相似三角形的性質(zhì)“黃岡賽”一等獎(jiǎng)

相似三形的性質(zhì)(1)

兩個(gè)三角形相似，除了它們的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例等性質(zhì)外，相似三角形還有哪些性質(zhì)呢？相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.相似三角形的性質(zhì)：ABCA′B′C′∽幾何語(yǔ)言表達(dá)∵△ABC∽△AB′C′

∴∠A=∠A′,∠B=∠B′,

∠C=∠C′.知識(shí)回顧動(dòng)腦筋

如圖，已知△ABC∽△，

AH、分別為對(duì)應(yīng)邊BC，上的高，那么嗎？∴∵

△ABC∽，解△∴

∠B=∠∴△ABH∽△又∠AHB=∠=90°，類似地，我們可以得到其余兩組對(duì)應(yīng)邊上的高的比也等于相似比.結(jié)論相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比.由此得到：

∵△ABC∽△，BC與為對(duì)應(yīng)邊

且AH⊥BC,

⊥.幾何語(yǔ)言表達(dá)舉例例9如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E.已知CD=2，AB=6，AC=4，求DE的長(zhǎng).∵

∠A=∠A，∠ACB=∠ADC=90°，在Rt△ABC與Rt△ACD中，解：∴

△ABC∽△ACD.又∵

CD，DE分別為它們的斜邊上的高，∴

解得

DE=

∴

∠B=∠，

∠BAC=∠.又∵AT、分別為對(duì)應(yīng)角∠BAC，∠的角平分線，∠==∠∴

∠BAT=∠BAC∴△ABT∽△∴求證：例10如圖，已知△ABC∽△，

AT、分別為對(duì)應(yīng)角∠BAC，∠的角平分線.類似地，我們可以得到另外兩組對(duì)應(yīng)角平分線的比也等于相似比.證明△ABC∽△∵結(jié)論相似三角形對(duì)應(yīng)的角平分線的比等于相似比.由此得到，

∵△ABC∽△，∠BAC與∠

為對(duì)應(yīng)角

且AT平分∠BAC,平分∠.幾何語(yǔ)言表達(dá)已知△ABC∽△,若AD、分別為，的中線，那么成立嗎？由此你能得出什么結(jié)論？△ABC△相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線的比等于相似比.議一議議一議議一議結(jié)論相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線的比等于相似比.由此得到，

∵△ABC∽△，BC與為對(duì)應(yīng)邊，

且AD平分BC,平分

.幾何語(yǔ)言表達(dá)練習(xí)已知△ABC∽△DEF，AM，DN分別△ABC，△DEF的一條中線，且AM=6cm，AB=

8cm，DE=4cm，求DN的長(zhǎng).

1.

∴DN=3(cm).

AM，DN分別為它們對(duì)應(yīng)的中線，∴∵

△ABC∽△DEF，解即ABCDFENM2.如圖，，AD，BE

分別是△ABC

的高和中線，，分別是的高和中線，且AD=

4，=3，BE=6，求的長(zhǎng)．

△ABC∽△△∵解△ABC∽△即∴

∴=4.5.1.兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊比為8:9，那么相似比為

，對(duì)應(yīng)邊上的高之比為

，對(duì)應(yīng)邊上的中線比為

，對(duì)應(yīng)角的角平分線比為

。8:98:98:98:9相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比對(duì)應(yīng)高的比對(duì)應(yīng)中線的比對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

隨堂練習(xí)2.已知△ABC與△DEF相似且相似比為4：1，則△DEF與△ABC的對(duì)應(yīng)邊上的高之比為（）A．4：1B．1：4C．16：1D．2：1B3.5.如圖，有一塊銳角三角形材料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使其一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，求這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)？解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xmm，則AK=80-x，

∵EFGH是正方形，

∴EH∥FG，

∴△AEH∽△ABC，即∴解得x=48mm，

相似三形的性質(zhì)(2)湘教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)3.4.2相似三角形有哪些性質(zhì)？1.對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例;2.對(duì)應(yīng)高之比、對(duì)應(yīng)中線之比、對(duì)應(yīng)角平

分線之比、對(duì)應(yīng)邊之比都等于相似比.知識(shí)回顧

相似三角形的周長(zhǎng)有什么關(guān)系呢？歸納：相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比.右圖（1）（2）（3）分別是邊長(zhǎng)為1、2、3的等邊三角形，它們彼此都相似．（2）與（1）的相似比＝________________，（2）與（1）的周長(zhǎng)比＝________________;（3）與（1）的相似比＝________________，（3）與（1）的周長(zhǎng)比＝________________.2:12:13:13:1從上面可以看出當(dāng)相似比＝k時(shí)，周長(zhǎng)比＝______k說(shuō)一說(shuō)動(dòng)腦筋

