結(jié)構(gòu)有限元法(緒論)

有限元分析(FEA)方法結(jié)構(gòu)力學(xué)的研究對象桿件結(jié)構(gòu)，如桁架、剛架等，桿件的幾何特征是長度比橫截面尺寸大得多。彈性力學(xué)的研究對象非桿件結(jié)構(gòu)如扳、殼結(jié)構(gòu)、實(shí)體結(jié)構(gòu)等，這些結(jié)構(gòu)的幾何特征是它的厚度要比長度和寬度小得多，或長、寬、厚三個(gè)尺度大小屬于同一量級。

結(jié)構(gòu)力學(xué)剛架位移法：先取基本體系，把剛架拆成多個(gè)單元(桿件)，作單元分析，再將桿件組合成整個(gè)剛架，建立剛架位移法的基本方程，作整體分析。在這一分一合、先拆后搭的過程中，把復(fù)雜結(jié)構(gòu)的計(jì)算問題，轉(zhuǎn)化為簡單的單元分析和集合問題，這就是有限單元法的雛形。

解析法：由于數(shù)學(xué)上的困難，通常只有某些簡單向題才能得到解析的解答，而對于多數(shù)復(fù)雜結(jié)構(gòu)問題，目前還沒能得到閉合解?，F(xiàn)在，為了求解這些復(fù)雜問題，唯一的途徑是應(yīng)用數(shù)值法，求得問題的近似解。

數(shù)值法分為兩類：第一類是在解析法的基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。它的要點(diǎn)是對基本微分方程采用近似的數(shù)值解法，如將微分改為差分，建立差分方程，得有限差分法，第二類是在力學(xué)模型上進(jìn)行近似的數(shù)值計(jì)算。它的基本點(diǎn)是將連續(xù)體簡化為由有限個(gè)單元組成的離散化模型，再對離散化模型求出數(shù)值解答，對這類方法的代表就是近三十年發(fā)展起來的有限單元法。

有限單元法具有如下的優(yōu)點(diǎn)：(1)物理概念清晰有限元法一開始就從力學(xué)角度進(jìn)行簡化，使初學(xué)者易于入門。(2)可以在不同的水平上建立起對該法的理解它可以從通俗易懂的結(jié)構(gòu)力學(xué)方法出發(fā)，闡述其基本原理和公式推導(dǎo)，也可以利用變分原理為該法建立起嚴(yán)格的數(shù)學(xué)解釋。

(3)有較強(qiáng)的靈活性與適用性它不僅能處理力學(xué)分析中的復(fù)雜的幾何形狀，任意的邊界條件，非均質(zhì)各向異性材料，結(jié)構(gòu)中包含桿件、板、殼等不同類型的構(gòu)件，非線性應(yīng)力——應(yīng)變關(guān)系，還能用來求解流體力學(xué)、熱傳導(dǎo)以及電磁場等領(lǐng)域的許多問題。目前，它幾乎適用于求解所有的連續(xù)介質(zhì)和場的問題。(4)采用矩陣表達(dá)形式便于編制計(jì)算機(jī)程序，能充分利用高速電子計(jì)算機(jī)這個(gè)現(xiàn)代化工具。因此，有限元法已被公認(rèn)為力學(xué)分析中的新穎而又有效的數(shù)值方法。

有限單元法的發(fā)展歷史有限單元法最初是在五十年代作為處理固體力學(xué)問題的方法出現(xiàn)的。追溯歷史，早在一九四三年，庫蘭特(courant)已應(yīng)用了“單元”概念。在一九五六年，特納(Turner)等人把剛架位移法的解題思路，推廣應(yīng)用于彈性力學(xué)平面問題。他們把連續(xù)體劃分成一個(gè)個(gè)三角形的和矩形的單元，單元中位移函數(shù)首先采用了近似表達(dá)式，推導(dǎo)了單元?jiǎng)偠染仃嚕⒘藛卧Y(jié)點(diǎn)位移與結(jié)點(diǎn)力之間的單元?jiǎng)偠确匠?。近幾十年來，隨著電子計(jì)算機(jī)的高速化和普遍化，有限元繼續(xù)不斷地向更加廣闊、更加深入的方面發(fā)展。

