待求點(diǎn)影響范圍內(nèi)n個(gè)有效樣品值的線性組合而得到,即Z?(x0)=∑i=1nλiZ(xi)(3)Ζ*(x0)=∑i=1nλiΖ(xi)(3)式中Z(xi)——是在書籍點(diǎn)xi(i=1,2,……n)處的采樣值;λi——加權(quán)因子,表示各采樣值Z(xi)對估計(jì)值Z*(x0)影響的大小,其求算要保證所求估計(jì)值無偏(即使所有待求點(diǎn)的估計(jì)值與其真實(shí)值之間偏差的期望值為0),并且估計(jì)方差最小。克立格法的主要特點(diǎn)是:①變異函數(shù)既可以反映變量空間分布的結(jié)構(gòu)性,又可以反映變量空間分布的隨機(jī)性。通過設(shè)計(jì)變異函數(shù),克立格法容易剔除“局外點(diǎn)”。②充分考慮各采樣點(diǎn)屬性之間的相關(guān)性和變異性。克立格法處理的是區(qū)域化變量,區(qū)域化變量是具有空間連續(xù)性、變異性、結(jié)構(gòu)性和相關(guān)性等特點(diǎn)的變量,能夠較好地解決采樣點(diǎn)之間的“叢聚效應(yīng)”、各向異性問題。③適宜構(gòu)造規(guī)則體數(shù)據(jù)。體數(shù)據(jù)是對研究對象所在空間的離散采樣,可表示為f(x),x∈Rn,其中f(x)是研究對象在采樣空間位置x上的屬性觀測值。體數(shù)據(jù)中包含著兩類信息:體數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著采樣點(diǎn)之間的拓?fù)潢P(guān)系,從而構(gòu)成了被研究對象的拓?fù)淇臻g;體數(shù)據(jù)是各采樣點(diǎn)的屬性值的集合,從而形成了被研究對象的屬性空間。所以,通過插值方法構(gòu)造規(guī)則體數(shù)據(jù)應(yīng)同時(shí)考慮采樣點(diǎn)在拓?fù)淇臻g和屬性空間的變化。由克立格法的前兩個(gè)特點(diǎn)可以看出,克立格法能夠描述采樣點(diǎn)在拓?fù)淇臻g和屬性空間的變化。④克立格法有多種改進(jìn)形式,能夠處理特殊條件下的空間數(shù)據(jù)場,譬如,有泛克立格法、對數(shù)克立格法、穩(wěn)健克立格法、指示克立格法、協(xié)同克立格法等。4u3000總結(jié)通過上述的對比分析可以看出:Shepard法具有易于理解、便于計(jì)算等顯著特點(diǎn),為地礦工程技術(shù)人員所廣泛采用,但該方法存在“局外點(diǎn)”、“叢聚效應(yīng)”、各向異性等問題,需要結(jié)合應(yīng)用對象的具體情況,采取各種相應(yīng)的改進(jìn)措施予以解決;四面體剖分法是一種傳統(tǒng)的計(jì)算機(jī)三維圖形學(xué)方法,Delaunay四面體剖分法具有插值精度