如圖，已知，相似比為k，則C△ABC∶C△的值是多少呢？△ABC∽△ACB分析：

∵△ABC∽△，相似比為k.結(jié)論相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比.由此得到：ACB

∵△ABC∽△，相似比為k.∴C△ABCC△幾何語(yǔ)言表示1.如圖,在等邊三角形ABC中,點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上,且DE∥BC.如果BC=8cm,,求△ADE的周長(zhǎng)？

隨堂練習(xí)ABCDE解:∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴C△ADEC△ABC即C△ADE3×8解得

C△ADE=6cm(相似比)82.已知

，它們的周長(zhǎng)分別為60cm和72cm，且AB=15cm，=24cm，求BC，AC，，的長(zhǎng).△ABC∽△解:∵△ABC∽△∴它們的相似比為∴在△ABC中，AC=60-15-20=25(cm).ACB在△中，=72-18-24=30(cm).152420186072

相似三角形的面積有什么關(guān)系呢？2:1歸納：相似三角形的面積比等于相似比的平方.右圖（1）（2）（3）分別是邊長(zhǎng)為1、2、3的等邊三角形，它們彼此都相似．（2）與（1）的相似比＝________________，（2）與（1）的面積比＝________________;（3）與（1）的相似比＝________________，（3）與（1）的面積比＝________________.4:13:19:1從上面可以看出當(dāng)相似比＝k時(shí)，面積比＝______

k2

說(shuō)一說(shuō)動(dòng)腦筋

如圖，已知，相似比為k，則S△ABC∶S△的值是多少呢？△ABC∽△分別作BC，邊上的高AD，，則====∴S△ABCS△分析：ACBD∟∟結(jié)論相似三角形的面積比等于相似比的平方.由此得到，ACB幾何語(yǔ)言表示

∵△ABC∽△，相似比為k.∴S△ABCS△3.兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊比為3:5，那么相似比為

，周長(zhǎng)比為

，面積比為

。3:59:253:54.如圖,在正方形網(wǎng)格上有△A1B1C1和△A2B2C2,這兩個(gè)三角形相似嗎?如果相似,求出△A1B1C1和△A2B2C2的面積比.

隨堂練習(xí)解（1）△A1B1C1∽△A2B2C2（2）∵相似比為:==A1C1A2C24221S△A1B1C1∴S△A2B2C221=()241=舉例例11如圖，在△ABC中，EF∥BC，

S四邊形BCFE=8，求S△ABC．，EF∥BC，解∵∴S△AEFS△ABC∴△AEF∽△ABC.又∵∴即S△ABC-S△ABCS四邊形EBCF∴S△ABC-8S△ABC解得S△ABC=9.(相似比)△例12已知△ABC與的相似比為，且+=91，求△的面積.S△ABCS△

解的相似比為，△△ABC和∵設(shè)S△ABC=4x,則S△=9x,+=91，

又∵

S△ABCS△∴4x+9x=91,∴S△=9x=63解得x=7.ACB∴S△ABCS△1.對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例;2.對(duì)應(yīng)高之比、對(duì)應(yīng)中線之比、對(duì)應(yīng)角平分線、

對(duì)應(yīng)邊之比都等于相似比；3.周長(zhǎng)之比等于相似比4.面積之比等于相似比的平方相似三角形有哪些性質(zhì)：注意：“比”必須強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng)，否則不成立！小結(jié)與復(fù)習(xí)對(duì)應(yīng)邊的比對(duì)應(yīng)高的比對(duì)應(yīng)中線的比對(duì)應(yīng)角平分線的比對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的比等于相似比.相似三角形的性質(zhì)：3.對(duì)應(yīng)面積的比等于相似比的平方1.對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例;2.1.把一個(gè)三角形變成和它相似的三角形，則如果邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的100倍，那么面積擴(kuò)大為原來(lái)的______倍；如果面積擴(kuò)大為原來(lái)的100倍，那么邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的___倍。1000010練習(xí)2.已知，在△ABC中，DE||BC,DE:BC=3:5,則:

(1)AD:DB=

(2)△ADE的面積:梯形DECB的面積=

(3)△ABC的面積為25，則△ADE的面積=___。3:29:169ACBED3.有一個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)分別為3，4，5