有限單元法的發(fā)展借助于兩個(gè)重要工具，在理論推導(dǎo)方面，采用了矩陣方法，在實(shí)際計(jì)算中，采用了電子計(jì)算機(jī)。有限元、矩陣、計(jì)算機(jī)是三位一體的。由于有了現(xiàn)代化的、先進(jìn)的計(jì)算工具，使得有限單元法近年來以驚人的速度驟然崛起。有限單元法的應(yīng)用有限單元法在應(yīng)用上已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了原來的范圍。它已由彈性力學(xué)平面問題擴(kuò)展到空間問題和板殼問題，能對原子能反應(yīng)堆、拱壩、飛機(jī)、船體、渦輪葉片等復(fù)雜結(jié)構(gòu)進(jìn)行應(yīng)力分析；它已出平衡問題擴(kuò)展到穩(wěn)定問題與動(dòng)力問題，由彈性問題擴(kuò)展到彈塑性與粘彈性問題，由結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分析擴(kuò)展到結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。除此，它在流體力學(xué)、熱傳導(dǎo)、磁場、建筑聲學(xué)、生物力學(xué)等等方面部有不同程度的應(yīng)用。

用有限單元法解彈性力學(xué)問題，初學(xué)者并不需要掌握彈性力學(xué)的全部理論，但對其中的某些基本概念和基本方程卻要有所了解。為此，本節(jié)將對這些概念和方程作簡要的介紹，作為下面各章介紹彈性力學(xué)有限單元法的導(dǎo)引。彈性力學(xué)的基本假定彈性力學(xué)在處理問題方面比材料力學(xué)更廣泛、但彈性力學(xué)仍必須作一些基本的假設(shè)；（1）假設(shè)物體是線性彈性的即物體在引起形變的外力被除去以后，能夠完全恢復(fù)其原來的形狀，這種性質(zhì)稱為“彈性”。如果材料又服從虎克定律，即外力與變形之間的關(guān)系成正比，這種彈性就叫做“線性彈性”。在這一假定下的物體只能發(fā)生線性彈性變形。（2）假設(shè)物體是連續(xù)的這假設(shè)認(rèn)為整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的物質(zhì)所填滿，而不留下任何空隙。這樣物體中應(yīng)力、應(yīng)變和位移等等物理量就可看成是連續(xù)的，因而我們就可用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示它們的變化規(guī)律。（3）假設(shè)物體是均勻的，各向同性的均勻假設(shè)是認(rèn)為整個(gè)物體是由同一種材料組成的，在這種情況下物體內(nèi)部各點(diǎn)的物理性質(zhì)都是相同的，反映這些物理性質(zhì)的彈性常數(shù)，加彈性模量、泊松比等都不隨位置坐標(biāo)而變化。因此，我們可以取出物體中的任意一小部分來加以研究，然后把研究的結(jié)果用于整個(gè)物體。物體各向同性的假設(shè)是認(rèn)為物體的彈性在所有各個(gè)方向都相同，各個(gè)彈性常數(shù)不隨方向而變化。（4）假設(shè)物體的位移和應(yīng)變是微小的該假設(shè)認(rèn)為物體在外力作用下，整個(gè)物體所有各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體的原來尺寸。經(jīng)過這樣假定以后，有以下好處

1）在考察物體的應(yīng)變和位移時(shí)，我們可以將它們的二次冪或乘積略去不計(jì)。因此彈性力學(xué)中的微分方程都可簡化為線性的微分方程，由此得小位移可以應(yīng)用迭加原理。

2）建立物體變形以后的平衡方程時(shí)，可用變形以前的尺寸代替變形以后的尺寸，而不致引起顯著的誤差。有限元分析(FEA)有限元分析是利用數(shù)學(xué)近似的方法對真實(shí)物理系統(tǒng)（幾何和載荷工況）進(jìn)行模擬。還利用簡單而又相互作用的元素，即單元，就可以用有限數(shù)量的未知量去逼近無限未知量的真實(shí)系統(tǒng)。定義物理系統(tǒng)舉例

幾何體

載荷

物理系統(tǒng)結(jié)構(gòu)熱電磁有限元模型真實(shí)系統(tǒng)有限元模型

有限元模型是真實(shí)系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象。定義自由度（DOFs）自由度(DOFs)

用于描述一個(gè)物理場的響應(yīng)特性。結(jié)構(gòu)DOFs結(jié)構(gòu) 位移熱

溫度電 電位流體壓力磁 磁位

方向 自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ節(jié)點(diǎn)和單元節(jié)點(diǎn):空間中的坐標(biāo)位置，具有一定自由度和存在相互物理作用。單元:

一組節(jié)點(diǎn)自由度間相互作用的數(shù)值、矩陣描述（稱為剛度或系數(shù)矩陣)。單元有線、面或?qū)嶓w以及二維或三維的單元等種類。有限元模型由一些簡單形狀的單元組成，單元之間通過節(jié)點(diǎn)連接，并承受一定載荷。載荷載荷節(jié)點(diǎn)和單元(續(xù))

每個(gè)單元的特性是通過一些線性方程式來描述的。作為一個(gè)整體，單元形成了整體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型。盡管梯子的有限元模型低于100個(gè)方程（即“自由度”），然而在今天一個(gè)小的ANSYS分析就可能有5000個(gè)未知量，矩陣可能有25，000，000個(gè)剛度系數(shù)。歷史典故ANSYS最早是在1970年發(fā)布的，運(yùn)行在價(jià)格為一百萬美元、由IBM生產(chǎn)的計(jì)算機(jī)上，它們的處理能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于今天的PC機(jī)。一臺奔騰PC機(jī)在幾分鐘內(nèi)可求解5000×5000的矩陣系統(tǒng)，而過去則需要幾天時(shí)間。節(jié)點(diǎn)和單元(續(xù))信息是通過單元之間的公共節(jié)點(diǎn)傳遞的。分離但節(jié)點(diǎn)重疊的單元A和B之間沒有信息傳遞（需進(jìn)行節(jié)點(diǎn)合并處理）具有公共節(jié)點(diǎn)的單元之間存在信息傳遞

...AB........AB...1node2nodes節(jié)點(diǎn)和單元(續(xù))節(jié)點(diǎn)自由度是隨連接該節(jié)點(diǎn)

單元類型變化的。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三維桿單元(鉸接)UX,UY,UZ三維梁單元二維或軸對稱實(shí)體單元UX,UY三維四邊形殼單元UX,UY,UZ,三維實(shí)體熱單元TEMPJPOMNKJIL三維實(shí)體結(jié)構(gòu)單元ROTX,ROTY,ROTZROTX,ROTY,ROTZUX,UY,UZ,UX,UY,UZ單元形函數(shù)FEA僅僅求解節(jié)點(diǎn)處的DOF值。單元形函數(shù)是一種數(shù)學(xué)函數(shù)，規(guī)定了從節(jié)點(diǎn)DOF值到單元內(nèi)所有點(diǎn)處DOF值的計(jì)算方法。因此，單元形函數(shù)提供出一種描述單元內(nèi)部結(jié)果的“形狀”。單元形函數(shù)描述的是給定單元的一種假定的特性。單元形函數(shù)與真實(shí)工作特性吻合好壞程度直接影響求解精度。真實(shí)的二次曲線.節(jié)點(diǎn)單元二次曲線的線性近

(不理想結(jié)果).2單元形函數(shù)(續(xù))節(jié)點(diǎn)單元DOF值二次分布..1節(jié)點(diǎn)單元線性近似(更理想的結(jié)果)真實(shí)的二次曲線.....3節(jié)點(diǎn)單元二次近似(接近于真實(shí)的二次近似擬合)

(最理想結(jié)果)..4單元形函數(shù)(續(xù))遵循:

DOF值可以精確或不太精確地等于在節(jié)點(diǎn)處的真實(shí)解，但單元內(nèi)的平均值與實(shí)際情況吻合得很好。這些平均意義上的典型解是從單元DOFs推導(dǎo)出來的（如，結(jié)構(gòu)應(yīng)力，熱梯度）。如果單元形函數(shù)不能精確描述單元內(nèi)部的DOFs，就不能很好地得到導(dǎo)出數(shù)據(jù)，因?yàn)檫@些導(dǎo)出數(shù)據(jù)是通過單元形函數(shù)推導(dǎo)出來的。單元形函數(shù)(續(xù))遵循原則:

當(dāng)選擇了某種單元類型時(shí)，也就十分確定地選擇并接受該種單元類型所假定的單元形函數(shù)。在選定單元類型并隨之確定了形函數(shù)的情況下，必須確保分析時(shí)有足夠數(shù)量的單元和節(jié)點(diǎn)來精確描述所要求解的問題。加載在關(guān)鍵點(diǎn)處約束實(shí)體模型沿線均布的壓力在